Статья опубликована в рамках: Научного журнала «Инновации в науке» № 2(63)
Рубрика журнала: Математика
Скачать книгу(-и): скачать журнал
СПЕЦИФИЧЕСКИЕ «УСКОРЯЮЩИЕ» ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
SPECIFIC «ACCELERATING» TRANSFORMATIONS OF KINEMATICAL SPACES
Adahаmjan Joraev
Candidate of Science, assistant professor Kyrgyz-Uzbek University,
Republic of Kyrgyzstan, Osh
АННОТАЦИЯ
В статье показано, что преобразования, соответствующие реальным операциям улучшения транспортного сообщения, сохраняют кинематические свойства пространства. Полученные результаты подтверждают естественность определения кинематического пространства.
ABSTRACT
It is demonstrated in the paper that transformations corresponding actualoperations to improve transport communication preserve kinematical properties of a space.The obtained results substitute naturalness of the definition of a kinematical space.
Ключевые слова: кинематическое пространство; преобразование пространства; сохранение свойств
Keywords: kinematical space; transformation of space; preservation of properties
Введение
Для целей интерактивного компьютерного представления топологических пространств в книге [1] было введено определение кинематического пространства и осуществлена реализация некоторых известных пространств: листа Мёбиуса, римановых поверхностей квадратных корней и логарифма, проективной плоскости.
Нами [3] было осуществлено построение римановых поверхностей по заданным алгебраическим или дифференциальным уравнениям.
В [2] было введено определение локальной неоднородности в классе топологических пространств, откуда также следуют определения в подклассах этого класса. Нами [4], [5] найдены некоторые достаточные условия наличия неоднородности.
Известны различные преобразования для получения новых топологических пространств - склейка, разрезание, прямое произведение. В настоящей статье предлагаются специфические для кинематических пространств преобразования, вытекающие из их определения. Они соответствуют реальным операциям улучшения транспортного сообщения. Показано, что они сохраняют кинематические свойства пространства, и тем самым подтверждают естественность определения кинематического пространства.
1. Основные определения
Приведем (с другим разделением на аксиомы)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 [1]. Кинематическим пространством называется множество G точеки множество K маршрутов. Каждый маршрут M состоит из
числа TM >0 (время маршрута) и функции mM: [0, TM] → G (траектория маршрута). При этом:
(K1) Для любых различных z0 и z1 существует такое M∈K, что mM(0) = z0 и mM(TM) =z1 (передвижение между любыми точками возможно);
(K2) Для любых различных z0 и z1, mM(0) = z0 и mM(TM) =z1, множество значений TM ограничено снизу положительным числом (сколь угодно быстрое передвижение невозможно).
(K3) Если M={TM, mM(t)}∈ K, то {TM, mM(TM- t)}∈ K (возможно движение в обратном направлении).
(K4) Если M={TM, mM(t)}∈ K и T*∈ (0, TM), то пара: T* и функция m*(t)=mM(t)(0 ≤ t ≤ T*) также принадлежит K(т.е. можно остановиться в любой момент). Маршруты, существующие в силу этой аксиомы, будем называть подмаршрутами маршрута M.
(K5) Если {T1, m1(t)}∈ K, {T2, m2(t)}∈ K и m1(T1)=m2(0), то пара: числоT* = T1 + T2 и функция m*(t)= m1(t) ( 0 ≤ t < T1); m*(t)= m2(t-T1) ( T1≤ t ≤ T1+T2)
также принадлежит K (транзитивность).
Для любой функции - траектории маршрута mM: [0, TM] → G множество ее значений будем называть линией.
Кинематическое пространство является линейно связным (без изолированных точек) метрическим топологическим пространством с метрикой
ρK (z0 ,z1) = inf {TM :M∈ K, mM(0) = z0 и mM(TM) =z1}.
Иногда удобнее строить не весь набор маршрутов, а только их «базис», из которого можно составить весь набор. Поэтому мы предлагаем
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Базисом B множества K маршрутов называется такой набор маршрутов, что
(K1) заменяется на (K1’): Для любых различных z0 и z1 существуют такиеz2,…,zn, что в В существуют пути z0-z2,…, zn-z1.
(K2), (K3), (K4) для В сохраняются; (K5) не требуется.
Множество M всех маршрутов строится из базиса B операцией, соответствующей (K5).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3[2]. Если две точки топологического пространства имеют гомеоморфные окрестности, то они называются локально однородными.
Из него следует
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Если хотя бы две точки x1∈X, x2∈Xне являются локально однородными, то пространство X в целом называется локально неоднородным.
Мы предлагаем
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Пусть имеются два кинематических пространства X1, X2 с метриками ρ1(z0 ,z1), ρ2(z0 ,z1),соответственно, и непрерывная инъективная функция J:X1→X2. Если для всех x1≠x2∈X1 будет ρ2(J(x1),J(x2))≤ρ1(x1,x2) и для некоторых x1≠x2∈X1будетρ2(J(x1),J(x2))<ρ1(x1,x2), то такое преобразование будем называть ускоряющим.
2. Примеры ускоряющих преобразований
2.1. Введение дополнительного пути.
Выберем две точки x1 ≠x2∈X1, положительное числоp<d:=ρ1(x1 ,x2),и соединим, дополнительно к множеству X1, эти две точки изометрическим образом отрезка [0,p]. Полученное множество X2 будет содержать точки X1∪(0,p). Точки из этого отрезка будем обозначать через y.
В качестве базиса маршрутов в X2 возьмем объединение множества маршрутовв X1и набора путей – под отрезков из образа отрезка [0,p], с временами, равными длинам соответствующих прообразов этих под отрезков.
Проверим выполнение аксиомы К1’). Если обе точки лежат в X1, то маршрут между ними существует в силу кинематичности X1.Если обе точки лежат в образе отрезка [0,p], то маршрут между ними является образом пути между соответствующими точками на отрезке. Если одна точка xлежит в X1, а другая точка y- на образе отрезка, то маршрут между ними составляетсяиз двух маршрутов из базисаy - x1 иx1-x.
Тогда ρ2(x1 ,x2)=p<ρ1(x1 ,x2)=d.
2.2. Улучшение путей. Выберем две точки x1≠x2∈X1и найдем такой маршрут M между ними, что его время Tменьше 2ρ1(x1 ,x2). Множество X2 возьмем совпадающим с множеством X1.
В качестве базиса маршрутов в X2 возьмем объединение множества маршрутов в X1 и маршрут M и множество его подмаршрутов, с временами, уменьшенными вдвое (обозначим соответствующий маршрут через М' c временем Т').
Тогда для точек x1 ,x2 по маршруту М':
ρ2(x1 ,x2)≤T’=T/2 <2ρ1(x1 ,x2)/2=ρ1(x1 ,x2).
3. Компьютерная реализация
Рассматривается случай движения по плоскости (множества X1⊂R2).
Для удобства пользователя и возможности точного возврата в уже пройденную точку будем рассматривать движение только по направлениям, параллельным осям координат. Пусть h– малое положительное (машинное) число.
Индексы будем записывать в квадратных скобках.
Для каждой из точек на плоскости пользователь выбирает одно из четырех направлений движения
v[1] = {1,0}, v [2]={0,1}, v[3] ={ –1,0}, v[4] = {0, –1}.
Кроме того, проверяется выход на границу области X1 и возможность дальнейшего движения.
Определяется сеть z[p, q]= z0+uh+ivh, u, v- целые числа.
На каждом звене сети длиной h задается положительное число - время прохождения этого звена.
На этой сети определяются сеточные функции: общее время прохождения задаваемого пользователем маршрута, отметки уже пройденных узлов сетки и т.д.
Случай 2.1 представляется следующим образом. Точки x1 и x2 отмечаются отдельно от других. При приходе в одну из этих точек компьютер задает вопрос «ХОТИТЕ ЛИ ВЫ ДВИНУТЬСЯ ПО ПРЯМОМУ ПУТИ К ТОЧКЕ х2/х1?» и при положительном ответе переходит к точке, являющейся образом точки h/(p-h) отрезка [0,p].
Вслучае 2.2 отмечается траектория, соединяющая точки x1 и x2, и движение по ней производится более быстро.
Список литературы:
- Борубаев А.А., Панков П.С. Компьютерное представление кинематических топологических пространств. - Бишкек: Кыргызский государственный национальный университет, 1999. – 131 с.
- Борубаев А.А., Панков П.С. Распознаваемость размеченных топологических пространств // Вестник Кыргызского национального университета. - 2007. – Серия 3, выпуск 4. – С. 5–8.
- Жораев А.Х. Кинематическое построение и исследование топологических пространств. – Автореферат дисс.…канд. физико-матем. наук. – Бишкек, 2012. – 16 с.
- Жораев А.Х. Условия существования локально неоднородных связных топологических пространств // Инновации в науке / Сборник статей по материалам LVII междунар. научно-практ. конф. №5 (54). ЧастьI. Новосибирск: Изд. АНС “СибАК“, 2016. 190 с. – С. 145-149.
- Жораев А.Х. Существование неоднородных подпространств без изолированныхточек в кинематических пространствах // Естественные и математические науки в современном мире / Сборник статей по материалам XL междунар. научно-практ. конф. № 3 (38). - Новосибирск: Изд. АНС "СибАК", 2016. – С.70-75.
Оставить комментарий