ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УCЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

INTEGRAL CONDITIONS OFEXISTENCE OF SPECIAL SOLUTIONS OF LINEARDELAY-DIFFERENCE EQUATIONS

Zhumagul Zheentaeva

Candidate of Science, assistant professor

 Kyrgyz-Uzbek University, Republic of Kyrgyzstan, Osh

АННОТАЦИЯ

С использованием полученных автором результатов по достаточным условиям существования «специальных» решений систем двух разностных уравнений ослаблены известные условия наличия асимптотического разложения решений начальных задач для линейных дифференциальных уравнений с ограниченным запаздыванием аргумента на «специальное» и затухающее решение.

ABSTRACT

By using of results obtained by the author on sufficient conditions on existence of “special” solutions of systems of two difference equations, there are weakened known conditions on presence of asymptotical expansion of solutions of initial value problems for linear differential equations with bounded delayinto “special” and fading ones.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение с запаздыванием аргумента; разностное уравнение; начальная задача; асимптотика; интегральное условие.

Keywords: delay-differential equation; difference equation; initial value problem; asymptotic; integral condition

1. Введение

Известно, что для решений линейных автономных эволюционных уравнений (в широком смысле: включая системы уравнений) вопрос о структуре пространства решений сводится к исследованию соответствующих характеристических алгебраических уравнений. Поэтому мы рассматриваем существенно неавтономные уравнения. Имеется большое количество работ по устойчивости решений таких уравнений.

Для (бесконечномерного) пространства решений начальной задачи для скалярного линейного дифференциального уравнения с ограниченным запаздыванием аргумента, в ряде работ (см. обзор в [4], [5]) были найдены условия, когда существует такое одномерное подпространство решений (названных «специальными»), что любое решение стремится при увеличении аргумента к одному из специальных решений. В статье [6] был построен пример, показывающий, что данное явление имеет место не всегда. В [1] для поиска более широких условий, когда имеет место это явление, мы предложили использовать численные эксперименты на компьютере. В [2] мы показали, что аналогичные явления могут иметь место для более фундаментального вида эволюционных уравнений – систем разностных уравнений.

Здесь мы предлагаем, по аналогии с термином «диагональное преобладание» в теории матриц, называть такие системы разностных уравнений «системами с одномерным преобладанием».

В [3] мы показали, что с помощью результатов [2] можно также получать соответствующие результаты для линейных дифференциальных уравнений с ограниченным запаздыванием аргумента и с ограниченным коэффициентом. Здесь получены соответствующие результаты для линейных дифференциальных уравнений с ограниченным запаздыванием аргумента и более слабыми, интегральными ограничениями на коэффициент.

1. Расщепление пространства решений дифференциальных уравнений с запаздыванием

Рассматривается уравнение вида

z'(t)=P(t)z(t–h),  t∈R₊=[0,∞), h=const>0,                                                             (1)

c начальным условием

z(t)= j(t), t∈ [–h,0],                                                                                           (2)

где j (t)∈C[–h,0] и P(t) ∈C(R₊) – заданные функции.

Представим пространство C⁽¹⁾[–h,0]=R´Ω в виде декартова произведения пространства функций-констант и пространства Ω  функций, удовлетворяющих условию y(0)=0: z(t)=z(0)+(z(t)-z(0)).Будем обозначать первую компоненту через x, вторую - через y(t).

Введем в Ω норму ||y||_Ω :=sup{ |y(t)/t|: –h≤t<0}, тогда |y(t)| ≤ ||y||_Ω| t |.

Имеем для оператора сдвига S: C⁽¹⁾[–h,0] →C⁽¹⁾[–h,0]по траектории решения (1) на величину h:

         Ниже не умаляя общности, будем считать x>0.

Разделим этот оператор на четыре оператора:

                                (3)

Введем обозначения для констант, связанных с функцией Р (если они существуют), N₀:={0,1,2,3, …}:

Тогда имеем:

;

Такие же оценки имеют место для операторов сдвига по любому отрезку [kh-h, kh], k∈N₀.

2. Системы операторно-разностных уравнений с одномерным преобладанием

В этом разделе мы будем применять другие обозначения, а в третьем разделе их объединим.

Пусть Ω - некоторое нормированное пространство. Рассмотрим четыре последовательности операторов (первая – просто числа, вторая – «функционалы»):

a_n: R→R; b_n:Ω→R; c_n: R→Ω; d_n:Ω→Ω, n=0,1,2,…

с ограничениями a_n∈ [a_–,a₊]; ||b_n||≤ b>0, ||c_n||≤ c>0, ||d_n||≤ d>0,

и систему операторно-разностных уравнений

x_n+1= a_nx_n + b_ny_n, y_n+1= c_nx_n + d_ny_n,n=0,1,2,…    (4)

Обобщая результаты [2] на системы вида (4), получаем:

ТЕОРЕМА 1. Если то существует такое решение {X, Y},

что (∀n∈N)( X_n≥q_–ⁿ; |Y_n|≤wX_n),

ТЕОРЕМА 2. Если , то для любого решения {x, y} и специального решения {X, Y}, определенного в Теореме 1, существует предел

ТЕОРЕМА 3. Если выполняются условия Теорем 1 и 2, то для любого решения {x, y} и специального решения {X, Y}, определенного в Теореме 1,

ТЕОРЕМА 4. Если выполняются условия Теорем 1 и 2 и,       

то для любого решения {x, y} и специального решения {X, Y}, определенного в Теореме 1, будет

3. Интегральные условия существования специальных решений линейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием

  ТЕОРЕМА 5. Если то решение Z(t) уравнения (1) cначальным условием (2) c j(t)≡1 удовлетворяет неравенству

Z(t)≥с(q_–(P))^t/h, c = const>0,

где

ТЕОРЕМА 6. Если , то для любого решения z(t) существует предел

ТЕОРЕМА 7. Если выполняются условия Теорем 1 и 2 и

,       

то для любого решения z(t) будет

Условиям этих теорем может удовлетворять функция P(t) со сколь угодно большими по модулю значениями в отдельных точках. Таким образом, полученные результаты обобщают результаты [3].  

ПРИМЕЧАНИЕ. Полученные результаты также показывают специфику «постоянного запаздывания»: на уравнения с общим ограниченным запаздыванием они не переносятся.

Список литературы:

1. Жээнтаева Ж.К. Алгоритмы для экспериментального исследования асимптотики решений линейных уравнений с запаздывающим аргументом и их использование // Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы. Проблемы математического и естественно-научного образования: сборник статей Международной конференции 15-18 декабря 2014 г.  – Москва: Российский университет дружбы народов, 2015. - С. 219-223.
2. Жээнтаева Ж.К. Численные условия наличия асимптотики решений систем линейных разностных уравнений с переменными коэффициентами // Естественные и математические науки в современном мире / Сборник статей по материалам  XL междунар. научно-практ. конф. № 3 (38). - Новосибирск: Изд. АНС ∀СибАК∀, 2016. – С.76-80.
3. Жээнтаева Ж.К. Иcследование асимптотики решений линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием с помощью расщепления пространства // Инновации в науке / Сборник статей по материалам LVII междунар. научно-практ. конф. № 5 (54). Часть I. Новосибирск: Изд. АНС СибАК, 2016. – С. 149-154.
4. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. – Москва: Наука, 1972. – 351 с.
5. Панков П.С. Асимптотическая конечномерность пространства решений одного класса систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения, 1977, том 13, № 4. – С. 455-462.
6. Панков П.С. Пример линейного однородного дифференциального уравнения с запаздыванием, не имеющего конечномерного экспоненциально устойчивого при t→∞ пространства решений // Исследования по интегродифференциальным уравнениям. - Фрунзе: Илим, 1977. - С.117-125.