ЛОГИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К УПРАВЛЕНИЮ РЕСУРСАМИ МНОГОНОМЕНКЛАТУРНЫХ ЗАПАСНЫХ ЧАСТЕЙ АВТОСЕРВИСНОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

Задача определения оптимальных размеров запасных частей авто­сервисного предприятия по критерию максимума прибыли при дискретном распределении спроса сформулирована в виде задачи квадратического програм­мирования с линейными ограничениями. Для вычисления вероятностной меры распределения значений компонент вектора спроса использована аппрокси­мация эмпирических функции распределения компонент спроса гиперэрлан­говскими функциями распределения с последующим расчетом соответствующих плотностей распределения.

Введение

В последние годы в качестве одного из важных подходов к управлению запасами разрабатывается и используется концепция логистики [1-8]. Логистика направлена на снижение издержек, повышение надежности, уменьшение рисков посредством согласования и взаимной системной корректировки планов и действий снабженческих, производственных и сбытовых звеньев предприятия.

Происходящие в настоящее время преобразования в транспортной отрас­ли республики характеризуются изменениями как в размерах парка обслужи­вае­мого подвижного состава, так и в структуре управления автотранспортными пред­приятиями (АТП). В отличие от условий плановой экономики, когда спрос на транспортные услуги АТП превышал возможности предприятий автотран­спортных услуг и можно было реализовывать эти возможности независимо от используемого состава АТП, с переходом к рынку покупателя данная ситуация изменилась коренным образом. Задача экономичной и успешной реализации возможностей автосервисных предприятий в условиях конкуренции на рынке автотранспортных услуг становится одной из главных. Необходимыми условиями ее решения являются быстрая реакция предприятий на изменение запросов потребностей, снижение затрат на производство транспортных услуг и повышение их качества и надежности.

Наиболее распространенной моделью прикладной теории логистики является модель оптимального или экономичного размера заказа (Economic Order Quantity – EOQ) на период пополнения [7,9,10]. Обзор моделей EOQ и их библиография дана в [11]. Проблема неопределенности и классификация видов неопределенности в цепях поставок рассмотрены в работе [12].

На практике нередко встречаются ситуации, когда данные по предистории процесса поставок запасных частей либо недостаточно представительны либо малодоступны. Тогда для управления запасами спрос модели­руется в основ­ном на базе экспертных оценок, содержащих больше субъектив­ности, чем случайности. В таких случаях задача управления запасами фор­мулируется как задача оптимизации в условиях нечеткой информации [13-17]. В некоторых работах (см., например [18,19]) однопериодные (single-period) задачи управ­ления одно- и многономенклатурными (single-item/multi-item) запасами решаются с использованием стратегии минимального среднего и условного риска или нейтрального риска.

В настоящей работе используется метод нейтрального риска [19] для однопериодной задачи управления многономенклатурными запасами, в которой спрос описывается дискретным возможностным распределением. Для построения дискретного  возможностного распределения нами используется аппрокси­мация эмпирической функции распределения фактического спроса в предыду­щем периоде пополнения запасных частей автосервисного предприятия с помощью гиперэрланговой функции распределения в метрике Леви. Точность гиперэрланговской аппроксимации произвольных распределений в различных метриках оценивается в работе [20].

1. Формулировка задачи оптимизации и ее решение.

Сформулируем однопериодную многономенклатурную задачу управ­ления запасами (single-period multi-item) для автосервисного пред­приятия, с учетом двух видов затрат:

1) Затраты на выполнение заказов: величина , равная сумме затрат на покупку заказанного продукта типа , руб;

2) Затраты на хранение: среднее число единиц продукта , которое придется хранить на складе, при заказе размера  (штук) равно   (штук).

Сумма затрат на их хранение должна быть пропорциональна количеству хранимых единиц продукта и времени хранения , где  – нечеткая величина спроса на продукт .  Тогда ожидаемое значение затрат на хранение будет равно , где  – затраты на хранение единицы продукта  и

Здесь   – кредитоспособная мера (credibility measure), определенная в работе [14].

При определении оптимального размера заказа  по критерию максимума прибыли обычно используется ожидаемое значение прибыли в качестве целевой функции. В случае задачи управления однономенклатурным запасом  целевая функция имеет вид

где   – покупная цена единицы заказа продукта , руб.

Ожидаемое значение нечеткой величины прибыли  обозначается через . Используя свойства операции , получим

Таким образом, для однопериодной однономенклатурной задачи задача оптимизации запишется в виде

где

Решением задачи (4) является

В качестве приближенного (целого) решения задачи (4) принимается

где  – целая часть числа.

При , где  – затраты на выполнение одного заказа, руб.;  – потребность в заказываемом продукте в течение данного периода, шт., максимизация ожидаемого значения   приводит одновременно к минимизации общих затрат на выполнение заказываемого продукта.

Для многономенклатурной задачи будем полагать отсутствие связи между любыми двумя типономиналами. При этом условии функция прибыли запишется в виде

где  – векторы из  компонент.

При критерии нейтрального риска многономенклатурная задача управления запасами запишется в виде задачи оптимизации

где условие  означает .

Предположим, что компоненты  вектора  являются взаимно независимыми нечеткими величинами в смысле определения [21], тогда их совместное возможностное распределение  представляется в виде

Пусть

Тогда  также являются взаимно независимыми нечеткими величинами. В силу линейной независимости оператора ожидаемого значения [22] имеем

Следовательно, задача (7) будет эквивалентна следующей задаче оптимизации

где

Решая уравнения

получим

В качестве приближенного решения задачи примем вектор

где

2. Случай дискретных распределений спроса многономенклатурных продуктов.

В работе [19] рассмотрены однопериодные задачи управления многономенклатурными запасами как для дискретных, так и для некоторых непрерывных распределений нечетких величин . Нами будет рассмотрен только случай дискретных возможностных распределений величин ., к которым нетрудно свести дискретное вероятностное распределение. Как будет показано в следующем разделе, кусочно-постоянную функцию распределения, которая по виду совпадает с произвольной эмпирической функцией распределения, можно аппроксимировать (непрерывной) гиперэрланговской функцией распределения (суммой конечного числа эрланговских функций распределений) [20], из которой непосредственно можно получить уже дискретное вероятностное распределение для некоторой дискретной последовательности рассматриваемой случайной величины (в нашем случае спрос ), соответствующей дискретной последовательности времен наблюдения.

Пусть в модели (4) спрос  имеет следующее возможностное распре­деление

где  упорядоченный ряд дискретных значений  величины , принимаемых с возможностной (или вероятностной) мерой , причем

                                                  .                                       (12)

Как доказано в [19], при этих условиях ожидаемое значение  будет равно

где веса  определяются по формуле

для любого ; .

Аналогичным образом определяются ожидаемые значения  для многономенклатурной задачи:

где , ;  – упорядоченные значения спроса , принимаемые с возможностной мерой ;

3. Гиперэрланговская аппроксимация произвольных распределений.

Пусть  – неотрицательная случайная величины (сокращено с.в.) с произвольной функцией распределения (сокращенно ф.р.) . Зададимся произволь­ным числом . Разделим полуось  на полуинтервалы     и выберем натуральное число   такое, что

Выберем точки   и  .

Пусть . Зададим кусочно-постоянную ф.р.  по следующему правилу:

Отметим, что по правилу (18) строятся эмпирические функции распределения, при этом

Для сравнения ф.р.  и  воспользуемся метрикой Леви [20]:

смысл метрики Леви весьма прозрачен – это сторона максимального квадрата, вписанного между графиками ф.р.  и .

По построению ф.р.  имеем

и

где  – распределение, вырожденное в точке , т.е. .

Будем аппроксимировать каждое из вырожденных распределений  с помощью эрланговского распределения . Эрланговское распределение определяется следующим образом [20].

Пусть  – последовательность независимых одинаково распре­деленных случайных величин (сокращенно н.о.р.с.в.), имеющих экспонен­циальное распределение с единичным средним: . Зафик­сируем число  (например, ) и определим для каждого  случайную величину

с распределением Эрланга порядка :    

где .

Хорошо известно, что  с вероятностью 1, или, что то же,

 где  – распределение, вырожденное в точке . Предельное соотношение (25) это следствие равенства (23) и закона больших чисел.

Функция распределения  называется гиперэрланговской, если она имеет представление:

где .

Как доказано в [20], для произвольного распределения  вида (18) и аппроксимирующего его гиперэрланговского распределения (26) с коэффициентами  из (22) точность оценивания аппроксимации в метрике Леви описывается неравенством

где  – произвольное число; число  удовлетворяет условию (17); а величины  задаются правыми частями неравенств

с .

Оценка (27) универсальна в том смысле, что она справедлива для произвольных ф.р.  вида (18).

Пусть компоненты  вектора  описываются эмпирическими функциями распределения вероятностей

при этом

Выберем натуральное число  такое, что число  удовлетворяет условию

Разобьем полуинтервал  на полуинтервалы длиной :

.

Обозначим .

Очевидно, что

                                                         .                                             (33)

В качестве функции распределения  зададим кусочно-постоянную функцию

где

  при .

Функцию распределения  будем аппроксимировать гиперэрланговским распределением

c        

.

Согласно (27)

где

Пусть  – заданная точность оценки . Выберем , удовлетворяющим, наряду с условиями (31), (32), условию

Тогда можно выбрать  такими, что

в совокупности с (38) обеспечивая оценку

4. Расчет решения задачи управления многономенклатурными запасами.

Согласно формуле (10) для нахождения решения задачи (8) достаточно вычислить величины , где

Здесь  – упорядоченные в порядке убывания значения  спроса , принимаемое с вероятностной мерой . Так как функция распределения  дифференцируема по . то вероятностная мера  значений  спроса  выражается формулой

Обозначим , .

Приближенное значение для  можно определить по формуле

Однако, поскольку  является лишь приближенным значением функции  с точностью , то классическая задача приближенного вычисления производной  по приближенным (в метрике С непрерывных функций) является некорректной и может решаться с помощью регулирующего оператора [23]

В  самом деле, пусть   и  вместо точных значений функций  мы имеем приближенные значения ,  где    при .

В нашем случае  и из точности  оценки (40) вытекает точность  оценки аппроксимации функции распределения  гиперэрланговской функции распределения. Тогда

При  первая дробь в (44) стремится к производной . Если взять , где   при , то  при  и, следовательно, при   имеем

 и, следовательно  .  Достаточно взять ,  тогда   и  при .

Заключение

В условиях конкуренции на рынке автотранспортных услуг обеспечение максимальной прибыли является одной из главных задач управления многономенклатурными запасами автосервисных предприятий с использованием кон­цепции логистики. Аппроксимация эмпирических функций распределений компонент вектора спроса позволяет вычислить соответствующую плотность распределения значений компонент вектора спроса и свести задачу определения оптимальных размеров запаса к квадратичной задаче условной оптимизации.

Список литературы:

1. Линдерс М.Р., Фирон Х.Е. Управление снабжением и запасами. Логистика. – СПб.: ООО «Виктория плюс», 2002. – 768 с.
2. Лукинский В.С. и др. Логистика автомобильного транспорта. Концепция, методы, модели. – М.: Финансы и статистика, 2000.
3. Щетина В.А., Лукинский В.С., Сергеев В.И. Снабжение запасными частями на автомобильном транспорте. – М.: Транспорт, 1988. – 109 с.
4. Щербаков Д.А. Логистические методы и модели организации обслуживания и управления поставками в системах фирменного автосервиса. – Дис. на соиск.учен.степени канд.эконом.наук. – СПб., 2003. – 142с.
5. Масликов А.И. Методы и модели управления многономенклатурными товарными запасами в дистрибуционной компании. – Дис. на соиск. учен. степени канд.эконом.наук. – СПб., 2009. – 172с.
6. Тихомирова А.Н., Сидоренко Е.В. Математические модели и методы в логистике: Учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2010. – 320с.
7. Бауэрсокс Д.Дж., Клосс Д.Дж. Логистика. Интегрированная цепь поставок. М.: ЗАД «Олимп-бизнес», 2008. – 632с.
8. Кисель Т.Р., Буйко Л.А. Логистический подход к управлению авто-транспортным предприятием. //Вестник БНГУ, 2006, №4, с.64-70.
9. Логистика: Учебное пособие //Под ред.Б.А.Аникина. – М.: 2000. – 352 с.
10. Модели и методы теории логистики /Под ред. В.С.Лукинского. – СПб.: Питер, 2003. – 203 с.
11. Mohd-LaiR N-A, Muhiddin F-A., Laudi S., Mohd-Tamiri F., ChuA B-L. The spare part inventory management system (SPIMS) for profound heritagy SDN BHD (PHSB): a case study on the EOQ technique //International Journal of research Engineering Technology, vol.2, Issue 1, Jan 2014, 7-14.
12. Иванов Д.А. Управление цепями поставок. – СПб.: Изд-во Политехн.ун-та, 2009. – 660с.
13. Chang, S.Y., and Yeh, T.Y. A two- echelon supply chaun of a returnable product with fuzzy demand //Applied Mathematical Modelling, vol.37, no 6, pp.4305-4315. 2013.
14. Liu, B., and Liu Y.K. Expected value of fuzzy variable and fuzzy expected value models //IEEE Transaction on Fuzzy System, vol.10, no 4, pp.445-450, 2002.
15. Shao, Z., and Ji, X. Fuzzy multi-product constraint newsboy problem //Applied Mathematics and Computation, vol.180, no 1, pp.7-15, 2006.
16. Yaghin, R.G., Ghomi, S.M. T.F., and Torabi S.A. A hybrid credibility-based fuzzy multiple objective oprimization to differential pricing and inventory policies with arbitrage consideration //International Journal of System Science, vol.46, no 14, pp.2628-2639, 2015.
17. Yao, J.S., Chen, M.S., and Lu, H.F. A fuzzy stochastic single-period model for cash management //European Journal of Operational Research, vol.170, no 1, pp.72-90, 2005.
18. Borgonovo, E., and Elhafsi, M. Financial management in inventory problems: risk averse vs risk neutral policies //International Journal of Production Economics, vol.118, no.1, pp.233-242, 2009.
19. Li, Y.-N., Y.K. and Liu, Y.K. Oprimizing Fuzzy Multitem Single-period Inventory Prblem under Risk-neutral Criterion //Journal of Umertain Systems, vol.10, no.2, pp.130-141, 2016.
20. Калашников В.В., Рачев С.Т. Математические методы построения стохастических моделей обслуживания. – М.: Наука, 1988. – 312с.
21. Liu, Y.K., and Gao J. The independent of fuzzy variables with application to fuzzy random optimization //International Journal of Production Economics, vol.81-82, pp.315-384, 2003.
22. Liu, J.K., and Liu, B. Expected value operator of random fuzzy variable and random fuzzy expected value models //International Journal of Uncertainty, Fuzzines and Knowledge-Based Systems, vol,11, no.2, pp.195-215, 2003.
23. Тихонов А.Н., Арсеньев В.Я. – М.: Наука, 1979. – 285с.