Статья опубликована в рамках: Научного журнала «Инновации в науке» № 9(85)

Рубрика журнала: Математика

Скачать книгу(-и): скачать журнал

Библиографическое описание:
Агафонцев В.В. ПОЗИЦИОННЫЕ НУМЕРАЦИИ В ДИОФАНТОВЫХ РАВЕНСТВАХ // Инновации в науке: научный журнал. – № 9(85). – Новосибирск., Изд. АНС «СибАК», 2018. – С. 8-10.

ПОЗИЦИОННЫЕ НУМЕРАЦИИ В ДИОФАНТОВЫХ РАВЕНСТВАХ

Агафонцев Валерий Васильевич

канд. техн. наук, Псковский государственный университет, РФ, г. Псков

 POSITIONAL NUMBERINGS IN DIOFANTINE EQUALITIES

Valery Agafontsev

candidate of technical sciences, Pskov state University, Russia Pskov

 

АННОТАЦИЯ

В данной статье представлены этапы возможного подхода к исследованию диофантовых равенств вида  ( ; ,  на основе позиционных нумераций. Доказана теорема, представляющая один из этих этапов.

ABSTRACT

In this article we present the stages of a possible approach to research of Diophantine equalities of the view  ;   based on positional numbering. A theorem representing one of these stages is proved.

 

 

Ключевые слова: диофантовы уравнения, диофантовы равенства, лемма ²ABC², позиционные нумерации.

Keywords: Diophantine equations, Diophantine equalities, lemma ²ABC², positional numbering.

 

 

В работе [1] было определено понятие ʺдиофантово равенствоʺ. Под ним понимается диофантово уравнение, в которое подставлено его решение. В той же работе рассмотрено применение позиционных нумераций, то есть позиционных систем счисления с произвольным целочисленным основанием в исследовании диофантовых равенствах вида  где  ℕ; . Цель такого исследования заключается в доказательстве теоремы о том, что равенство в котором , при выполнимо только для составных чисел , имеющих общий делитель. В работе [1] такое доказательство строится на основе цепочки следующих утверждений:

1. Лемма ²ABC²: необходимое и достаточное условие выполнения диофантова равенства

                     (1)

в котором  ;  представимо триадой равенств:

        (2)

          (3)

                 (4)

 

 где 0  ℕ.

Здесь и далее символом обозначены натуральные, то есть положительные целые числа без нуля; символом 0 обозначены натуральные числа c нулём.

 

Следствие 1: Необходимое условие выполнения диофантова равенства , в котором ; представимо равенством

 

 

Следствие 2: Равенство:

 

где , порождённое диофантовым равенством при условиях:; не зависит от значений x и y для любых и определяется только значением z.

2.Теорема 1: равенство  невыполнимо для любых наборов чисел с которыми выполнялись бы равенства

 

 

 

 

где

3.Теорема 2: равенство  в котором ,

при невыполнимо для любых чисел

4.Теорема 3: равенство , в котором ,

при выполнимо для составных натуральных чисел , имеющих общий делитель.

Из сопоставления теорем 2 и 3 в части условия и заключения следует истинность того, что равенство в котором , при  выполнимо только для составных чисел , имеющих общий делитель.

Доказательство леммы ²ABC² достаточно репрезентативно представлено в статьях [2], [3], [4].

Усилим доказательство теоремы 1, сохранив при этом нумерацию формул, принятую в работе [1], и формулировку теоремы 1 из работ [1] и [5], равносильную выше представленной.

Т Е О Р Е М А 1. Равенство

 

                            (19)

 

порождённое диофантовым равенством при условиях: ;,  невыполнимо для любых наборов чисел

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Прежде всего, покажем, что равенство (19) порождается диофантовым равенством  при любом натуральном числе z, большем 2 (. Действительно, необходимое и достаточное условие выполнения названного диофантова равенства в соответствии с леммой ²ABC² представляется триадой равенств (2), (3), (4). Из равенств (4) следует необходимость выполнения такой цепочки равенств:

 

Подставляя эти равенства в тождество

получим равенство (19). Отметим, что в соответствии со следствием 2 леммы ²ABC² равенство (19) при  не зависит от значений x и y равенства  для любых , следовательно, и для  

Итак, предположим, что равенство (19), порождённое диофантовым равенством  при заданных условиях  ;  выполнимо хотя бы для одного набора чисел , где  Выполняя условие данной теоремы (, положим Получим гипотетическое диофантово равенство

 

                             (20)

 

В соответствии с леммой ²ABC² необходимое и достаточное условие выполнения равенства (20) требует выполнения такой триады равенств:

 

                    (21)

                  (22)

        (23)

 

Если бы выполнялись равенства (23), то, исходя из тождества

 

            (24)

 

выполнялось бы и равенство (19). Если бы выполнялись равенства (21), (22), (23), то было бы выполнимо и равенство (20). И наоборот: если бы существовали ненулевые положительные целые числа удовлетворяющие равенству (20), то выполнялись бы равенства (21), (22), (23).

 Исходя из этих равенств, число  должно представляться числами 0  ; число должно представляться числами и ; число должно представляться числами и . Таким образом, если бы существовали ненулевые положительные целые числа удовлетворяющие равенству (20), то в силу необходимого и достаточного условия его выполнения эти числа должны представляться набором чисел Но, как доказал Л. Эйлер, не существует ненулевых положительных целых чисел с которыми равенство (20) было бы выполнимо. В наличие такого доказательства сошлёмся на [8; §3], [9; гл.2, пп.2.1, 2.2] и [7]. Далее будем называть такие числа натуральными. Так как не существует натуральных чисел удовлетворяющих равенству (20), то не существует и таких наборов чисел , которыми числа в соответствии с необходимым и достаточным условием выполнения равенства (20) должны представляться. Следовательно, для любых наборов чисел не выполнятся все три равенства (21), (22), (23). Невыполнимость равенств (23) означает выполнимость таких трёх неравенств:

 

                                  (25)

Исходя из тождества (24) и включая в него подстановки из неравенств (25), получим:

 

                       (26)

 

Можно прийти к истинности неравенства (26), рассматривая вместо равенства  такое гипотетическое равенство: , удовлетворяющее всем условиям, предъявляемым к равенству . Действительно, в гипотетическом равенстве ℕ;  и можно обеспечить . Как известно, невыполнимость равенства  для любых натуральных чисел  была доказана П. Ферма [9; §2], [10; гл.1, пп.1.4, 1.5]. Следовательно, выполняя последовательность доказательных шагов, аналогичную выше изложенной, придём к истинности четырёх неравенств:

 

 

 

В этом случае, исходя из тождества

 

 

и четырёх представленных выше неравенств, получим неравенство

 

,

 

 

а, исходя из тождества (24) и трёх указанных выше неравенств получим неравенство (26).

Таким образом, исходное утверждение, основанное на предположении о выполнимости равенства (19), порождённого равенством  при условиях ;  хотя бы для одного набора чисел при тех же условиях через последовательность импликаций привело к противоположному утверждению. В силу фундаментального закона логики – закона противоречия, сформулированного Аристотелем: «невозможно, чтобы противоречащие утверждения были истинными по отношению к одному и тому же» [6, глава III, раздел "Учение об истине и законах мышления"], приходим к выводу о том, что исходное утверждение, основанное на предположении, является ложным. Следовательно, равенство (19), порождённое диофантовым равенством  при условиях: ;   невыполнимо для любых наборов чисел   что и требовалось доказать.

 

Список литературы:

1.Агафонцев В.В. От позиционных систем счисления к диофантовым равенствам // Инновации в науке: научный журнал. – № 8(84). – Новосибирск, Изд. АНС «СибАК», 2018. – С. 12-17. URL: https://sibac.info/journal/innovation/84 (дата обращения: 14.08.2018)

2.Агафонцев В.В. Лемма ʺА, В, Сʺ в альтернативном доказательстве теоремы Эйлера / В.В. Агафонцев // Математика, её приложения и математическое образование-МПМО17: Материалы VI Международной конференции. -Улан-Удэ, Байкал: Изд-во ВСГУТУ, 2017. –С.14-18. URL: http://www.confmame.ru/documents/pdf/MAME17.pdf (дата обращения: 14.08.2018).

3.Агафонцев В.В. Лемма ʺАВСʺ в исследовании диофантовых равенств / В.В. Агафонцев // Н.И. Лобачевский и математическое образование в России-IFME-2017: Материалы Международного Форума по математическому образованию, посвящённого 225-летию Н.И. Лобачевского.-Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2017. –С. 12-18.

4.Агафонцев В.В. Лемма ʺАВСʺ и последняя теорема Ферма / В.В. Агафонцев // Современные проблемы физико-математических наук: Материалы III международной научно-практической конференции. –Орёл: Изд-во Орловского гос. ун-та, 2017. –С.113-119.

5.Агафонцев В.В. Позиционные системы счисления с произвольным целочисленным основанием в диофантовых равенствах / В.В. Агафонцев //Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения: Материалы XV Международной конференции.-Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2018. –С.243-245. URL: http://poivs.tsput.ru/conf/international/XV/files/conference2018.pdf (дата обращения: 14.08.2018).

6.Маковельский А.О. История логики / А.О. Маковельский.- М.: Изд-во Кучково поле, 2004, -с.480. 

7.Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера / Ю.Ю. Мачис// Математические заметки.-2007.-№82:3.- С. 395-400.

8.Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел / М.М. Постников.-М: Наука, 1982, - с. 239.

9.Эдвардс Г. [Edwards H.] Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с анг. В.Л. Калинина и А.И. Скопина / под ред. Б.Ф. Скубенко.-М.: Мир, 1980,- с. 484

 

 

Оставить комментарий

Форма обратной связи о взаимодействии с сайтом