ЭФФЕКТИВНЫЕ СРЕДСТВА УСВОЕНИЯ И ЗАКРЕПЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ

Процесс обновления содержания общего образования [3,7] находит отражение в разработке и реализации новых подходов в преподавании геометрии.

Геометрические задачи из всего курса математики считаются самими трудными, т.к. нет единых алгоритмов решения. Препятствие заключается в большом объеме аксиом, теорем, формул. Но еще большее затруднение вызывает выбор необходимых утверждений для конкретной поставленной задачи [5]. Большой опыт преподавания математики позволяет сделать вывод, что более половины обучающихся испытывают значительные затруднения и показывают низкие результаты при решении геометрических задач. Для заданий по геометрии требуется уверенное владение теоретическим материалом, умения в использовании свойств геометрических фигур, формул, обладать логикой, пространственным воображением, гибкостью ума [6,10].

Векторный анализ – один из эффективных математических методов решения геометрических задач. Вектор – одно из основных понятий в математике, широко применяется в прикладных науках [4,8,9]. Векторный метод упрощает ряд операций, предоставляет возможность обобщения. Владеющие векторным аппаратом, могут без труда решать сложные задачи. В геометрии вектор понимается как направленный отрезок. Такая трактовка придает объектам и операциям над ними хорошую наглядность [1], обычно используется в физике, механике. Отметим, что путь в приложении векторов к решению геометрических задач «лежит через направленный отрезок».

Обычно используется следующая последовательность изучения векторного анализа: понятие вектор, его длина, коллинеарность векторов (со направленные и противоположно направленные векторы), равные векторы, сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, координаты вектора, произведение векторов. В учебной литературе по геометрии разных авторов изложение теории векторов отличается лишь последовательностью указанных понятий. Использовать векторный метод в конкретных ситуациях иногда бывает затруднительно [2,11]. Поэтому, важно определить действия, составляющие основу векторного метода. Личный опыт и анализ решения задач позволяет высказать мнение, какими умениями необходимо обладать:

1) переводить условие геометрической задачи с указанными зависимостями между объектами на соответствующие соотношения векторов и векторные выражения;

2) представлять вектор в виде суммы (правило треугольника, параллелограмма, параллелепипеда), разности векторов, произведения вектора на число;

3) заменять один вектор другим, равным ему, полученным путем параллельного переноса;

4) вычислять длину вектора через его скалярный квадрат ;

5) определять угол между векторами (использовать скалярное произведение).

6) проводить операции над векторами (сумма, разность, произведение);

7) преобразовывать векторные выражения.

Проиллюстрируем вышесказанное на следующей задаче.

В параллелограмме AВСD на его стороне AD взята точка P так, что AР:РD=1:4, а диагональ АС точкой Q делится в отношении: АQ:QС=1:5. Найти, в каком отношении отрезок PB делится точкой Q.

На рисунке 1 изобразим параллелограмм AВСD. Введем обозначения: AP=x, тогда AD=4x, AQ=y, тогда QC=5y.

Рисунок 1. Параллелограмм AВСD 

Запишем систему из 8 уравнений:

Равенство (7) подставляем в (4), а (8) в (5), затем выражения (4), (5), (6) подставляем в уравнение (3) и оно примет вид: .

Из (1) уравнения  и из (2) уравнения  подставляем в (3) уравнение, после упрощения запишем: , а это означает, что отрезок PB делится точкой Q в отношении 1:5.

Отметим, что равенства (1), (2), (3), (4), (5) демонстрируют умение оперировать суммой векторов по правилам треугольника и параллелограмма. Равенство (6) свидетельствует об умении заменять один вектор другим, полученным путем параллельного переноса. (7) и (8) показывают, как переводить отношения между геометрическими объектами на зависимости между векторами и записать вектор в виде произведения вектора на число. Действия с уравнением (3) раскрывают способности по упрощению векторных равенств.

Выявленный комплекс умений и педагогических условий формирует мотивационную активность студентов, учит видеть универсальность математических утверждений, оказывает влияние на развитие познавательной деятельности, способствует практическому развитию математической компетенции.