ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ

ITERATIVE CALCULATION METHOD OF HEAT EXCHANGERS

Anatoly Makhanko

сandidate of Science, assistant professor in Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev – KAI,

Russia, Kazan

Andrei Makhanko

сandidate of Science, assistant professor in Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev – KAI,

Russia, Kazan

АННОТАЦИЯ

Теплообменные аппараты играют важную роль в современной технике, а значит, в процессе их проектирования должны использоваться точные и надежные вычислительные методы. В статье рассматривается алгоритм позволяющий упростить расчет теплообменных аппаратов и ускорить их проектирование.

ABSTRACT

Heat exchangers play an important role in modern technology, which means that in the process of designing accurate and reliable numerical methods must be used. The article discusses the algorithm to simplify the calculation of heat exchangers and accelerate their design.

Ключевые слова: теплообменник; теплопередача; расчет; итеративный метод.

Keywords: heat exchanger; heat transfer; calculation; iterative method.

Назначение теплообменника – передача тепловой энергии от одной среды к другой без смешивания этих сред. Использование традиционных методов расчета теплообменников основанных на расчете логарифмического теплового напора требует использования многокритериального поиска решения системы нелинейных уравнений, что, как правило, сводится к оптимизации функции многих переменных. Использование стандартных методов оптимизации может не дать результата, так как такие методы эффективны при поиске локального минимума, а в данной задаче требуется поиск глобального минимума. Обеспечить нахождение глобального минимума в данной задаче можно за счет навыков расчетчика-оператора управляющего решением, путем подбора начальных условий поиска, однако, это требует специальной подготовки оператора [5, с. 61] и практически полностью исключает автоматическое решение такой задачи.

Для решения  задачи предлагается итеративный метод расчета распределения температур в теплообменнике опирающийся на однокритериальный поиск решения.

Известны различные схемы теплообменников – с параллельным потоком, с противотоком, с перекрестным потоком. Каждая из схем обладает своими достоинствами и недостатками и соответственно применяется в различных технических системах (морских [1, с. 198], авиационных, системах наземного транспорта [3, с. 69], двигателестроении [4, с. 89]).

У теплообменника с параллельным потоком  наибольший перепад температуры нагревающей и нагреваемой среды, что повышает интенсивность теплообмена и дает уменьшение размеров конструкции теплообменника. Однако выходная температура нагреваемой среды будет ниже выходной температуры нагревающей среды.

Теплообменник с противотоком по сравнению с теплообменником с параллельным потоком, имеет меньший перепад температуры нагревающей и нагреваемой среды, что приводит к увеличению аппаратной части (длины теплообменника). Но теплообменник с противотоком обеспечивает подогрев среды до наибольшей возможной температуры, что показано на рисунке 1.

Рисунок 1. Расчетная схема теплообменника.

Исходные данные для расчета:

LL –длина теплообменника (м),

d_СР – средний диаметр внутренней трубы теплообменника (м),

 – площадь поверхности теплообмена (м²),

δ – толщина стенки трубы (м),

λ – теплопроводность материала трубы ( ),

T10, T1k – температура на входе и выходе нагревающего теплоносителя (К),

T20, T2k – температура на входе и выходе нагреваемого теплоносителя (К),

 – массовый расход нагревающего теплоносителя (кг/с)

 – массовый расход нагреваемого теплоносителя (кг/с)

с1, с2    -  удельные теплоемкости нагревающего и нагреваемого

теплоносителя () ,

α1, α2– коэффициенты теплоотдачи между стенкой трубы и

теплоносителем  ( )  .

В процессе расчета участвуют величины

Q10, Q1k – тепловая мощность на входе и выходе нагревающего

теплоносителя (),

Q20, Q2k – тепловая мощность на входе и выходе нагреваемого

теплоносителя ().

Целью расчета теплообменника - по известным геометрическим (LL, dср, ) и теплофизическим свойствам  теплоносителей (с1, с2) и параметрам теплоотдачи (α1, α2)надо найти зависимость выходной температуры T2k от входной температуры T10, Т20 и массовых расходов  и .

Традиционно предполагают постоянство геометрических и теплофизических параметров вдоль конструкции теплообменника (по координате х).

Основная формула, получаемая при тепловом расчете, содержит неизвестные величины температур Т1k иТ2k:

,                                    (1)

где k – коэффициент теплопередачи через стенку,  F-полная поверхность стенки,  и  - удельные тепловые потоки на входе и выходе теплообменника .

Если считать известными G1 и G2, T10, Т20, а результатом расчета должна быть выходная температура Т2k . но для ее определения требуется знать еще T1k- выходную температуру нагревательного канала. Второе уравнение для решения этой задачи можно получить из закона сохранения энергии (при условии отсутствия потери тепла в окружающую среду)

Отсюда                                                          (2)

После подстановки в (1) получим уравнение относительно T2k

                          (3)

После потенцирования

Если ввести обозначение , получим

         (4)

Этот результат получен путем осреднения распределения температуры по длине теплообменника, постоянства параметров теплообменника по длине,  и поэтому имеет ограниченную точность. Кроме того, в этих формулах не учитывается возможность фазовых переходов в каналах в процессе теплопередачи.

Чтобы получить инструмент позволяющий рассчитывать теплообмен, как без фазовых переходов, так и с фазовыми переходами, и в теплообменниках с переменными параметрами по длине, применим итеративную схему вычислений.

Выделим достаточно малый участок трубы теплообменника длиной δx (рисунок 2).

Рисунок 2. Расчетная схема участка теплообменника.

Будем считать распределение температуры этого участка трубы линейным от Т1 до T1-δT1 в нагревающем канале  и от T2*- δT2 до T2* в нагреваемом канале. В отличие от традиционной схемы расчета будем считать известными значение температур на левой границе участка Т1 и Т2*.

При протекании потоков по трубе происходит обмен тепловой энергией между нагревающей и нагреваемой средами. Теплообмен с окружающей средой не учитывается (рисунок 3).

Рисунок 3. Передача энергии на участке теплообменника.

Считаем известными температуры на левой границе участка δх и массовые расходы  и .

В пределах выбранного участка величины

 d_СР , F, δ , λ, с1, с2, α1, α2

считаем постоянными.

При необходимости рассматриваемая итеративная схема позволяет рассчитывать теплообменники с переменными по длине параметрами.

Запишем выражения для подводимой и отводимой энергии в каждом из каналов:

,          ,              

,     ,           

,

 где ,  ,    ,     

По закону сохранения энергии   ΔQ1 = ΔQ2 = ΔQ_ТП   отсюда

                             (5)

Это выражение можно представить как линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными 

Подставим выражения для Т1_СР и Т2_СР

тогда

                                          (6)

Приведем (6) к системе двух уравнений  относительно δT1 и δT2

                                      (7)

или в матричном виде  после деления на sk/2            

АХ = В,

где

Решение этой системы может быть получено различными способами.

При моделировании с помощью пакетных программ можно использовать матричные операции [2, с. 71]. В других случаях можно использовать правило Крамера или любой другой метод.

В результате решения будут определены значения δT1 и δT2, т.е. и температуры на правом срезе участка δх. Отметим, что в правой части системы уравнений (вектор В) представлена разность температур. Поэтому на данном этапе решения Т1 и Т2* могут быть взяты как в К, так и в ⁰С.

Особенность предлагаемого алгоритма заключается в том, что в отличие от традиционного решения исходной принимается выходная температура нагреваемого канала (на левой границе участка теплообменника), тогда как обычно в задаче расчета теплообменника известной  является входная температура (на правой границе участка теплообменника) Т20.

Поэтому решение должно происходить итеративно – на первом шаге назначается приблизительная величина выходной температуры Т2* и проводится серия вычислений по предложенному алгоритму для всех участков δх теплообменника от 0 до LL. Конечные значения температур участков каналов принимаются за начальные значения на следующем участке расчета. Полученное значение температуры на правой границе всего теплообменника (х=LL) сравнивается с заданным значением Т20. Если оказывается что полученная температура ниже заданной Т20, то величина входной температуры Т2* увеличивается и процесс вычислений повторяется заново. В случае превышения полученной температуры на Т20, Т2* уменьшается.

В дальнейшем вычислительный процесс повторяется итеративно, до тех пока отклонение результирующей температуры от заданной Т20 не окажется меньше заданной погрешности. Методы подбора температуры Т2* могут различаться, так например одним из самых простых, но одновременно надежным будет совмещение методов однокоординатного поиска и метода половинного деления, использующих приведённый алгоритм расчета в качестве целевой функции.

В результате работы данного алгоритма будет получено распределение температур вдоль канала теплообменника, что является достаточно полной характеристикой работы теплообменного аппарата.

Список литературы:

1. Алпаров А.У., Благов А.Е., Дегтярев Г.Л., Маханько А.В., Маханько А.А., Руденко С.А., Харитонов А.Ю.. Микропроцессорная система управления самоходной моделью тримарана // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. – Казань, 2014. – № 3. – С. 197-200.
2. Благов А.Е., Маликов А.И.. Динамический анализ систем автоматического управления с помощью матричных систем сравнения // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. – Казань, 1996. – № 4. – С. 71.
3. Дегтярёв Г.Л., Маханько А.А.. Опыт применения микропроцессорных систем управления на тяжёлых транспортных машинах // Вестник казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. – Казань, 2007. – №1 (45). – С. 68-70.
4. Маханько А.А., Соколова Г.П.. Бесклапанный четырехтактный двигатель внутреннего сгорания // Сборник статей научно-информационного центра «Знание» по материалам XIV международной заочной научно-практической конференции: «Развитие науки в XXI веке». – Харьков: научно-информационный центр «Знание», 2016. – С. 87-92.
5. Морозов С.А., Соколова Г.П.. Особенности создания системы дистанционного обучения // Математические методы в технике и технологиях ММТТ: Труды международной научной конференции. – Саратов, 2013. – № 9-1 (59). – С. 61-62.