РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ НИЖНЕЙ И ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ

SOLUTION OF THE PROBLEM OF ELASTICITY THEORY FOR THE LOWER AND UPPER HALF-PLANE

Ha Nguyen Thuy Linh

faculty of basic science, Ho Chi Minh City University of  Transport,

Vietnam

Le Thi Thanh

faculty of basic science,  Ho Chi Minh City University of  Transport,

Vietnam

АННОТАЦИЯ

В настоящей работе решение получено новым методом, отличающимся от предшествующих своей простотой. Он основан понятии интеграла типа Коши и связанном с ним тождестве Племеля.

ABSTRACT

In this paper, the solution is obtained by a new method that differs from the previous in its simplicity. It is based on the notion of  the  Cauchy integral and Plemelj identity.

Ключевые слова: нижняя полуплоскость, верхняя полуплоскости, интеграл типа Коши, тождество Племеля.

Keywords: elastic half-plane, Cauchy integral, Plemelj identity.

Напряжения в плоской задачи теории упругости определяются формулами Колосова [1]

                                         (1)

где  - напряжения в декартовых координатах  - комплексная переменная (  - мнимая единица); ,  - голоморфные функции, определяемые из граничных условий задачи; черта под символом обозначается комплексное сопряжение, штрих – производную.

На границе области – контуре  справедливо соотношение [1]

                              (2)

где  – компоненты единичной внешней нормали к контуру ;  – компоненты распределённой внешней нагрузки, приложенной к контуру .

Ниже, отираясь на формулы на формулы (2), получены функции ,  для двух случаев расположения полуплоскости относительно системы координат Будем считать нагрузку , приложенную к границе полуплоскости, самоуравновешенной. При этом выполняются условия [1]

                                            (3)

Задача для полуплоскости . Пусть материальное тело занимает нижнюю полуплоскость. При этом контур  - ось абсцисс.

и уравнение (2) преобразуется и виду

Так как на оси абсцисс , получаем   (4)

Введем в рассмотрение новую голоморфную функцию:

                                              (5)

и вместо уравнения (4) будем иметь:

                                                         (6)

Выберем замкнутый контур , состоящий из границы полуплоскости – контуры  и полуокружности бесконечного радиуса  (рис. 1).

Рисунок 1. Контур .  - полуокружность бесконечного радиуса;  - отрезок оси абсцисс;  стрелкой указано направление обхода

Так как функция  голоморфна в области, ограниченной контуром  (в нижней полуплоскости), для неё справедливо тождество Племеля:

                                                     (7)

Исключая из равенства (7) функцию  с помощью выражения (6), получим 

Перейдем к комплексно сопряженным величинам. При этом учтем, что интеграл вдоль участка контура  в силу соотношений (3) равен нулю,  а на действительной оси . Приходим к равенству:

Вновь используем формулу Племеля, теперь уже применительно к функции . Получим:

        (8)

Выражение в квадратных скобках представляет собой граничное значение интеграла типа Коши [2] для правой границы контура  (обозначаемой обычно знаком минус). В данном случае это нижняя полуплоскость. Получаем [2] для внутренних точек полуплоскости

                                                             (9)

Выражение (9) совпадает с известным решением [1].

Из уравнения (6) с использованием равенства (8) получается выражение для функции

Откуда следует

                                                  (10)

Подстановка выражений (9), (10) в равенство (5) позволяет определить функцию  и далее из формул (1) – поля напряжений.

Задача для полуплоскости . Отличие от предыдущей задачи в том, что теперь . При этом правая часть в формулах (4), (6) меняет знак. Контур  теперь проходит по верхней полуплоскости, и направление его обхода совпадает с направлением обхода контура  (рис. 2)

Рисунок 2. Контур  для задачи 2.  - полуокружность бесконечного радиуса;  - отрезок оси абсцисс;  стрелкой указано направление обхода

С учетом этого в место формулы (3) получается выражение

                                           (11)

Выражение в квадратных скобках представляет собой граничное значение интеграла типа Коши [2] для левой границы контура  (обозначаемой обычно знаком плюс). В данном случае это верхняя полуплоскость. Получаем для её внутренних точек формулу, совпадающую с формулой (9) с той лишь разницей, что теперь комплексная координата  лежит в верхней полуплоскости.

Из выражения (6) с измененным знаком перед правой частью и выражения (11) следует

Откуда для , лежащих в верхней полуплоскости, следует формула (10).

Список литературы:

1. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.  М.: Наука, 1966. 708 с.
2. Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.
3. Ле Тхи Тхань. Вариант решения задачи о краевой трещине в полуплоскости / Ле Тхи Тхань, И.М. Лавит // Сборник трудов IX Всероссийской конференции "Механика деформируемого твердого тела". Воронеж, 12-15 сентября 2016 г. – Воронеж: Изд-во «Научно-исследовательские публикации», 2016. – С. 24–26.