Телефон: 8-800-350-22-65
WhatsApp: 8-800-350-22-65
Telegram: sibac
Прием заявок круглосуточно
График работы офиса: с 9.00 до 18.00 Нск (5.00 - 14.00 Мск)

Статья опубликована в рамках: Научного журнала «Инновации в науке» № 2(63)

Рубрика журнала: Математика

Скачать книгу(-и): скачать журнал

Библиографическое описание:
Жээнтаева Ж.К. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ МНОГОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С КОНЕЧНОМЕРНЫМ ПРЕОБЛАДАНИЕМ // Инновации в науке: научный журнал. – № 2(63). – Новосибирск., Изд. АНС «СибАК», 2017. – С. 17-19.

ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ МНОГОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С КОНЕЧНОМЕРНЫМ ПРЕОБЛАДАНИЕМ

Жээнтаева Жумагул Кенешовна

канд. физ.-мат. наук, доц. Кыргызско-Узбекского университета,

Кыргызская Республика, г. Ош

 

INVESTIGATION OF SYSTEMS OF MULTIDIMENSIONAL LINEAR OPERATOR-DIFFERENCE EQUATIONS WITH FINITE-DIMENSIONAL PREDOMINANCE

Zhumagul Zheentaeva

           Candidate of Science, assistant professor

 Kyrgyz-Uzbek University, Republic of Kyrgyzstan, Osh

 

АННОТАЦИЯ

В статье полученные ранее автором результаты по существованию специальных решений и асимптотической конечномерности пространства решений начальных задач для систем линейных операторно-разностных уравнений обобщены на системы векторно-матричных операторно-разностных уравнений.

ABSTRACT

In the paper, the results on existence of special solutions and asymptotical finitedimensionality of solutions of initial value problems for systems of linear operator-difference equations obtained by the author earlier are generalized for systems of vector-matrix operator-difference equations.

 

Ключевые слова: разностное уравнение; система уравнений; специальное решение; начальная задача; асимптотика

Keywords: difference equation; system of equations; special solution; initial value problem; asymptotic

 

Введение

Отметим, что для решений линейных автономных эволюционных уравнений (в широком смысле) вопрос о структуре пространства решений сводится к исследованию характеристических алгебраических уравнений. Поэтому мы далее рассматриваем существенно неавтономные уравнения.

Для решений начальной задачи для линейного дифференциального уравнения с ограниченным запаздыванием аргумента, в ряде работ (см. обзоры в книге [3] и статье [4]) были найдены условия, когда существует такое одномерное подпространство решений (названных «специальными»), что любое решение стремится при увеличении аргумента к одному из специальных решений. В статье [5] был построен пример, показывающий, что данное явление имеет место не всегда, поэтому возник вопрос о наиболее широких условиях, при которых оно имеет место.

Мы также поставили вопрос о том, для каких наиболее широких классов эволюционных уравнений возникают аналогичные явления. В [1] нами показано, что дифференциальные уравнения с ограниченным запаздыванием аргумента при помощи "расщепления пространства решений» можно привести к уравнениям более широкого класса - эволюционным системам операторно-разностных уравнений - с сохранением их специфики. В [2] - найдены условия для систем операторно-разностных уравнений, соответствующие «малости запаздывания», обеспечивающие наличие аналогичных явлений.

В настоящей статье некоторые результаты [2] обобщены на системы векторно-матричных операторно-разностных уравнений, соответствующих системам дифференциальных уравнений с малым запаздыванием аргумента.

1. Условия наличия специальных решений систем векторно-матричных операторно-разностных уравнений

Применение метода расщепления пространства решений к системе m линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом приводит к системе 2m операторно-разностных уравнений

xn+1,1=an11xn1+an12xn2+…+an1mxnm +bn11yn1+bn12yn2+…+bn1mynm,

xn+1,2=an21xn1+an22xn2+…+an2mxnm +bn21yn1+bn22yn2+…+bn2mynm,

xn+1,m=anm1xn1+anm2xn2+…+anmmxnm+bnm1yn1+bnm2yn2+…+bnmmynm,                                      (1)

yn+1,1=cn11xn1+cn12xn2+…+cn1mxnm +dn11yn1+dn12yn2+…+dn1mynm,

yn+1,2=cn21xn1+cn22xn2+…+cn2mxnm +dn21yn1+dn22yn2+…+dn2mynm,

yn+1,m=cnm1xn1+cnm2xn2+…+cnmmxnm+dnm1yn1+dnm2yn2+…+dnmmynm,

n=0,1,2,3,…,

где искомые: {xn1:n=0,1,2,…}, {xn2:n=0,1,2,…}, …, {xnm:n=0,1,2,…} – числовые последовательности;{yn1:n=0,1,2,…}, {yn2:n=0,1,2,…}, …, {ynm:n=0,1,2,…} -

последовательности элементов некоторого банахова пространства Ω;

заданные:{an11,an12,…,anmm: n=0,1,2,…}- числовые последовательности;

{bn11, bn12,…,bnmm: n=0,1,2,…}  - последовательности линейных функционалов ΩR;n11, сn12,…,сnmm: n=0,1,2,…}  - последовательности элементов из Ω; {dn11, dn12,…,dnmm: n=0,1,2,…}  - последовательности линейных операторов ΩΩ.

Как будет показано ниже, необходимо, чтобы числовые матрицы из последовательности

 3, …(2)

имели диагональное преобладание, и матрицы из последовательностей

,              (3)

(4)

с элементами, описанными выше, были малы по норме.

Вводя еще обозначения

записываем (1) в виде системы двух векторно-матричных операторно-разностных уравнений

(5)

В качестве нормы в пространствеRm выберем

||colon{x1, x2, …,xm}||0 :=max{| x1|, |x2|, …,|xm|}.

Аналогичную норму||⋅||Ω,0 введем в пространствеΩ m. Операторную нормуΩΩиΩR будем обозначать ||⋅||w.

        Предположим, что существуют такие положительные константыa-<a+, b, c, d, чтоanii [a,a+],i=1..m; |anij|a, ij;||bnij||w b, ||cnij||Ω c, ||dnij||w d,i,j=1..m, n=0,1,2,3,…

Т е о р е м а  1. Если существует положительное число w, удовлетворяющее условиям 1) q-:= a--a(m-1) -bmw>0;  2) m(c+ dw)q-w,                                                                                                         

то решение системы (1) с начальными условиями

X01=1, X02=0,..., X0m=0, Y01=0, Y02=0,..., Y0m=0                                  (6)

удовлетворяет неравенствам

                                                        (7)

         До к а з а т е л ь с т в о. В силу (6), неравенства (7) выполняются в на-чальный момент времени. Докажем, что из их выполнения при nследует их выполнение при n+1”. Имеем (при i=0слагаемые «до него» и при i=n слагаемые «после него» опускаются):

|Xn+1,i|=|ani1 Xn1 + ani2 Xn2 +… +animXnm+ bni1 Yn1 + bni2 Yn2 +… +bnimYnm | ³

³anii|Xni|- |ani1 Xn1 + ani2 Xn2 +…+ ani2 Xn,i-1 + ani2 Xn,i+1+… +animXnm|-

-b( ||Yn1||W+ ||Yn2 ||W+… +||Ynm ||W) ³

³a-|Xni|- a(|Xn1 |+ |Xn2|+ …+ |Xn,i-1 |+ |Xn,i+1|+… +|Xnm|)-

-bmmax{ ||Ynj||W: j=1..m} ³

³a-|Xni|-a(m-1) max{|Xnj |: j=1..m} -bmmax{ ||Ynj||W: j=1..m},i=1..m.

Применив операцию max к обеим сторонам этого неравенства, получим

(8)

Также имеем:

||Yn+1,i||W=||c0i1 X01 + c0i2 X02 +… +c0im X0m + d0i1 Y01 + d0i2 Y02 +… +d0im Y0m ||W

c(|X01 |+ |X02|+ … +|X0m|)+d( ||Y01||W + ||Y02 ||W +… +||Y0m ||W)

c m max{|X0j |: j=1..m} + d m  max{ ||Y0j||W: j=1..m}, i=1..m.

Применив операцию max к обеим сторонам этого неравенства и учитывая оценку (8), получим

Теорема доказана.

2. Приложение к системам линейных дифференциальных уравнений с малым запаздыванием аргумента

Рассматривается система

z1'(t)=P11(t)z1(th)+ P12(t)z2(th)+… +P1m(t)zm(th),

z2'(t)=P21(t)z1(th)+ P22(t)z2(th)+… +P2m(t)zm(th),                                            (9)

zm'(t)=Pm1(t)z1(th)+ Pm2(t)z2(th)+… +Pmm(t)zm(th),  tR+=[0, ), h=const>0,

с начальными условиями

z1(t)= j1(t), z2(t)= j2(t),..., zm(t)= jm(t), t [h,0],           (10)

где заданы функцииj1(t), j2(t),…, jm(t)C[h,0]иP11(t), P12(t),..., Pmm(t) C(R+), при этом p- Pij(t) p+, i,j =1..m;p-< p- заданные числа.

В качестве пространства Ω выбирается{y(t)C(1)[–h,0]: y(0)=0}, с нормой

||y||Ω :=sup{ |y(t)/t|: –ht<0}, тогда|y(t)| ||y||Ω| t |.

Компонент пространства решений z(t)на каждом отрезке [kh–h, kh],

k=1,2,3,… представляется в виде суммы функции-константы xи функции, удов-летворяющей условию y(kh)=0:C(1)[h,0]=R×Ω. Соответственно, компонент оператора сдвига по траекториям

         Из Теоремы 1 следует

Теорема 2. При достаточно малом h система (9)-(10) имеет ненулевые решения, удовлетворяющие неравенству

 

Список литературы:

  1. Жээнтаева Ж.К. Иcследование асимптотики решений линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием с помощью расщепления пространства // Инновации в науке  / Сборник статей  по материалам LVII междунар. научно-практ. конф. № 5 (54). Часть I. Новосибирск: Изд. АНС СибАК , 2016. 190 с. – С. 149-154.
  2. Жээнтаева Ж.К. Численные условия наличия асимптотики решений систем линейных разностных уравнений с переменными коэффициентами //  Естественные и математические науки в современном мире  / Сборник статей  по материалам  XL междунар. научно-практ. конф. № 3 (38). - Новосибирск: Изд. АНС "СибАК", 2016. – С.76-80.
  3. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. – Москва: Наука, 1972. – 351 с.
  4. Панков П.С. Асимптотическая конечномерность пространства решений одного класса систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения, 1977, том 13, № 4. – С. 455-462.
  5. Панков П.С. Пример линейного однородного дифференциального уравнения с запаздыванием, не имеющего конечномерного экспоненциально устойчивого при t→∞ пространства решений // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. - Фрунзе: Илим, 1977. - С.117-125.

Оставить комментарий

Форма обратной связи о взаимодействии с сайтом