МЕТОД РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ СТАЦИОНАРНОЙ КРАЕВОЙ ЗА-ДАЧИ С НЕЛИНЕЙНЫМ УСЛОВИЕМ НА ЧАСТИ ГРАНИЦЫ

METHOD FOR SOLUTION OF THE MIXED STATIONARY BOUNDARY PROBLEM WITH NONLINEAR CONDITION ALONG PART OF THE BORDER

Evgeny Minaev

Doctor of Science, professor of Department of Physics, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov,

Russia, Saratov

АННОТАЦИЯ

Приведён обзор решения смешанных краевых задач. Отмечены особенности постановки и решения задач данного типа. Рассмотрена плоскопараллельная краевая задача, состоящая из дифференциального уравнения Лапласа и смешанных граничных условий, когда на одной части поверхности задано нелинейное граничное условие, на другой части этой же поверхности – граничное условие третьего рода.. Предложен метод решения этой задачи, проанализированы особенности рассматриваемой задачи и метода.

ABSTRACT

The survey of the solutions of the mixed boundary problems is represented. Laplace's equation and mixed boundary conditions are examined. The nonlinear condition is assigned on the part of the surface. The third boundary condition is assigned on another part of the surface. The method of the solution is proposed.

Ключевые слова: краевая задача; смешанные граничные условия.

Keywords: boundary problem; mixed boundary conditions.

Введение

В литературе рассматривается два типа смешанных граничных условий. Если на разных границах области изменения функции заданы разнородные граничные условия, но в пределах каждой из границ условия не меняются, то решение краевых задач в этом случае не вызывает затруднений, их можно решить стандартными аналитическими методами.

Если же граничные условия изменяются и в пределах одной и той же границы, то решение краевых задач с такими граничными условиями могу вызвать значительные затруднения. Они имеют точное аналитическое решение только в отдельных частных случаях. Как правило, для их решения требуется применять численные или численно – аналитические методы. В данной работе рассматриваются этот тип задач. Такие задачи могут возникнуть при расчёте температуры в пластине в условиях конвективного теплообмена на границе, при нахождении распределения электрического потенциала в двухэлектродных или многоэлектродных электрохимических системах и некоторых других расчётах [1].

В научной литературе имеются сведения о решении некоторых краевых задач данного типа. Так в работе [3] рассмотрен случай граничных условий, когда на малой части поверхности задана производная от искомой функции (граничное условие второго рода), а на остальной – линейная связь между искомой функцией и её производной (условие третьего рода)

     ,                                     (1)

где:  – функция координат  и ;

 – коэффициент пропорциональности в граничном условии третьего рода.

В монографии [2] представлено решение задачи, у которой на обоих участках поверхности заданы условия третьего рода, но с разными значениями коэффициента пропорциональности  и  (смешанная третья краевая задача). В работе [4] этот случай обобщён на произвольное число участков, в пределах каждого из которых коэффициент  принимает своё значение . В терминах электрохимических систем, в зависимости от того, сколько значений принимает величина , система называется двухэлектродной, трёх электродной или многоэлектродной.

Во всех отмеченных случаях краевая задача решается численно – аналитическими методами, имеющими некоторые общие черты. Поверхность разбивается на малые участки, для каждого из которых вводится некоторая вспомогательная величина, имеющая смысл усреднённого по этому участку значения искомой функции или усреднённого значения производной от искомой функции. Это позволяет перейти от смешанных граничных условий к стандартному граничному условию третьего рода для всей поверхности с некоторым общим значением . Далее, каким-либо аналитическим методом решается эта третья краевая задача, в результате чего образуется система линейных уравнений относительно указанных вспомогательных величин.

В данной работе представлено дальнейшее обобщение рассмотренного выше подхода к решению подобных краевых задач, а именно, рассмотрен случай, когда одна часть поверхности имеет нелинейное граничное условие, а другая – граничное условие третьего рода. В результате краевая задача сводится к системе нелинейных уравнений.

Решение задачи

Рассмотрим задачу о нахождении гармонической функции  на полубесконечной полосе

                         (2)

                           (3)

,              ,    ,        (4)

     ,        (5)

На части границы выполняется нелинейное граничное условие (4), а на части  – граничное условие третьего рода.(5). На границах  и  по условию задачи производные имеют нулевые значения (граничные условия (3)). Нелинейная функция  и коэффициент  известны по условию задачи

Разделим отрезокна  малых участков. Тогда условия (4) и (5) перепишем в виде

  ,                 ,                 (6)

  ,        ,           (7)

..…………………………………………….…..          

,          ,      (8)

.  (9)

Проведём некоторые преобразования для того, чтобы свести граничные условия (6)-(8) к стандартному виду (9). На поверхности каждого из участков существует некоторое неизвестно распределение искомой функции, зависящее от координаты . Учитывая малую ширину участков, это распределение можно приближённо заменить средним по поверхности участка значением, которое будем обозначать, как . Чем точнее выполняется это условие, тем точнее результаты расчёта. Будем считать ширину участков одинаковой , тогда

      ,        ,    . (10)

Значения  неизвестны, они будут определены ниже. Для каждого участка границы приближённо выполняется условие

,       ,    .             (11)

Но, кроме того, на каждом из участков существует некоторое неизвестное распределение производной, которую обозначим, как j. Вследствие малости участка её можно считать постоянной и равной некоторому неизвестному значению . С учётом принятых обозначений . Это выражение можно записать в виде нелинейной связи между производной и самой функцией , где функция обратная g. Вычтем слева и справа в (11) эти производные, умноженные на коэффициент , тогда граничные условия можно записать в виде

   .  (11)

Введя обозначение

       ,   (12)

перепишем выражение (12) в виде

,           (13)

Объединяя выражения (9), (11) и (13), получим стандартное граничное условие третьего рода, выполняемое по всей поверхности .

     ,        , (14)

Величины  – неизвестны. Дальнейшие рассуждения связаны с построением системы уравнений для определения величин  и, следовательно, величин . Определив их, мы, тем самым, найдём дискретное распределение неизвестной функции на отрезке , то есть решим поставленную задачу для этого отрезка поверхности.

Перейдём к решению уравнения (2) с граничными условиями (3) и (14). Будем использовать (14) так, как будто  уже известны. Краевая задача (2), (3), (14) решается не только для того, чтобы найти функцию внутри поверхности и на отрезке границы , но и для того, чтобы получить систему уравнений для нахождения неизвестных величин .

С учётом условий (3), применим к уравнению (2) интегральное косинус − преобразование с конечными пределами интегрирования

,                          (15)

.                 (16)

Дифференциальное уравнение для изображения имеет вид

решение его с учётом условий на бесконечности выражается функцией

          ,                 (17)

 а формулу для нахождения констант интегрирования определим, применив интегральное преобразование к граничному условию (14). Тогда

     .        (18)

Возвращаясь от изображения к оригиналу и меняя порядок суммирования по k и по n, запишем выражение для искомой функции

.

(19)

Для построения системы уравнений относительно неизвестных , подставим (19) при условии  в выражения (10) и проинтегрируем. Поскольку ряд является равномерно сходящимся, интегрировать его можно почленно

.  (20)

После вычисления интегралов и подстановки вместо  выражения (13), получим систему нелинейных уравнений относительно неизвестных

       ,            .        (21)

Коэффициенты  определяются по формулам

         , где

   . (22)

Решая систему уравнений (21) каким-либо численным способом ( например, методом последовательных приближений), найдём значения , то есть решим поставленную задачу для отрезка границы . Подставляя  в формулу (13), определим значения . Далее, можно рассчитать функцию в любой точке поверхности по формуле (19). Таким образом, задача решена.

Обсуждение результатов

Предложенный в данной работе метод имеет две особенности. Первая особенность связана с тем, что краевая задача, заданная в области, заменяется эквивалентной задачей, заданной лишь на границе этой области. В данном случае, задача (2)-(5), заданная на полубесконечной полосе

,

заменяется эквивалентной системой уравнений (21), которая задается только на границе, причём только на части границы

      ,        .

Вторая особенность заключается в том, что при определении искомой функции внутри области достаточно использовать ее значения на границе, подставляя их в некоторое аналитическое выражение. В данном случае, используя граничные значения , подставляя их в выражение (19), найдем функцию  в любой точке внутри полосы без использования  численных методов.

Отмеченные особенности позволяют значительно уменьшить размерность системы уравнений, к которой сводится задача и, следовательно, уменьшить объём вычислений по сравнению с другими численными методами (метод конечных разностей, метод конечных элементов).

Список литературы:

1. Гнусин Н.П. Основы теории расчета и моделирования электрических полей в электролитах / Н.П. Гнусин, Н.П. Поддубный, А.И. Маслий. – Новосибирск: НАУКА, 1972. – 276с.
2. Иоссель Ю.Я. Расчёт и моделирование контактной коррозии судовых конструкций / Ю.Я. Иоссель, Г.Э. Клёнов, Р.А. Павловский. – Л.: СУДОСТРОЕНИЕ, 1979. – 297с
3. Минаев Е.Н. Методика расчёта электрического поля в системе катодной защиты при смешанных граничных условиях // Научно-технический вестник Поволжья. – 2011. – №5. – С.215-219.
4. Минаев Е.Н. Метод расчёта электрического поля на границе металл-электролит при переменном коэффициенте поляризации вдоль границы / Е.Н. Минаев, В.П. Царёв //. Вестник Сарат. гос. техн. ун-та. – 2010. – №3(48). – С.106-113.