БЕСКОНЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН

INFINITE SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS IN BUCKLING ANALYSIS OF RECTANGULAR PLATES

Stanislav Papkov

candidate of Science, Head of department of Mathematics, Sevastopol State University

Russia, Sevastopol

Olga Dovgalenko

assistant professor of department of Mathematics, Sevastopol State University

Russia, Sevastopol

Maya Chevin

assistant professor of department of Mathematics, Sevastopol State University

Russia, Sevastopol

АННОТАЦИЯ

Представлено новое аналитическое решение задачи об устойчивости тонкой прямоугольной пластины с защемленными краями. Задача сводится к квазирегулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, для нетривиального решения которой строится асимптотика. Точность и вычислительная эффективность метода иллюстрируются на примерах.

ABSTRACT

A new analytical solution for buckling of thin rectangular plate with clamped edges is presented. The problem has reduced to a quasi-regular infinite system of linear algebraic equations. Asymptotic behavior of unknowns is constructed for non-trivial solution of system. The accuracy and computational efficiency of the approach are demonstrated by examples.

Ключевые слова: устойчивость, аналитическое решение, бесконечная система линейных алгебраических уравнений.

Keywords: stability, analytical solution, infinite system of linear algebraic equations.

Имеется несколько подходов к исследованию устойчивости упругих тел, при этом статический подход (Эйлера) остается одним из наиболее используемых. Для прямоугольной пластины точные решения основного линеаризованного уравнения теории устойчивости были получены на рубеже  XIX-XX столетий и на сегодняшний день широко используются в инженерных расчетах, служат эталоном для отработки и апробирования приближенных методов расчета пластин на устойчивость. Точные решения удается получить, когда на сторонах пластины задано условие свободно опертого края, более практически значимые случаи жесткого защемления и полностью свободного края допускают лишь приближенное решение. В статье [3] представлен новый подход к определению собственных частот колебаний и критических сил для прямоугольных пластин с защемленными краями на основе анализа соответствующих бесконечных систем уравнений, однако вопрос о построении собственных форм остался открытым. В представленной работе функция прогиба (форма потери устойчивости) ищется в форме рядов Фурье, для коэффициентов которых строятся асимптотики, позволяющие определить коэффициенты рядов с требуемой точностью.

Рассмотрим тонкую пластину  равномерно сжатую в двух направлениях под действием контурных нагрузок N_x и N_y. Функция прогиба w(x,y) должна удовлетворять линеаризованному уравнению устойчивости:

                                                            .(1)

На границе пластины Γ заданы условия жесткого защемления:

                                                                                              (2)

где  ‑ цилиндрическая жесткость, ‑ коэффициент Пуассона, E – модуль упругости, h – толщина пластины.

Пусть,  тогда общее решение уравнения (1) может быть представлено в виде четной функции по обеим координатам

        (3)

где ; величины  и  являются корнями характеристических биквадратных уравнений

         ,             (4)

для j = 1 выбираются со знаком «+», и для j = 2 со знаком «‑»:

. (5)

Краевые условия на функцию прогиба пластины w можно выполнить точно:

;

если

                                                  (6)

Условия на нормальную производную, после подстановки (6) и разложения входящих в равенства функций в ряды Фурье, приводят к однородной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных , связанных с коэффициентами  формулами:

       (7)

Бесконечная система алгебраических уравнений имеет вид

;      (8)

где

Заметим, что при выводе бесконечной системы использовались соотношения теоремы Виета для уравнений (4), которые, в частности, дают тождество

Далее, при помощи замены переменных  систему (8) можно записать в каноническом виде

        (m =1, 2,…)                                              (9)

Бесконечная система линейных алгебраических уравнений называется регулярной, если для любого номера m:

.                                                          (10)

При выполнении условий регулярности (10) однородная бесконечная система (8) имеет нулевое главное решение, опираясь на теорему П.С.Бондаренко [2] можно показать единственность этого решения. Если условия (10) выполняются при , то бесконечная система является квазирегулярной и ее исследование может быть сведено к конечной системе линейных уравнений порядка N_R.

Для системы (8) значения рядов (10) могут быть вычислены точно на основе известной формулы

.

Откуда, учитывая, что при достаточно больших номерах m все коэффициенты бесконечной системы (8) положительны, можно найти, что  Таким образом, полученная бесконечная система является системой с вырожденной регулярностью.

Провести регуляризацию данной системы можно несколькими способами, в частности, здесь предлагается провести замену

                                                                                (11)

После чего система (8) принимает вид

           (12)

Тогда оценка регулярности системы (12) дает:

при всех , где N_r ‑ номер, начиная с которого все коэффициенты системы положительны.

Из последней оценки следует, что бесконечная система (12) является квазирегулярной.

Для записанной в форме (9) системы (12) выразим через первые N_R = 2N_r неизвестных остальные неизвестные

                                               .                                      (13)

После подстановки (13) в (9) при  получаем совокупность бесконечных систем относительно

                               (14)

Системы (14) в силу квазирегулярности исходной системы будут регулярными, что означает для них существование единственного ограниченного решения для любых значений нагрузок P и Q. Первые неизвестные определяются как решение конечной системы

,                                                  (15)

где

Система (15) на значениях критических нагрузок P_С и Q_C имеет нетривиальное решение, которое позволяет построить собственную форму – форму потери устойчивости пластинки.

Для эффективного решения совокупности регулярных систем (14), заменой переменных

                                             (16)

регулярные системы (14) приводятся к виду,

                              (17)

в котором удовлетворяют достаточному условию существования ненулевого предела у решения [2]

.                                               (18)

Наличие положительного предела (18) у решений (17) дает возможность использовать для оценок первых неизвестных и предельного значения метод улучшенной редукции.

В качестве примера рассмотрим определение критических нагрузок и форму потери устойчивости для квадратной пластины. Для этой задачи известна приближенная формула [1], полученная как первый член приближения по методу Галеркина:

                            ,                                (19)

Формула (19) дает хорошее приближение при размерах пластинки близких к квадрату в силу того, что форма потери устойчивости будет хорошо приближаться аппроксимирующей функцией .

При изменении  (P = 0) число нерегулярных уравнений в системе (12) остается одинаковым и равным N_R.= 2. В табл. 1 даны оценки методом улучшенной редукции первых неизвестных и предельного значения в системе (17) для .

Таблица 1.

Оценки неизвестных в системе (16)

Зная решения регулярных бесконечных систем (17), по формулам замены (16) вычислялись первые неизвестные в системах (14), предельные значения  дают возможность описать асимптотику решений этих систем при m > N_L, откуда получаем асимптотику нетривиального решения бесконечной системы на критической нагрузке:

.                                         (20)

Таким образом, на критических нагрузках находятся все компоненты нетривиального решения. Критические нагрузки определяются как нуль определителя системы (15). На рис.1 можно увидеть, что Q_C =2.5185(π/b)² (при P_C = 0). В рассматриваемом примере порядок данного определителя N_R.=2.

Рисунок 1. Определитель системы (15) как функция от Q

Для данной задачи значение критической нагрузки, полученное на основе (19), дается [1] как , там же приводится уточненное значение .

В следующей таблице дается сравнение найденных значений критической силы Q_C  согласно описанному в статье подходу и значений критической силы Q₀ согласно приближенной формуле (19)

Таблица 2.

Сравнение с приближенным решением

Заметим, что уже при отношении a/b > 1.1 формула (19) дает большую погрешность, и для достижения хорошего приближения по методу Галеркина приходится использовать большее количество аппроксимирующих функций.

Для определения формы потери устойчивости остается с учетом найденных значений критических нагрузок P_С и Q_C  выполнить численные оценки нетривиального ограниченного решения квазирегулярной бесконечной системы и воспользоваться аналитическим представлением прогиба в форме бесконечного ряда (3):

На рис. 2 представлены формы потери устойчивости согласно (3) для случая одноосного сжатия пластины и для случая двухосного сжатия пластины равными силами.

a)                b)

 с)           d)

         Рисунок 2. Формы потери устойчивости

Как в случае одноосного растяжения, так  и в случае двухосного сжатия форма потери устойчивости имеет тем большее число выпучин, чем сильнее отличается форма пластины от квадрата. В случае одноосного сжатия это выражается более ярко с увеличением нагруженных сторон прямоугольника.

Список литературы:

1. Биргер И.А., Пановко Я.Г. (1968) Прочность, устойчивость, колебания в 3 т./М: изд-во Машиностроение, 1968. ‑ 3т. – 567 с.
2. Канторович Л.В., Крылов B.И. (1962) Приближенные методы высшего анализа. М. –Л.: Физматгиз, 5-е изд. ‑ 708 с.
3. Papkov S.O., Banerjee J.R. A new method for free vibration and buckling analysis of rectangular orthotropic plates. /Journal of Sound and Vibration 339, 2015. – P. 342 ‑ 359