ПОЗИЦИОННЫЕ НУМЕРАЦИИ В ДИОФАНТОВЫХ РАВЕНСТВАХ

 POSITIONAL NUMBERINGS IN DIOFANTINE EQUALITIES

Valery Agafontsev

candidate of technical sciences, Pskov state University, Russia Pskov

АННОТАЦИЯ

В данной статье представлены этапы возможного подхода к исследованию диофантовых равенств вида  ( ℕ; ,  на основе позиционных нумераций. Доказана теорема, представляющая один из этих этапов.

ABSTRACT

In this article we present the stages of a possible approach to research of Diophantine equalities of the view  ℕ;   based on positional numbering. A theorem representing one of these stages is proved.

Ключевые слова: диофантовы уравнения, диофантовы равенства, лемма ²ABC², позиционные нумерации.

Keywords: Diophantine equations, Diophantine equalities, lemma ²ABC², positional numbering.

В работе [1] было определено понятие ʺдиофантово равенствоʺ. Под ним понимается диофантово уравнение, в которое подставлено его решение. В той же работе рассмотрено применение позиционных нумераций, то есть позиционных систем счисления с произвольным целочисленным основанием в исследовании диофантовых равенствах вида  где  ℕ; . Цель такого исследования заключается в доказательстве теоремы о том, что равенство в котором ℕ, при выполнимо только для составных чисел , имеющих общий делитель. В работе [1] такое доказательство строится на основе цепочки следующих утверждений:

1. Лемма ²ABC²: необходимое и достаточное условие выполнения диофантова равенства

                     (1)

в котором  ℕ;  представимо триадой равенств:

        (2)

          (3)

                 (4)

 где ℕ₀  ℕ.

Здесь и далее символом ℕ обозначены натуральные, то есть положительные целые числа без нуля; символом ℕ₀ обозначены натуральные числа c нулём.

Следствие 1: Необходимое условие выполнения диофантова равенства , в котором ℕ; представимо равенством

Следствие 2: Равенство:

где , порождённое диофантовым равенством при условиях:ℕ; не зависит от значений x и y для любых и определяется только значением z.

2.Теорема 1: равенство  невыполнимо для любых наборов чисел с которыми выполнялись бы равенства

где

3.Теорема 2: равенство  в котором ℕ,

при невыполнимо для любых чисел

4.Теорема 3: равенство , в котором ℕ,

при выполнимо для составных натуральных чисел , имеющих общий делитель.

Из сопоставления теорем 2 и 3 в части условия и заключения следует истинность того, что равенство в котором ℕ, при  выполнимо только для составных чисел , имеющих общий делитель.

Доказательство леммы ²ABC² достаточно репрезентативно представлено в статьях [2], [3], [4].

Усилим доказательство теоремы 1, сохранив при этом нумерацию формул, принятую в работе [1], и формулировку теоремы 1 из работ [1] и [5], равносильную выше представленной.

Т Е О Р Е М А 1. Равенство

                            (19)

порождённое диофантовым равенством при условиях: ℕ;,  невыполнимо для любых наборов чисел

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Прежде всего, покажем, что равенство (19) порождается диофантовым равенством  при любом натуральном числе z, большем 2 (. Действительно, необходимое и достаточное условие выполнения названного диофантова равенства в соответствии с леммой ²ABC² представляется триадой равенств (2), (3), (4). Из равенств (4) следует необходимость выполнения такой цепочки равенств:

Подставляя эти равенства в тождество

получим равенство (19). Отметим, что в соответствии со следствием 2 леммы ²ABC² равенство (19) при  не зависит от значений x и y равенства  для любых , следовательно, и для  

Итак, предположим, что равенство (19), порождённое диофантовым равенством  при заданных условиях  ;  выполнимо хотя бы для одного набора чисел , где  Выполняя условие данной теоремы (, положим Получим гипотетическое диофантово равенство

                             (20)

В соответствии с леммой ²ABC² необходимое и достаточное условие выполнения равенства (20) требует выполнения такой триады равенств:

                    (21)

                  (22)

        (23)

Если бы выполнялись равенства (23), то, исходя из тождества

            (24)

выполнялось бы и равенство (19). Если бы выполнялись равенства (21), (22), (23), то было бы выполнимо и равенство (20). И наоборот: если бы существовали ненулевые положительные целые числа удовлетворяющие равенству (20), то выполнялись бы равенства (21), (22), (23).

 Исходя из этих равенств, число  должно представляться числами ℕ₀  ℕ; число должно представляться числами и ; число должно представляться числами и . Таким образом, если бы существовали ненулевые положительные целые числа удовлетворяющие равенству (20), то в силу необходимого и достаточного условия его выполнения эти числа должны представляться набором чисел Но, как доказал Л. Эйлер, не существует ненулевых положительных целых чисел с которыми равенство (20) было бы выполнимо. В наличие такого доказательства сошлёмся на [8; §3], [9; гл.2, пп.2.1, 2.2] и [7]. Далее будем называть такие числа натуральными. Так как не существует натуральных чисел удовлетворяющих равенству (20), то не существует и таких наборов чисел , которыми числа в соответствии с необходимым и достаточным условием выполнения равенства (20) должны представляться. Следовательно, для любых наборов чисел не выполнятся все три равенства (21), (22), (23). Невыполнимость равенств (23) означает выполнимость таких трёх неравенств:

                                  (25)

Исходя из тождества (24) и включая в него подстановки из неравенств (25), получим:

                       (26)

Можно прийти к истинности неравенства (26), рассматривая вместо равенства  такое гипотетическое равенство: , удовлетворяющее всем условиям, предъявляемым к равенству . Действительно, в гипотетическом равенстве ℕ;  и можно обеспечить . Как известно, невыполнимость равенства  для любых натуральных чисел  была доказана П. Ферма [9; §2], [10; гл.1, пп.1.4, 1.5]. Следовательно, выполняя последовательность доказательных шагов, аналогичную выше изложенной, придём к истинности четырёх неравенств:

В этом случае, исходя из тождества

и четырёх представленных выше неравенств, получим неравенство

,

а, исходя из тождества (24) и трёх указанных выше неравенств получим неравенство (26).

Таким образом, исходное утверждение, основанное на предположении о выполнимости равенства (19), порождённого равенством  при условиях ;  хотя бы для одного набора чисел при тех же условиях через последовательность импликаций привело к противоположному утверждению. В силу фундаментального закона логики – закона противоречия, сформулированного Аристотелем: «невозможно, чтобы противоречащие утверждения были истинными по отношению к одному и тому же» [6, глава III, раздел "Учение об истине и законах мышления"], приходим к выводу о том, что исходное утверждение, основанное на предположении, является ложным. Следовательно, равенство (19), порождённое диофантовым равенством  при условиях: ℕ;   невыполнимо для любых наборов чисел   что и требовалось доказать.

Список литературы:

1.Агафонцев В.В. От позиционных систем счисления к диофантовым равенствам // Инновации в науке: научный журнал. – № 8(84). – Новосибирск, Изд. АНС «СибАК», 2018. – С. 12-17. URL: https://sibac.info/journal/innovation/84 (дата обращения: 14.08.2018)

2.Агафонцев В.В. Лемма ʺА, В, Сʺ в альтернативном доказательстве теоремы Эйлера / В.В. Агафонцев // Математика, её приложения и математическое образование-МПМО17: Материалы VI Международной конференции. -Улан-Удэ, Байкал: Изд-во ВСГУТУ, 2017. –С.14-18. URL: http://www.confmame.ru/documents/pdf/MAME17.pdf (дата обращения: 14.08.2018).

3.Агафонцев В.В. Лемма ʺАВСʺ в исследовании диофантовых равенств / В.В. Агафонцев // Н.И. Лобачевский и математическое образование в России-IFME-2017: Материалы Международного Форума по математическому образованию, посвящённого 225-летию Н.И. Лобачевского.-Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2017. –С. 12-18.

4.Агафонцев В.В. Лемма ʺАВСʺ и последняя теорема Ферма / В.В. Агафонцев // Современные проблемы физико-математических наук: Материалы III международной научно-практической конференции. –Орёл: Изд-во Орловского гос. ун-та, 2017. –С.113-119.

5.Агафонцев В.В. Позиционные системы счисления с произвольным целочисленным основанием в диофантовых равенствах / В.В. Агафонцев //Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения: Материалы XV Международной конференции.-Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2018. –С.243-245. URL: http://poivs.tsput.ru/conf/international/XV/files/conference2018.pdf (дата обращения: 14.08.2018).

6.Маковельский А.О. История логики / А.О. Маковельский.- М.: Изд-во Кучково поле, 2004, -с.480. 

7.Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера / Ю.Ю. Мачис// Математические заметки.-2007.-№82:3.- С. 395-400.

8.Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел / М.М. Постников.-М: Наука, 1982, - с. 239.

9.Эдвардс Г. [Edwards H.] Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с анг. В.Л. Калинина и А.И. Скопина / под ред. Б.Ф. Скубенко.-М.: Мир, 1980,- с. 484