МЕТОД СТАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ ВЫБОРА БЕЗОПАСНОЙ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ АВТОМОБИЛЕЙ НА ГОРНЫХ ДОРОГАХ

METHOD OF STATIC MODELLING FOR THE CHOICE OF SAFETY SPEED OF THE MOVEMENT OF CARS ON MOUNTAIN ROADS

Mirlan Alseitov

сand. tech. sci., associate professor "Motor transport" of the Kyrgyz-Russian Slavic university,

Kyrgyzstan, Bishkek

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассмотрены основные этапы имитационного моделирования, а также один из аспектов имитационного моделирования – метод статического моделирования, т.е. метод Монте-Карло. Показано, что метод имитационного моделирования можно применить для определения числовых характеристик пропускной способности автомобильных дорог. Выявлено необходимость в определении пропускной способности автомобильных дорог при их проектировании, организации движения  транспортных средств. Предложено удобное моделирование процесса осуществляемая в дискретной схеме через малые промежутки времени, при котором будет происходить осуществление информации о состоянии автомобилей на определенном участке горной дороги.

ABSTRACT

In this article the main stages of imitating modeling and also one of aspects of imitating modeling – a method of static modeling, i.e. the Monte Carlo method are considered. It is shown that the method of imitating modeling can be applied to definition of numerical characteristics of flow capacity of highways. It is revealed need for determination of flow capacity of highways at their design, the organization of the movement of vehicles. Convenient modeling of process carried out in the discrete scheme through small periods at which there will be an implementation of information on a condition of cars on a certain section of the mountain road is offered.

Ключевые слова: безопасность движения, статическое моделирование, пропускная способность, горные дороги, транспортное средство, моделирование процесса.

Keywords: traffic safety, static modeling, flow capacity, mountain roads, vehicle, process modeling.

Пропускная способность автомобильных дорог – один из факторов влияющих, на безопасность движения в горных условиях. Многие технические задачи, в том числе и задачи связанные с безопасностью движения описываются системой большого количества нелинейных, дифференциальных, разностных или трансцендентных уравнений высокого порядка, содержащих многие факторы, влияющие на тот или иной процесс, подлежащий исследованию. Научно-техническая революция позволила значительно усовершенствовать электронно-вычислительные машины. На основе этого возникло новое, быстроразвивающееся направление математического исследования сложных стохастических процессов – имитационное моделирование.

Имитационное моделирование – это последовательное приближение, с помощью которого происходит процесс поиска оптимального решения поставленной задачи. При таком моделировании оптимальный вариант находится не чисто математически строгими методами, как при аналитическом решении, а путем последовательных приближений, перебирая те или иные факторы. Имитационное моделирование может быть статическим (описывать явления в настоящий момент времени) или динамическим (описывать процесс с прогнозом во времени). Вопрос о том, когда применять аналитический метод, а когда имитационный, до настоящего времени не имеет однозначного ответа.

Имитационное моделирование в общем случае состоит из нескольких этапов:

1) Постановка задачи и определение цели эксперимента.

2) Изучение исследуемого явления, т.е. производится качественный анализ внутреннего механизма явления.

3) Планирование эксперимента.

4) Формирование математической модели явления. Для этого производится формализация работы системы, т.е. определяем главные факторы и отбрасываем второстепенные. Это позволяет составить отвечающей системе математическую модель в виде уравнений, графиков, схем и т.п. Формализованную математическую модель называют алгоритмом процесса. Полученный алгоритм графически представляем в виде операторной блок-схемы.

5) Составление машинной программы. Для этого согласно полученной математической модели и его алгоритма на одном из машинных языков составляем программу для проигрыша различных вариантов и выбора из них оптимального.

6) Проверка математической модели на адекватность. Оценка полученной математической модели на адекватность весьма важная задача, однако, эта проблема достаточно сложная, так как она связана с многими статическими, логическими и практическими вопросами. В общем случае проблемы оценки адекватности имитационной модели для настоящего времени не имеет полноценного решения. Важным критерием при этом является практика: если в процессе имитационного проектирования не получим отрицательных результатов, то доверие к полученной модели возрастает.

7) Проведение эксперимента и обработка его результатов. При этом возможно применение статического подхода с использованием регрессионного, корреляционного и дисперсионного анализа[1].

Рассмотрим один из аспектов имитационного моделирования – метод статического моделирования, т.е. метод Монте-Карло, который представляет собой численный метод решения всевозможных технических и экономических задач. В его основе есть использование случайных чисел, имитирующих различные случайные величины и случайные процессы. Математической основой этого метода является закон больших чисел, разработанный П.Л.Чебышевым. Этот закон говорит о том, что при большом числе испытаний частота события неограниченно приближается непосредственно к вероятности этого события, при этом, среднее арифметическое неограниченно приближается к математическому ожиданию случайной величины[2].

Для получения алгоритма при моделировании случайных величин, распределенных по различным вероятностям законам, необходимо интегральную функцию распределения выразить в явном виде относительно аргумента. Например, для показательного закона распределения. Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей, которое описывается дифференциальной функцией[3]:

,                                                   (1)

где: µ – постоянная положительная величина;

t – параметр;

е – основание натурального логарифма.

,                                       (2)

откуда:

                                     ,                                                       (3)

.                                                            (4)

Для закона Релея: 

,                                                   (5)

.                                 (6)

  Откуда:

                                 ,                                                      (7)

.                                                        (8)

Для закона Вейбулла:

,                                             (9)

.                 (10)

Откуда: 

                                      ;                                          (11)

.                                               (12)

Для закона равномерной плотности:

,                                              (13)

.                    (14)

Откуда

                                           ,                                      (15)

.                                              (16)

Алгоритм полученный для моделирования случайных чисел, распределенных по нормальному закону, весьма затруднен т.к. интеграл, определяющий интегральную функцию нормального закона, не выражается через элементарные функции. Поэтому используем таблицы для функции Ф(t) к обратной интерполяцией находим значение arqФ(у_i).

Алгоритм для моделирования случайных чисел, распределенных по нормальному закону, записывается так:

x_i = arqФ(у_i)σ(x) + M(x),                                (17)

где: или -3 arqФ(у_i) +3;

σ (x) – среднее квадратическое отклонение закона;

M(x) – статистическое математическое ожидание.

Используя другую таблицу для arqФ(у_i),можем получить алгоритм для моделирования случайных чисел, распределенных  по нормальному закону:

x_i = x''' σ (x) + M(x) .                                    (18)

Для значения x'''=arqФ(у_i) в современных электронно-вычислительных машинах могут использовать специальные подпрограммы.

Метод имитационного моделирования можно применить для определения числовых характеристик пропускной способности автомобильных дорог. Необходимость в определении пропускной способности автомобильных дорог возникает при их проектировании, организации движения  транспортных средств, конструирования новых видов автомобилей и, как один из факторов, влияющих на безопасность движения автомобилей особенно на автодорогах в горной местности и в частности дороги Бишкек-Ош.

Основными показателями, характеризующими пропускную способность дорог являются: средняя скорость движения автомобилей данного типа на исследуемом маршруте от пункта А до пункта B дороги Бишкек-Ош; среднее время, затраченное автомобилями различных типов для преодоления маршрута АВ; средняя потеря времени автомобилями на преодоление расстояния АВ по сравнению со свободным движением. Влияние интенсивности движения на пропускную способность дороги, рельеф местности, покрытие дорожного полотна и другие характеристики.

Исходными данными считаем: характеристика дороги – ширина проезжей части (однополосная, двухполосная и т.д.); качество покрытия (асфальт, бетон, гравий и т.п.); длины участков между так называемыми особыми точками, в которых происходит изменение движения; величины подъемов и спусков; дорожные знаки; значения коэффициентов сцепления и поправки к ним; закон распределения моментов времени появления автомобилей на дороге; характеристики появляющихся автомобилей, т.е. их максимальная и рабочая скорость, масса автомобиля с грузом и без него и т.п. Решение поставленной задачи возможно только методом статистического моделирования как одного из имитационных методов математического моделирования.

Положим, что исследуется пропускная способность автомобильной дороги Бишкек-Ош, между двумя участками дороги от А до В. Необходимо найти параметры, которые характеризуют пропускную способность данного участка дороги. Естественно, пропускная способность дороги есть некоторый процесс во времени. Моделирование процесса удобно осуществлять в дискретной схеме через малые (чем меньше, тем точнее) промежутки времени , которые будем считать как шаг дискретности и равные, например 2 минутам. Это значит, что при моделировании будет происходить осуществление информации о состоянии автомобилей на данном участке дороги.

В момент выдачи информации определяем координаты каждого из автомобилей S_а, время его прибытия в эту координату t_i, скорость V_i, с которой автомобиль двигался, находясь непосредственно в этой координате. За интервал моделирования, т.е. в качестве одной реализации, примем время одного рабочего дня равное J_o – J_к, например от 6 до 24 ч. За дискретный шаг примем 2 мин, значит информация о состоянии автомобиля на дороге будет выдавать в момент времени: 6 ч, 6 ч 02 мин, 6 ч 04 мин, 6 ч 06 мин и т.д. до конца одного рабочего дня, т.е. до 24 ч. Число реализаций зависит от требуемой точности эксперимента и может составлять от 1000 до 10000 повторений.

Список литературы:

1. Использование методов статистического моделирования при исследовании работы автотранспортных систем [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://helpiks.org/8-21632.html (дата обращения: 22.06.17)
2. Дисперсионный анализ. Метод Монте-Карло. Методы теории игр [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://studopedia.su/9_9889_dispersionniy-analiz-metod-monte-karlo-metodi-teorii-igr.html (дата обращения: 23.06.17)
3. Гмурман, В. Е.  Теория вероятности и математическая статистика : учеб. пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1972. – 368 с.