Статья опубликована в рамках: Научного журнала «Инновации в науке» № 8(84)

Рубрика журнала: Математика

Скачать книгу(-и): скачать журнал

Библиографическое описание:
Агафонцев В.В. ОТ ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ К ДИОФАНТОВЫМ РАВЕНСТВАМ // Инновации в науке: научный журнал. – № 8(84). – Новосибирск., Изд. АНС «СибАК», 2018. – С. 12-17.

ОТ ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ К ДИОФАНТОВЫМ РАВЕНСТВАМ

Агафонцев Валерий Васильевич

канд. техн. наук, Псковский государственный университет,

РФ, г. Псков

FROM POSITIONAL NUMBER SYSTEMS TO DIOFANTINE EQUALITIES

 

Valery Agafontsev

candidate  of  technical  sciences, Pskov  state  University,

Russia,  Pskov

АННОТАЦИЯ

В  статье  представлен  возможный  подход  к  исследованию  диофантовых  равенств  вида A+ B= Cz где A, B, C, x, y, z положительные целые числа; x, y ≥ 1; z ≥ 2.  Методологической  основой  такого  подхода  являются  позиционные  нумерации, точнее, позиционные  системы  счисления  с  произвольным  основанием, являющимся натуральным числом.

ABSTRACT

In  these  theses  a possible  approach  to  the  study of  Diophantine equalities of  the form  A+ B= Cz, where A, B, C, x, y and z are  positive integers and x, y ≥ 1; z ≥​ 2. The methodological basis of this approach are the positional numberings, more precisely, the positional numeral systems with an arbitrary base, which is a natural number.

 

Ключевые слова: диофантовы уравнения, диофантовы  равенства,  лемма "ABC", позиционные системы счисления с произвольным  основанием, позиционные  нумерации.

Keywords: Diophantine equations, Diophantine  equalities,  lemma  "ABC",  positional numeral systems with an arbitrary base, positional numbering.

 

В начале  определим  понятие  ʺдиофантово  равенствоʺ.  Известен  раздел математики, исследующий  диофантовы  уравнения.  К таким  уравнениям  относят  алгебраические уравнения  или системы алгебраических  уравнений с рациональными коэффициентами, решения которых отыскиваются в целых или рациональных числах.  Известны  многие примеры  диофантовых  уравнений, в которых  коэффициенты  являются  целыми числами  и  решения отыскиваются в целых  числах.  В диофантовых  уравнениях число неизвестных  больше числа уравнений.  Если  диофантово  уравнение  имеет решение, то такое уравнение превращается в равенство, которое логично назвать диофантовым равенством.

Рассмотрим возможный  подход  к  исследованию  диофантовых  равенств  вида  A+ B= Cz где   A, B, C, x, y, z - положительные целые числа;  x, y ≥ 1; z ≥​ 2.  В  статье [1]  в тезисном плане  намечен  подход к  исследованию  таких  равенств.  Представим   этот  подход  в  развёрнутом  виде.

Методологическим базисом данного подхода  являются позиционные  системы счисления  (нумерации) с  произвольным  целочисленным  основанием  С.  В этом случае  между записью  в  С- нумерации  натурального  числа   A  и  его  количественным  эквивалентом  устанавливается  такое  соответствие:

Черта  сверху левой части данного выражения указывает на то, что эта часть рассматривается не как произведение чисел ai ( i ∈[0;m]), а как запись числа A символами  С- нумерации. Отметим, что 0≤ai≤C-1.   Записать  некоторое число A в С- нумерации  означает  определить коэффициенты ai в  разложении этого числа по степеням C  и выписать эти коэффициенты в соответствии с весами  С- ричных разрядов. Как известно,  для целых чисел определение таких коэффициентов выполняется по следующему  алгоритму:  необходимо делить данное число на основание С  системы счисления до тех пор, пока полученный остаток не будет меньше  С;  при этом остаток от первого деления даст значение младшего (правого)  С- ричного разряда, остаток от второго деления даст значение второго справа   С- ричного разряда и так далее. Исходя  из этого, запись  любого натурального числа  Cz в  C- нумерации   представится  так:

где  в  правой части  данного выражения  содержится  ровно  z нулей.

Докажем  следующую  лемму, достаточно  репрезентативно представленную  в  статьях  [2], [3], [4].

Л Е М М А  "ABC".  Необходимое  и достаточное  условие  выполнения  диофантова  равенства

                                                      (1)

в  котором A, B, C, x, y, z   ℕ; z ≥​ 2, (A, B, C) = 1  представимо триадой   равенств:

                (2)

                (3)

                                                                                        (4)

где i ∈ [1;z - 1]; ai, bi ∈  0 ≤ C-1; a0, b0   ℕ.

Здесь  и  далее  символом  ℕ  обозначены  натуральные, то  есть положительные  целые числа  без нуля; символом  ℕ0  обозначены  натуральные  числа  c  нулём.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Запишем правую и левую части  (1) в  С- нумерации:

,                                                (5)

где  в правой части выражения  (5)  содержится  ровно  z нулей.

Из  (5) следует необходимое условие выполнения этого  равенства. Такое условие заключается:

а) во-первых, в том, что  С- ричная запись каждого из чисел Ax  и By  должна содержать не более, чем  z  С- ричных разрядов, поэтому числа Ax  и  By в  их  С- ричной записи  представимы  так:

                                                         (6)

                                       (7)

б) во-вторых, в том, что  поразрядные суммы  С- ричных записей правой части  равенств  (6)  и  (7)  должны удовлетворять таким соотношениям:

                                                                                        (8)

                                             где               (9)

Исходя  из  (6) и (7), учитывая позиционность  С- ричной  системы  счисления, числа  Ax и By в их  количественном эквиваленте  представимы  так:

                                      (10)

                                       (11)

Исходя  из  С- ричных  записей  (8)  и  (9), переходя к их количественному эквиваленту, получим:

                           где                            (12)

Так как a0, b0, ai, bi C то  в  соответствии  с  (12) a0 > 0 и b0 > 0  

Нетрудно видеть, что выполнение  равенств  (10), (11), (12)  является  не только необходимым, но  и  достаточным условием  выполнения равенства (1). Действительно, если предположить, что равенства  (10), (11), (12)  выполняются и сложить левые и правые части  (10) и (11)  соответственно, а также учесть  (12), то получим  равенство  (1).

Примечание: доказать необходимость выполнения  равенств (12) можно, руководствуясь  и такими  рассуждениями. Подставим в  (1)  выражения  для Ax и By из  (10)  и  (11); учтём  тождество

Получим:

 

                             (13)

Очевидно, что равенство  (13)  выполнимо  при

                  где 

Лемма  "ABC"  доказана.

Можно убедиться в  истинности  леммы  "ABC", рассмотрев следующие случаи:

Рассмотрим  в  качестве примера  случай  3.

Для третьего случая (x =2; y,z > 2 или y =2; x,z > 2) необходимое и достаточное условие выполнения равенства (1)  в  соответствии  с  (10), (11), (12)  запишется  так:

а) на примере x =2, y = 4, z = 3 

б) на примере x =5, y = 2, z = 4: 

Пункту (а)  удовлетворяет тройка чисел  (46, 3, 13), в  которой 462 + 34 = 133. В этом  случае

                                                         

                      

              

Пункту  (б)  удовлетворяет тройка  чисел  (2, 7, 3), в которой 25 + 72 =34. В этом  случае

     

     

Подобным образом можно убедиться в  истинности леммы  "ABC"  для случаев 1, 2, 4.

У  леммы  "ABC" два  следствия.

Следствие  1: Необходимое  условие  выполнения  диофантова  равенства  A+ B= Cz, в котором A, B, C, x, y, z  ℕ; z ≥ 2; (A, B, C) = 1,представимо  равенством

                                      (14)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, из  необходимого  и  достаточного  условия  выполнения  равенства  A+ B= Cz,  представленного  равенствами  (10), (11), (12), следует:

                                                              (15)

То есть, представляющая  собой  ряд  по степеням  C правая часть равенства  (15)  с необходимостью  должна  представляться суммой двух членов: первого – (C-1)⋅Cz-1,  являющегося старшим членом ряда, и второго  - Cz-1, являющегося  суммой  всех  остальных членов ряда. Что  и  требовалось  доказать.

Следствие  2:  Равенство:   

где a0, b0, C ∈ ℕ; ai, bi ∈ ℕ0 ≤ C-1, порождённое диофантовым  равенством A+ B= Cz при условиях: A, B, C, x, y, z ∈ ℕ; z ≥ 2, (A, B, C) = не  зависит  от  значений  x и  y  для  любых x ≥ 1, ≥ 1 и  определяется  только  значением  z

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Запишем  тождество

              (17)

Выполним  в  него  подстановки  из  равенств   (12). Получим равенство  (16). Так  как  тождество (17) и равенства (12)  не  зависят  от значений  x, y  исходного  равенства  (1),  то и  равенство  (16)  не будет  зависеть от  x  и  y  для любых x ≥ 1, ≥ 1, то есть равенство (16)  определяется только значением z, что  и требовалось  доказать.

 Убедимся  в  истинности  леммы  "ABC"  и  её  следствия  2,  рассмотрев  случаи, в которых   x ≥ 1, ≥ 1, z ≥ 2, например:

В  соответствии  с  леммой  "ABC"  примеры  (а), (б), (в)  порождают  равенство  вида

Действительно:

В  соответствии  с  леммой  "ABC"  примеры  (г), (д), (е)  порождают равенство  вида

                       (18)

Действительно:

Эти  примеры  подтверждают  истинность  леммы  "ABC"  и  следствия 2  из неё. Отметим  важную  особенность:  в  выполнимых  диофантовых   равенствах  при x > 1, y > 1, z > 1 хотя  бы одно из чисел  x  или  y или  z  равняется  2:  примеры -  равенства (в),  (д),  (е).  Докажем  невыполнимость  равенства (18)  для  диофантовых  равенств  вида  A+ B= Cz,  в которых (A, B, C= 1; x > 2, y > 2, z > 2. 

Т Е О Р Е М А  1. Равенство

             (19)

порождённое диофантовым равенством A+ B= Cz при условиях: A, B, C, x, y, z ∈ ℕ; (A, B, C= 1; x > 2, y > 2, z > 2 невыполнимо  для любых  наборов  чисел a0, b0, C ∈ ℕ; a2, b2, a1, b∈ ℕ≤ C-1 

В  дополнение  к статье [5]  теорему 1  можно  сформулировать  ещё  и так:   Равенство (a2 + b2) ⋅ C2 + (a1 + b1) ⋅ C + a0 + b= Cневыполнимо для любых наборов чисел a0, b0, C ∈ ℕ; a2, b2, a1, b∈ ℕ≤ C-1, с которыми выполнялись  бы  равенства

     

 

где    

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.  Будем  утверждать  обратное, предполагая, что равенство (19), порождённое  диофантовым  равенством  A+ B= Cz,   при заданных условиях выполнимо хотя  бы  для  одного набора  чисел C, ai, bi, где i = 0, 1, 2. В соответствии  со следствием 2  леммы "ABC" равенство (19) порождается  диофантовым  равенством A+ B= Cz, в котором  z > 2, а  x и  y – суть любые натуральные числа x ≥ 1 и y ≥ 1В силу этого, выполняя условие x > 2, y > 2, z > 2 данной теоремы, положим  x = 3, y = 3, z = 3. Получим гипотетическое  диофантово  равенство

                                                    (20)

В соответствии  с  леммой  "ABC"  необходимое  и  достаточное  условие  выполнения равенства (20)  требует  выполнения  такой  триады  равенств:

                                                                                 (21)

                                             (22)

                   (23)

Если  бы  выполнялись  равенства  (23),  то,  исходя  из  тождества

                            (24)

выполнялось  бы  и  равенство  (19). Если  бы выполнялись  равенства  (21), (22), (23), то  было  бы  выполнимо  и  равенство  (20). И  наоборот: если  бы  существовали  ненулевые  положительные  целые  числа  (A, B, C) = 1, удовлетворяющие  равенству  (20), то  выполнялись  бы  равенства  (21), (22), (23).

Исходя из этих равенств, число C должно  представляться числами a2, b2, a1, b1 ∈ ℕ0  ≤ C -1; a0, b0 ∈ ℕ;  число Aдолжно  представляться  числами ai (i=0,1,2), C2 и  C;  число  B3  должно  представляться  числами bi (i=0,1,2), C2 и C. Таким образом, если бы существовали  ненулевые положительные целые числа A, B, C удовлетворяющие  равенству (20), то в силу необходимого и достаточного условия его выполнения  эти   числа должны  представляться  набором  чисел ai, bi (i=0,1,2).  Но, как доказал  Л. Эйлер,  не существует  ненулевых  положительных  целых  чисел  A, B, C с которыми  равенство (20) было бы выполнимо. В наличие  такого  доказательства  сошлёмся  на  [8; §3], [9; гл.2, пп.2.1, 2.2]  и  [7].   Далее будем называть такие числа A, B, C натуральными. Так как не существует  натуральных  чисел A, B, C удовлетворяющих  равенству  (20), то не существует  и  таких наборов  чисел ai, bi (i=0,1,2) , которыми числа   A, B, C в соответствии  с  необходимым  и достаточным  условием выполнения равенства (20)  должны представляться. Следовательно, для  любых  наборов  чисел ai, bi (i=0,1,2)  не  выполнятся  все  три  равенства  (21), (22), (23).  Невыполнимость   равенств  (23)  означает  выполнимость  таких  трёх  неравенств:

               (25)

Исходя из тождества  (24) и включая в него подстановки из  неравенств   (25), получим:

                            (26)

Таким  образом, исходное  утверждение, основанное  на предположении  о  выполнимости   равенства (19)  хотя  бы  для  одного  набора  чисел C, ai, bi (i=0,1,2), через  последовательность  импликаций  привело  к  противоположному  утверждению.  В силу фундаментального  закона  логики – закона  противоречия, сформулированного  Аристотелем:  «невозможно,  чтобы  противоречащие  утверждения  были  истинными по отношению  к одному и тому же» [6, глава III, раздел "Учение об истине и законах мышления"], приходим к выводу о том, что исходное утверждение, основанное на предположении, является  ложным. Следовательно,  равенство (19), порождённое диофантовым равенством A+ B= Cz при условиях: A, B, C, x, y, z ∈ ℕ; (A, B, C) = 1; x > 2, y > 2, z > 2 невыполнимо для любых наборов чисел a0, b0, C ∈ ℕ; a2, b2, a1, b1 ∈ ℕ0  ≤ C -1 что и требовалось доказать.

Т Е О Р Е М А  2.  Равенство 

                                                                                            (27)

в котором A, B, C, x, y, z  ℕ, при x > 2, y > 2, z > 2 невыполнимо  для  любых  чисел (A, B, C) = 1. 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.  Будем утверждать  обратное,  предполагая,  что  равенство  (27)  при x > 2, y > 2, z > 2 выполнимо  хотя  бы для одного  набора  чисел (A, B, C) = 1. Тогда по  лемме   "ABC"   должно  выполниться  необходимое  и  достаточное  условие, которое  в  соответствии  с  равенствами      (10), (11), (12)  примет  следующий  вид:

        (28)

         (29)

                                                                             (30)

где i ∈ [1;z - 1]; ai, bi ∈  0 ≤ C-1; a0, b0   ℕ.   

В соответствии  с  равенствами (28), (29)  левая часть равенства  (27)  представится  так:

                           (31)

Исходя  из  тождества

                        (32)

и  делая в него подстановки  из равенств (30), получим:

Нетрудно  видеть, что  при  выполнении  равенств  (30)  должно  выполняться  и  такое  равенство:

                                             (33)

Но, как было доказано  теоремой 1, это равенство, вытекающее из  диофантова  равенства A+ B= Cz при  условиях (A, B, C) = 1 и x > 2, y > 2, z > 2, невыполнимо для любых наборов чисел a0, b0, C ∈ ℕ; a2, b2, a1, b1 ∈ ℕ0  ≤ C -1. При  названных  условиях  справедливо  неравенство

                                                      (34)

Прибавим  к  левой  и  правой части  неравенства (34) следующий  многочлен:

Получим:

                 

      (35)

Левая  часть  неравенства  (35),  исходя  из равенства  (31), равна Ax + By; правая  часть неравенства  (35) , исходя из  равенств  (30) и  тождества (32),  равна CzИз  неравенства  (35)  следует:

                                                  (36)

Таким  образом,  исходное  утверждение, основанное  на  предположении  о выполнимости  равенства (27)  при x > 2, y > 2, z > 2 хотя бы для одного  набора чисел (A, B, C) = 1, через последовательность  импликаций  привело к  противоположному  утверждению.  В соответствии с фундаментальным законом  логики – законом  противоречия: одно и то же утверждение не может быть  истинным и ложным  [6, гл. III, раздел "Учение об истине и законах мышления"],  приходим  к  выводу о том, что исходное  предположение является  ложным. Следовательно,  равенство  (27), в котором A, B, C, x, y, z ∈ ℕ, при x > 2, y > 2, z > 2 невыполнимо   для   любых  чисел (A, B, C) = 1, что и требовалось доказать.

Т Е О Р Е М А   3. Равенство

                                          (37)

в  котором A, B, C, x, y, z  ℕ, при x > 2, y > 2, z > 2 выполнимо для  составных  натуральных  чисел A, B, C имеющих  общий  делитель.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что равенство (37)  может  быть  порождено, например, одним из таких  равенств:

                       (38)

в которых  D, E, F, x, y, z ∈ ℕ, (D, E, F) = 1и  один  из показателей    x   или  y или z  равен 2,  а  два других – больше  2.

Для  случая (a):  умножим  левую и  правую  часть  равенства (38)  на  число F2xy ; для случая  (b) – на число E2xz. Получим:

                                 

                                 (39)

Введём  следующие  обозначения:  

                        для  (а)                     

        для  (b)       (40)

Для случая (а)z > 2, так  как  x > 2 и  y > 2; для  случая (b): y > 2, так  как x > 2 и z > 2. C  учётом  этих  обозначений равенства  (39)  запишутся  так:

                                                 (41)

Равенство  (41)  соответствует  заключению теоремы  3, так как  в нём  x > 2, y > 2, z > 2  и  числа A, B, C являются  составными  натуральными  числами, имеющими  общий делитель.

Приведём  примеры, показывающие  истинность теоремы 3. Для  троек  чисел  (6, 5, 29)  и   (3, 46, 13)  выполняются  такие  равенства: 63 + 54  = 292 и 34 + 462  = 133 Осуществляя  процедуры, подобные  приведённым  в равенствах  (39), получим  соответственно:

 

Очевидно, это  очень  большие  составные   натуральные  числа, имеющие  как  простой (случай (а)), так и составной (случай (b))  общий делитель, в которых показатели  степени  x > 2, y > 2 и z > 2. 

Т Е О Р Е М А  4. Равенство A+ B= Czв котором  A, B, C, x, y, z ∈ ℕ,  при x > 2, y > 2, z > 2 выполнимо  только  для  составных  чисел A, B, C, имеющих  общий  делитель.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сопоставим  теоремы  2  и 3.

Теоремой 2 доказано: равенство A+ B= Czв котором A, B, C, x, y, z ∈ ℕ, при x > 2, y > 2, z > 2 невыполнимо  для  любых  чисел (A, B, C) = 1

Теоремой 3 доказано: равенство A+ B= Czв котором A, B, C, x, y, z ∈ ℕ, при x > 2, y > 2, z > 2  выполнимо  для  составных  натуральных  чисел A, B, C имеющих  общий  делитель.

Из  сопоставления  теорем  2  и  3 в части  их  условия и заключения  следует истинность того, что равенство  A+ B= Cz, в котором  A, B, C, x, y, z ∈ ℕ, при x > 2, y > 2, z > 2 выполнимо только для составных  чисел A, B, C имеющих  общий  делитель, который  может  быть  как  простым, так и  составным  натуральным  числом.

 

Список литературы:

  1. Агафонцев В.В. Системы  счисления  в  диофантовых  равенствах /    В.В. Агафонцев // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения: Материалы XIII  Международной конференции.- Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2015. –С.256-259. URL: http://poivs.tsput.ru/conf/international/XIII/down/Conference2015.pdf  (дата  обращения: 14.07.2018).
  2. Агафонцев В.В. Лемма ʺА, В, Сʺ  в  альтернативном доказательстве теоремы Эйлера /   В.В. Агафонцев // Математика, её приложения и математическое образование-МПМО17: Материалы VI Международной конференции. -Улан-Удэ, Байкал: Изд-во  ВСГУТУ, 2017. –С.14-18. URL: http://www.confmame.ru/documents/pdf/MAME17.pdf  (дата обращения: 14.07.2018).
  3. Агафонцев  В.В.  Лемма ʺАВСʺ  в  исследовании  диофантовых  равенств  / В.В. Агафонцев // Н.И. Лобачевский и математическое образование в России-IFME-2017: Материалы Международного Форума по математическому образованию, посвящённого 225-летию  Н.И. Лобачевского.-Казань: Изд-во  Казан. ун-та, 2017. –С. 12-18.
  4. Агафонцев В.В.  Лемма ʺАВСʺ  и  последняя теорема  Ферма /          В.В. Агафонцев // Современные проблемы физико-математических наук: Материалы III  международной научно-практической конференции. –Орёл: Изд-во Орловского гос. ун-та, 2017. –С.113-119.
  5. Агафонцев В.В.  Позиционные системы  счисления  с произвольным целочисленным  основанием  в диофантовых равенствах  / В.В. Агафонцев //Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения: Материалы XV Международной конференции.-Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2018. –С.243-245. URL:  http://poivs.tsput.ru/conf/international/XV/files/conference2018.pdf  (дата  обращения: 14.07.2018).
  6. Маковельский А.О. История логики / А.О. Маковельский.- М.: Изд-во Кучково поле, 2004,   -с.480.
  7. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера / Ю.Ю. Мачис// Математические заметки.-2007.-№82:3.- С. 395-400.
  8. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел / М.М. Постников.-М: Наука, 1982, - с. 239.
  9. Эдвардс Г. [Edwards H.]  Последняя  теорема  Ферма.  Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с анг. В.Л. Калинина и А.И. Скопина / под ред. Б.Ф. Скубенко.-М.: Мир, 1980,- с. 484.

Оставить комментарий

Форма обратной связи о взаимодействии с сайтом