ОТ ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ К ДИОФАНТОВЫМ РАВЕНСТВАМ

FROM POSITIONAL NUMBER SYSTEMS TO DIOFANTINE EQUALITIES

 

Valery Agafontsev

candidate  of  technical  sciences, Pskov  state  University,

Russia,  Pskov

АННОТАЦИЯ

В  статье  представлен  возможный  подход  к  исследованию  диофантовых  равенств  вида A^x + B^y = C^z где A, B, C, x, y, z – положительные целые числа; x, y ≥ 1; z ≥ 2.  Методологической  основой  такого  подхода  являются  позиционные  нумерации, точнее, позиционные  системы  счисления  с  произвольным  основанием, являющимся натуральным числом.

ABSTRACT

In  these  theses  a possible  approach  to  the  study of  Diophantine equalities of  the form  A^x + B^y = C^z, where A, B, C, x, y and z are  positive integers and x, y ≥ 1; z ≥​ 2. The methodological basis of this approach are the positional numberings, more precisely, the positional numeral systems with an arbitrary base, which is a natural number.

 

Ключевые слова: диофантовы уравнения, диофантовы  равенства,  лемма "ABC", позиционные системы счисления с произвольным  основанием, позиционные  нумерации.

Keywords: Diophantine equations, Diophantine  equalities,  lemma  "ABC",  positional numeral systems with an arbitrary base, positional numbering.

 

В начале  определим  понятие  ʺдиофантово  равенствоʺ.  Известен  раздел математики, исследующий  диофантовы  уравнения.  К таким  уравнениям  относят  алгебраические уравнения  или системы алгебраических  уравнений с рациональными коэффициентами, решения которых отыскиваются в целых или рациональных числах.  Известны  многие примеры  диофантовых  уравнений, в которых  коэффициенты  являются  целыми числами  и  решения отыскиваются в целых  числах.  В диофантовых  уравнениях число неизвестных  больше числа уравнений.  Если  диофантово  уравнение  имеет решение, то такое уравнение превращается в равенство, которое логично назвать диофантовым равенством.

Рассмотрим возможный  подход  к  исследованию  диофантовых  равенств  вида  A^x + B^y = C^z где   A, B, C, x, y, z - положительные целые числа;  x, y ≥ 1; z ≥​ 2.  В  статье [1]  в тезисном плане  намечен  подход к  исследованию  таких  равенств.  Представим   этот  подход  в  развёрнутом  виде.

Методологическим базисом данного подхода  являются позиционные  системы счисления  (нумерации) с  произвольным  целочисленным  основанием  С.  В этом случае  между записью  в  С- нумерации  натурального  числа   A  и  его  количественным  эквивалентом  устанавливается  такое  соответствие:

Черта  сверху левой части данного выражения указывает на то, что эта часть рассматривается не как произведение чисел a_i ( i ∈[0;m]), а как запись числа A символами  С- нумерации. Отметим, что 0≤a_i≤C-1.   Записать  некоторое число A в С- нумерации  означает  определить коэффициенты a_i в  разложении этого числа по степеням C  и выписать эти коэффициенты в соответствии с весами  С- ричных разрядов. Как известно,  для целых чисел определение таких коэффициентов выполняется по следующему  алгоритму:  необходимо делить данное число на основание С  системы счисления до тех пор, пока полученный остаток не будет меньше  С;  при этом остаток от первого деления даст значение младшего (правого)  С- ричного разряда, остаток от второго деления даст значение второго справа   С- ричного разряда и так далее. Исходя  из этого, запись  любого натурального числа  C^z в  C- нумерации   представится  так:

где  в  правой части  данного выражения  содержится  ровно  z нулей.

Докажем  следующую  лемму, достаточно  репрезентативно представленную  в  статьях  [2], [3], [4].

Л Е М М А  "ABC".  Необходимое  и достаточное  условие  выполнения  диофантова  равенства

                                                      (1)

в  котором A, B, C, x, y, z ∈  ℕ; z ≥​ 2, (A, B, C) = 1  представимо триадой   равенств:

                (2)

                (3)

                                                                                        (4)

где i ∈ [1;z - 1]; a_i, b_i ∈  ℕ₀ ≤ C-1; a₀, b₀ ∈  ℕ.

Здесь  и  далее  символом  ℕ  обозначены  натуральные, то  есть положительные  целые числа  без нуля; символом  ℕ₀  обозначены  натуральные  числа  c  нулём.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Запишем правую и левую части  (1) в  С- нумерации:

,                                                (5)

где  в правой части выражения  (5)  содержится  ровно  z нулей.

Из  (5) следует необходимое условие выполнения этого  равенства. Такое условие заключается:

а) во-первых, в том, что  С- ричная запись каждого из чисел A^x  и B^y  должна содержать не более, чем  z  С- ричных разрядов, поэтому числа A^x  и  B^y в  их  С- ричной записи  представимы  так:

                                                         (6)

                                       (7)

б) во-вторых, в том, что  поразрядные суммы  С- ричных записей правой части  равенств  (6)  и  (7)  должны удовлетворять таким соотношениям:

                                                                                        (8)

                                             где               (9)

Исходя  из  (6) и (7), учитывая позиционность  С- ричной  системы  счисления, числа  A^x и B^y в их  количественном эквиваленте  представимы  так:

                                      (10)

                                       (11)

Исходя  из  С- ричных  записей  (8)  и  (9), переходя к их количественному эквиваленту, получим:

                           где                            (12)

Так как a_0, b_0, a_i, b_i < C то  в  соответствии  с  (12) a₀ > 0 и b₀ > 0  

Нетрудно видеть, что выполнение  равенств  (10), (11), (12)  является  не только необходимым, но  и  достаточным условием  выполнения равенства (1). Действительно, если предположить, что равенства  (10), (11), (12)  выполняются и сложить левые и правые части  (10) и (11)  соответственно, а также учесть  (12), то получим  равенство  (1).

Примечание: доказать необходимость выполнения  равенств (12) можно, руководствуясь  и такими  рассуждениями. Подставим в  (1)  выражения  для A^x и B^y из  (10)  и  (11); учтём  тождество

Получим:

 

                             (13)

Очевидно, что равенство  (13)  выполнимо  при

                  где 

Лемма  "ABC"  доказана.

Можно убедиться в  истинности  леммы  "ABC", рассмотрев следующие случаи:

Рассмотрим  в  качестве примера  случай  3.

Для третьего случая (x =2; y,z > 2 или y =2; x,z > 2) необходимое и достаточное условие выполнения равенства (1)  в  соответствии  с  (10), (11), (12)  запишется  так:

а) на примере x =2, y = 4, z = 3 

б) на примере x =5, y = 2, z = 4: 

Пункту (а)  удовлетворяет тройка чисел  (46, 3, 13), в  которой 46² + 3⁴ = 13³. В этом  случае

                                                         

                      

              

Пункту  (б)  удовлетворяет тройка  чисел  (2, 7, 3), в которой 2⁵ + 7² =3⁴. В этом  случае

     

     

Подобным образом можно убедиться в  истинности леммы  "ABC"  для случаев 1, 2, 4.

У  леммы  "ABC" два  следствия.

Следствие  1: Необходимое  условие  выполнения  диофантова  равенства  A^x + B^y = C^z, в котором A, B, C, x, y, z ∈ ℕ; z ≥ 2; (A, B, C) = 1,представимо  равенством

                                      (14)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, из  необходимого  и  достаточного  условия  выполнения  равенства  A^x + B^y = C^z,  представленного  равенствами  (10), (11), (12), следует:

                                                              (15)

То есть, представляющая  собой  ряд  по степеням  C правая часть равенства  (15)  с необходимостью  должна  представляться суммой двух членов: первого – (C-1)⋅C^z-1,  являющегося старшим членом ряда, и второго  - C^z-1, являющегося  суммой  всех  остальных членов ряда. Что  и  требовалось  доказать.

Следствие  2:  Равенство:   

где a₀, b₀, C ∈ ℕ; a_i, b_i ∈ ℕ₀ ≤ C-1, порождённое диофантовым  равенством A^x + B^y = C^z при условиях: A, B, C, x, y, z ∈ ℕ; z ≥ 2, (A, B, C) = 1 не  зависит  от  значений  x и  y  для  любых x ≥ 1, y ≥ 1 и  определяется  только  значением  z. 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Запишем  тождество

              (17)

Выполним  в  него  подстановки  из  равенств   (12). Получим равенство  (16). Так  как  тождество (17) и равенства (12)  не  зависят  от значений  x, y  исходного  равенства  (1),  то и  равенство  (16)  не будет  зависеть от  x  и  y  для любых x ≥ 1, y ≥ 1, то есть равенство (16)  определяется только значением z, что  и требовалось  доказать.

 Убедимся  в  истинности  леммы  "ABC"  и  её  следствия  2,  рассмотрев  случаи, в которых   x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 2, например:

В  соответствии  с  леммой  "ABC"  примеры  (а), (б), (в)  порождают  равенство  вида

Действительно:

В  соответствии  с  леммой  "ABC"  примеры  (г), (д), (е)  порождают равенство  вида

                       (18)

Действительно:

Эти  примеры  подтверждают  истинность  леммы  "ABC"  и  следствия 2  из неё. Отметим  важную  особенность:  в  выполнимых  диофантовых   равенствах  при x > 1, y > 1, z > 1 хотя  бы одно из чисел  x  или  y или  z  равняется  2:  примеры -  равенства (в),  (д),  (е).  Докажем  невыполнимость  равенства (18)  для  диофантовых  равенств  вида  A^x + B^y = C^z,  в которых (A, B, C) = 1; x > 2, y > 2, z > 2. 

Т Е О Р Е М А  1. Равенство

             (19)

порождённое диофантовым равенством A^x + B^y = C^z при условиях: A, B, C, x, y, z ∈ ℕ; (A, B, C) = 1; x > 2, y > 2, z > 2 невыполнимо  для любых  наборов  чисел a₀, b₀, C ∈ ℕ; a₂, b₂, a₁, b₁ ∈ ℕ₀ ≤ C-1 

В  дополнение  к статье [5]  теорему 1  можно  сформулировать  ещё  и так:   Равенство (a₂ + b₂) ⋅ C² + (a₁ + b₁) ⋅ C + a₀ + b₀ = C³ невыполнимо для любых наборов чисел a₀, b₀, C ∈ ℕ; a₂, b₂, a₁, b₁ ∈ ℕ₀ ≤ C-1, с которыми выполнялись  бы  равенства

     

 

где    

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.  Будем  утверждать  обратное, предполагая, что равенство (19), порождённое  диофантовым  равенством  A^x + B^y = C^z,   при заданных условиях выполнимо хотя  бы  для  одного набора  чисел C, a_i, b_i, где i = 0, 1, 2. В соответствии  со следствием 2  леммы "ABC" равенство (19) порождается  диофантовым  равенством A^x + B^y = C^z, в котором  z > 2, а  x и  y – суть любые натуральные числа x ≥ 1 и y ≥ 1В силу этого, выполняя условие x > 2, y > 2, z > 2 данной теоремы, положим  x = 3, y = 3, z = 3. Получим гипотетическое  диофантово  равенство

                                                    (20)

В соответствии  с  леммой  "ABC"  необходимое  и  достаточное  условие  выполнения равенства (20)  требует  выполнения  такой  триады  равенств:

                                                                                 (21)

                                             (22)

                   (23)

Если  бы  выполнялись  равенства  (23),  то,  исходя  из  тождества

                            (24)

выполнялось  бы  и  равенство  (19). Если  бы выполнялись  равенства  (21), (22), (23), то  было  бы  выполнимо  и  равенство  (20). И  наоборот: если  бы  существовали  ненулевые  положительные  целые  числа  (A, B, C) = 1, удовлетворяющие  равенству  (20), то  выполнялись  бы  равенства  (21), (22), (23).

Исходя из этих равенств, число C должно  представляться числами a₂, b₂, a₁, b₁ ∈ ℕ₀  ≤ C -1; a₀, b₀ ∈ ℕ;  число A³ должно  представляться  числами a_i (i=0,1,2), C² и  C;  число  B³  должно  представляться  числами b_i (i=0,1,2), C² и C. Таким образом, если бы существовали  ненулевые положительные целые числа A, B, C удовлетворяющие  равенству (20), то в силу необходимого и достаточного условия его выполнения  эти   числа должны  представляться  набором  чисел a_i, b_i (i=0,1,2).  Но, как доказал  Л. Эйлер,  не существует  ненулевых  положительных  целых  чисел  A, B, C с которыми  равенство (20) было бы выполнимо. В наличие  такого  доказательства  сошлёмся  на  [8; §3], [9; гл.2, пп.2.1, 2.2]  и  [7].   Далее будем называть такие числа A, B, C натуральными. Так как не существует  натуральных  чисел A, B, C удовлетворяющих  равенству  (20), то не существует  и  таких наборов  чисел a_i, b_i (i=0,1,2) , которыми числа   A, B, C в соответствии  с  необходимым  и достаточным  условием выполнения равенства (20)  должны представляться. Следовательно, для  любых  наборов  чисел a_i, b_i (i=0,1,2)  не  выполнятся  все  три  равенства  (21), (22), (23).  Невыполнимость   равенств  (23)  означает  выполнимость  таких  трёх  неравенств:

               (25)

Исходя из тождества  (24) и включая в него подстановки из  неравенств   (25), получим:

                            (26)

Таким  образом, исходное  утверждение, основанное  на предположении  о  выполнимости   равенства (19)  хотя  бы  для  одного  набора  чисел C, a_i, b_i (i=0,1,2), через  последовательность  импликаций  привело  к  противоположному  утверждению.  В силу фундаментального  закона  логики – закона  противоречия, сформулированного  Аристотелем:  «невозможно,  чтобы  противоречащие  утверждения  были  истинными по отношению  к одному и тому же» [6, глава III, раздел "Учение об истине и законах мышления"], приходим к выводу о том, что исходное утверждение, основанное на предположении, является  ложным. Следовательно,  равенство (19), порождённое диофантовым равенством A^x + B^y = C^z при условиях: A, B, C, x, y, z ∈ ℕ; (A, B, C) = 1; x > 2, y > 2, z > 2 невыполнимо для любых наборов чисел a₀, b₀, C ∈ ℕ; a₂, b₂, a₁, b₁ ∈ ℕ₀  ≤ C -1 что и требовалось доказать.

Т Е О Р Е М А  2.  Равенство 

                                                                                            (27)

в котором A, B, C, x, y, z ∈ ℕ, при x > 2, y > 2, z > 2 невыполнимо  для  любых  чисел (A, B, C) = 1. 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.  Будем утверждать  обратное,  предполагая,  что  равенство  (27)  при x > 2, y > 2, z > 2 выполнимо  хотя  бы для одного  набора  чисел (A, B, C) = 1. Тогда по  лемме   "ABC"   должно  выполниться  необходимое  и  достаточное  условие, которое  в  соответствии  с  равенствами      (10), (11), (12)  примет  следующий  вид:

        (28)

         (29)

                                                                             (30)

где i ∈ [1;z - 1]; a_i, b_i ∈  ℕ₀ ≤ C-1; a₀, b₀ ∈  ℕ.   

В соответствии  с  равенствами (28), (29)  левая часть равенства  (27)  представится  так:

                           (31)

Исходя  из  тождества

                        (32)

и  делая в него подстановки  из равенств (30), получим:

Нетрудно  видеть, что  при  выполнении  равенств  (30)  должно  выполняться  и  такое  равенство:

                                             (33)

Но, как было доказано  теоремой 1, это равенство, вытекающее из  диофантова  равенства A^x + B^y = C^z при  условиях (A, B, C) = 1 и x > 2, y > 2, z > 2, невыполнимо для любых наборов чисел a₀, b₀, C ∈ ℕ; a₂, b₂, a₁, b₁ ∈ ℕ₀  ≤ C -1. При  названных  условиях  справедливо  неравенство

                                                      (34)

Прибавим  к  левой  и  правой части  неравенства (34) следующий  многочлен:

Получим:

                 

      (35)

Левая  часть  неравенства  (35),  исходя  из равенства  (31), равна A^x + B^y; правая  часть неравенства  (35) , исходя из  равенств  (30) и  тождества (32),  равна C^z. Из  неравенства  (35)  следует:

                                                  (36)

Таким  образом,  исходное  утверждение, основанное  на  предположении  о выполнимости  равенства (27)  при x > 2, y > 2, z > 2 хотя бы для одного  набора чисел (A, B, C) = 1, через последовательность  импликаций  привело к  противоположному  утверждению.  В соответствии с фундаментальным законом  логики – законом  противоречия: одно и то же утверждение не может быть  истинным и ложным  [6, гл. III, раздел "Учение об истине и законах мышления"],  приходим  к  выводу о том, что исходное  предположение является  ложным. Следовательно,  равенство  (27), в котором A, B, C, x, y, z ∈ ℕ, при x > 2, y > 2, z > 2 невыполнимо   для   любых  чисел (A, B, C) = 1, что и требовалось доказать.

Т Е О Р Е М А   3. Равенство

                                          (37)

в  котором A, B, C, x, y, z ∈ ℕ, при x > 2, y > 2, z > 2 выполнимо для  составных  натуральных  чисел A, B, C имеющих  общий  делитель.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что равенство (37)  может  быть  порождено, например, одним из таких  равенств:

                       (38)

в которых  D, E, F, x, y, z ∈ ℕ, (D, E, F) = 1и  один  из показателей    x   или  y или z  равен 2,  а  два других – больше  2.

Для  случая (a):  умножим  левую и  правую  часть  равенства (38)  на  число F^2xy ; для случая  (b) – на число E^2xz. Получим:

                                 

                                 (39)

Введём  следующие  обозначения:  

                        для  (а):                       

        для  (b):         (40)

Для случая (а):  z > 2, так  как  x > 2 и  y > 2; для  случая (b): y > 2, так  как x > 2 и z > 2. C  учётом  этих  обозначений равенства  (39)  запишутся  так:

                                                 (41)

Равенство  (41)  соответствует  заключению теоремы  3, так как  в нём  x > 2, y > 2, z > 2  и  числа A, B, C являются  составными  натуральными  числами, имеющими  общий делитель.

Приведём  примеры, показывающие  истинность теоремы 3. Для  троек  чисел  (6, 5, 29)  и   (3, 46, 13)  выполняются  такие  равенства: 6³ + 5⁴  = 29² и 3⁴ + 46²  = 13³ Осуществляя  процедуры, подобные  приведённым  в равенствах  (39), получим  соответственно:

 

Очевидно, это  очень  большие  составные   натуральные  числа, имеющие  как  простой (случай (а)), так и составной (случай (b))  общий делитель, в которых показатели  степени  x > 2, y > 2 и z > 2. 

Т Е О Р Е М А  4. Равенство A^x + B^y = C^z, в котором  A, B, C, x, y, z ∈ ℕ,  при x > 2, y > 2, z > 2 выполнимо  только  для  составных  чисел A, B, C, имеющих  общий  делитель.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сопоставим  теоремы  2  и 3.

Теоремой 2 доказано: равенство A^x + B^y = C^z, в котором A, B, C, x, y, z ∈ ℕ, при x > 2, y > 2, z > 2 невыполнимо  для  любых  чисел (A, B, C) = 1. 

Теоремой 3 доказано: равенство A^x + B^y = C^z, в котором A, B, C, x, y, z ∈ ℕ, при x > 2, y > 2, z > 2  выполнимо  для  составных  натуральных  чисел A, B, C имеющих  общий  делитель.

Из  сопоставления  теорем  2  и  3 в части  их  условия и заключения  следует истинность того, что равенство  A^x + B^y = C^z, в котором  A, B, C, x, y, z ∈ ℕ, при x > 2, y > 2, z > 2 выполнимо только для составных  чисел A, B, C имеющих  общий  делитель, который  может  быть  как  простым, так и  составным  натуральным  числом.

 

Список литературы:

1. Агафонцев В.В. Системы  счисления  в  диофантовых  равенствах /    В.В. Агафонцев // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения: Материалы XIII  Международной конференции.- Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2015. –С.256-259. URL: http://poivs.tsput.ru/conf/international/XIII/down/Conference2015.pdf  (дата  обращения: 14.07.2018).
2. Агафонцев В.В. Лемма ʺА, В, Сʺ  в  альтернативном доказательстве теоремы Эйлера /   В.В. Агафонцев // Математика, её приложения и математическое образование-МПМО17: Материалы VI Международной конференции. -Улан-Удэ, Байкал: Изд-во  ВСГУТУ, 2017. –С.14-18. URL: http://www.confmame.ru/documents/pdf/MAME17.pdf  (дата обращения: 14.07.2018).
3. Агафонцев  В.В.  Лемма ʺАВСʺ  в  исследовании  диофантовых  равенств  / В.В. Агафонцев // Н.И. Лобачевский и математическое образование в России-IFME-2017: Материалы Международного Форума по математическому образованию, посвящённого 225-летию  Н.И. Лобачевского.-Казань: Изд-во  Казан. ун-та, 2017. –С. 12-18.
4. Агафонцев В.В.  Лемма ʺАВСʺ  и  последняя теорема  Ферма /          В.В. Агафонцев // Современные проблемы физико-математических наук: Материалы III  международной научно-практической конференции. –Орёл: Изд-во Орловского гос. ун-та, 2017. –С.113-119.
5. Агафонцев В.В.  Позиционные системы  счисления  с произвольным целочисленным  основанием  в диофантовых равенствах  / В.В. Агафонцев //Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения: Материалы XV Международной конференции.-Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2018. –С.243-245. URL:  http://poivs.tsput.ru/conf/international/XV/files/conference2018.pdf  (дата  обращения: 14.07.2018).
6. Маковельский А.О. История логики / А.О. Маковельский.- М.: Изд-во Кучково поле, 2004,   -с.480.
7. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера / Ю.Ю. Мачис// Математические заметки.-2007.-№82:3.- С. 395-400.
8. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел / М.М. Постников.-М: Наука, 1982, - с. 239.
9. Эдвардс Г. [Edwards H.]  Последняя  теорема  Ферма.  Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с анг. В.Л. Калинина и А.И. Скопина / под ред. Б.Ф. Скубенко.-М.: Мир, 1980,- с. 484.