МЕТОДИКА РАСЧЕТА РАДИУСА АТОМА ВОДОРОДА И ДРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ ТАБЛИЦЫ МЕНДЕЛЕЕВА

THE METHOD OF CALCULATING THE RADIUS OF A HYDROGEN ATOM AND THE OTHER ELEMENTS OF THE PERIODIC TABLE

Khikmatulla Nigmatov

doctor of technical Sciences, Professor, Tashkent Islamic University,

Uzbekistan, Tashkent

Bahodir Tursunbaev

senior lecturer, Tashkent automobile and road Institute,

Uzbekistan, Tashkent

АННОТАЦИЯ

В статье анализируется математический расчет радиуса атома водорода, предложенный Нильсом Бором. Предлагается новая методика расчёта радиуса атома и приводится его результат.

ABSTRACT

The article analyzes the mathematical calculation of the radius of the hydrogen atom proposed by Niels Bohr. We propose a new method of calculating the radius of the atom and is its result.

Ключевые слова: Боровский радиус, квантовая механика, атом водорода, силовой баланс, энергетический баланс, центробежные силы, Кулоновские силы, силы инерции, константа.

Keywords: Bohr radius, quantum mechanics, hydrogen atom, force balance, energy balance, centrifugal force, Coulomb force, force of inertia, a constant.

Как известно, Боровский радиус - это, радиус ближайшей к ядру орбиты электрона атома водорода в модели атома Нильса Бора, предложенной в 1913 году, явившейся предвестницей квантовой механики и зафиксированный как константа в Комитете по данным для науки и техники - Committee on Data for Science and Technology, который имеет значение 0,529x10^-10 м [4].

Н. Бор вычислил величину радиуса водо­рода с помощью своих квантовых правил [1, с. 570]:

Квантовое правило Бора

                                                                                         (1)

 для самой низшей, наиболее стабильной орбите при n=1:

                                                                                               (2)

где, n-главное квантовое число, h-постоянная Планка. Электроны удерживаются на своих орбитах в атоме притя­жением заряда Ze, которое обратно пропорционально квадрату рас­стояния, так что

                                                               (3)

где,  – центробежная сила,– Кулоновская сила,   и  - масса и скорость электрона на орбите радиуса ,  – заряд электрона, k –коэффициент пропорциональности силы Кулона. Для водорода Z=1.

Используя алгебру, чтобы исключить в формуле орбитальную скорость электрона и найти радиус орбиты через,, Нильс Бор умножил левую и правую часть равенства (3) на :

                                                                        (4)

                                                                           (5)

  Равенство (2) возвел в квадрат,

                                                                        (6)

и получил следующее значение:

                                                                       (7)

Разделив уравнение (5) на (7), получил

                                                                     (8)

Отсюда радиус орбиты водорода был равен

                                                                                (9)

Подставляя значения и используя постоянные Планка-, Кулона-, заряд электрон-, массы электрона -, радиус 1-ой стационарной орбиты в атоме водорода Нильсом Бором было получено следующее значение: 

                                                                       (10)

Поэтому полученное данное значение радиуса первой орбиты в атоме водорода (10) ныне называется радиусом Бора, либо атомной единицей длины и широко используется в современной физике и технических рас­четах [3, с. 5].

Рисунок 1. Зависимость радиуса атома от потенциальной ямы

На рисунке 1, приведены результаты расчета радиуса атома водорода, и соответствующая данному радиусу r₀ энергия потенциальной ямы, вычисленное по методике Н. Бора была равна 27,2 эВ, а экспериментальное значение ионизации равно значению 13,6 эВ.     

Равенство (3) является уравнением силового баланса центробежных и Кулоновских сил.

Мы считаем, что Н. Бор умножая действующих сил на расстояние, т.е. умножая левую и правую часть равенства (3) на r, он допустил ошибку. Так как, не все математические операции описывают физические процессы.

Да, мы согласны, когда действующая сила F=const, то методика Н. Бора приемлема. А при F≠const, то выполненная работа должна определяться с помощью формулы . То есть, затраченная энергия или совершенная элементарная работа определяется умножением сил F на , что означает Кулоновская сила -  является функцией аргумента , то есть . Поэтому, обе части уравнения (3) нужно было умножать на , а не на ,  и только в этом случае уравнение могло стать уравнением  энергетического баланса,

                                                                       (11)

В формуле (11) обе стороны означают элементарную работу -, совершаемых вышеуказанными силами:

                                                            (12)

Для численного вычисления выполненной работы Кулоновских сил в промежутке от ∞ до r₀, необходимо интегрировать уравнение (12), тогда

                                           (13)

Здесь нужно отметить, что скорость электрона   является функцией радиуса r, то в этом случае,

                                                          (14)

Следовательно, возникает вопрос, равны ли левая и правая части уравнения (14) математическому выражению?

Конечно нет, ведь математическое выражение как левой части, так и правой части формулы (14) не равны на , т. е. на языке математики:

                             (15)

 Что показывает, уравнения (4) и (11) – являются неравнозначными математическими выражениями. Поэтому уравнение (5) Н. Бора не будет являться уравнением энергетического баланса.  

Рассмотрим теперь вопрос о расходах энергии при по­кидании электрона данной замкнутой системы.  В этом случае, общая энергия электрона будет расходоваться на преодоления Кулоновских сил (т.е. для преодоления потенциальной ямы) и сил инерции.

Рисунок 2. Процесс захвата электрона протоном

Как известно, что полная энергия. При перемещении точки отсчета системы координат на расстояние, от 0 на 0^' (см. Рис. 2), то уравнение примет следующий вид:

                                                                                       (16)

где, - кинетическая энергия электрона. Это означает, что полная энергия -  электрона на точке 0΄ будет равна только кинетической энергии [2, с. 60].

Для того, чтобы выта­щить электрон из потен­циаль­ной ямы необходима дополни­тельная энергия в количестве:  

                                                      (17)

или

                                                                                      (18)

Как всем из­вест­но, энергия - , необходимая для ионизации атома водорода, равна 13,6 эВ или 2,176×10^-18 Дж. 

Решая уравнения (18) относи­тельноможно получить формулу                оп­ре­деления единственного ор­би­тального радиуса атома во­дорода:

                                                                                     (19)

Подставив значения членов уравнения в системе СИ в урав­нение (19), можно вычислить радиус атома. В этом случае, для водорода единственный   орбитальный радиус атома водорода будет равен:

=м                               (20)

В заключении необходимо отметить, предложенная нами методика расчета позволяет определить не только уточнённый радиус атома водорода, но и других элементов в системе таблицы Менделеева. 

Список литературы:

1. Роджерс Э. Физика для любознательных. Электричество и магнетизм, атомы и ядра // Под ред. В. Ф. Киселёва. Общ. ред. Л. А. Арцимовича.  — М.: Издательство «Мир», 1971. — Т. № 3. — С. 630.
2. Турсунбаев Б. Методология взаимосвязи теорий фундаментальной механики и электродинамики с квантовой теорией. — Ташкент: Издательство Fan va texnologiya, 2015. — С. 80.
3. Bohr N. On the Constitution of Atoms and Molecules // Philos. Mag. —1913. — Series 6. — Р. 5.
4. The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html (дата обращения: 22.01.2017).