ФОРМУЛЫ РИМАНА КЛАССИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ТРЕТЬЕЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОСКОРОСТНОГО ОБЩЕГО ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПЕРВОЙ ЧЕТВЕРТИ ПЛОСКОСТИ

RIEMANN FORMULAS OF CLASSICAL SOLUTIONS TO THE THIRD MIXED PROBLEM FOR THE SINGLE-SPEED GENERAL TELEGRAPH EQUATION WITH VARIABLE COEFFICIENTS IN THE FIRST QUARTER OF THE PLANE

Fedor Lomovtsev

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Intelligent Modeling Methods, Professor, Belarusian State University,

Belarus, Minsk

АННОТАЦИЯ

Методом компенсации граничного режима правой частью односкоростного линейного общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами выведены формулы Римана классических решений и критерий корректности третьей смешанной задачи на полупрямой. Критерий корректности по Адамару этой смешанной задачи состоит из необходимых и достаточных двух условий согласования и требований гладкости правой части волнового уравнения, граничного и начальных данных, которые обеспечивают существование, единственность и непрерывность по этим входным данным её классических решений. Чтобы из решений вспомогательной задачи Коши в верхней полуплоскости получить классические решения третьей смешанной задачи методом компенсации Ломовцева Ф.Е., надо из правой части уравнения смешанной задачи вычесть значение оператора волнового уравнения от граничного данного и прибавить его значения от двух вычитаемых слагаемых.

ABSTRACT

Using the compensation method of the boundary mode with the right-hand side of the single-speed linear general telegraph equation with variable coefficients, the Riemann formulas of classical solutions and the criterion for the correctness to the third mixed problem on the half-line are derived. The Hadamard correctness criterion for this mixed problem consists of two necessary and sufficient matching conditions and smoothness requirements of the right-hand side of the wave equation, the boundary and initial data, which ensure the existence, uniqueness and continuity of its classical solutions with respect to these input data. To obtain classical solutions of the third mixed problem from solutions of the auxiliary Cauchy problem in the upper half-plane using the compensation method of F.E. Lomovtsev, it is necessary to subtract the value of the wave equation operator for the boundary data from the right-hand side of the equation of the mixed problem and add its values for the two subtracted terms.

Ключевые слова: третья смешанная задача; метод компенсации граничного режима; глобальная теорема корректности; формулы Римана классических решений; критерий корректности; требования гладкости; условия согласования.

Keywords: third mixed problem; boundary mode compensation method; global correctness theorem; Riemann formulas of classical solutions; correctness criterion; smoothness requirements; matching conditions.

1. Введение

Методом компенсации автор настоящей статьи уже явно решил первую и вторую смешанные задачи для линейного общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами в статьях [4, 3]. В этих смешанных задачах для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами использовались метод продолжения по параметру Шаудера и теоремы повышения гладкости необобщенных сильных решений, которые не применяются к третьей смешанной задаче. Классическими решениями третьей смешанной задачи на множестве  из первой четверти плоскости естественно служат классические решения задачи Коши на множество , которая является проекцией третьей смешанной задачи характеристиками общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами на это множество  Формальные решения соответствующей начально-граничной задачи на множестве  из первой четверти плоскости ищется методом компенсации граничного режима правой частью волнового уравнения из решений вспомогательной задачи Коши на верхней полуплоскости  которой принадлежит это множество  

Дважды непрерывная дифференцируемость найденных решений вместе с устойчивостью по входным данным третьей смешанной задачи выводятся из оценок норм явных формул Римана нормами правой части уравнения, граничного и начальных данных на множествах   первой четверти плоскости и благодаря двум условиям согласования входных данных на общей характеристике  их пересечения . В третьей смешанной задаче компенсации граничного режима правой частью общего телеграфного уравнения на множестве  первой четверти плоскости в решениях вспомогательной задачи Коши на верхней полуплоскости   состоят из компенсационного вычитаемого значения оператора уравнения от интеграла с граничным данным и компенсационных слагаемых значений оператора уравнения двух корректирующих вычитаемых из решений вспомогательной задачи Коши. Единственность классических решений третьей смешанной задачи гарантируется известными дифференциальными и интегральными преобразованиями Римана, которые обязательны для вывода формул Римана. В этой статье доказательство теоремы 1 содержит проверку того, что соответствующее решение третьей смешанной задачи на множестве  удовлетворяет граничному условию третьего рода данной задачи. В настоящей статье также используется новый метод Ломовцева Ф.Е. вывода условий согласования входных данных линейных смешанных задач для одних волновых уравнений из условий согласования других волновых уравнений, которые отличаются младшими слагаемыми. Он предложил этот метод в работе [12].

Результаты настоящей статьи нужны для вывода формул Римана классических решений и критерия корректности третьей смешанной задачи для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами в полуполосе плоскости известным методом Ломовцева Ф.Е. «вспомогательных смешанных задач для полуограниченной струны (волновых уравнений на полупрямой)».

В отечественной и зарубежной математической литературе нет других работ с явными формулами классических решений и критериями корректности по Адамару смешанных задач для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами. До сих пор в своих работах другие авторы выражают формулами Римана решения только задач Коши, но не смешанных (начально-граничных) задач для линейных волновых уравнений.

2. Постановка третьей смешанной задачи.

В первой четверти плоскости  решить и вывести критерий корректности по Адамару третьей смешанной задачи

                      (1)

                   (2)

                                                          (3)

где коэффициенты уравнения  – вещественные функции, коэффициенты граничного условия  – вещественные функции переменной  и исходные данные задачи  – заданные вещественные функции своих переменных  и  Количеством нижних индексов функций мы обозначаем порядки их соответствующих частных производных.

Пусть  – множество  раз непрерывно дифференцируемых функций на подмножестве   – множество непрерывных функций на  и  – плоскость.

Определение 1. Классическим решением смешанной задачи (1)–(3) называется функция   удовлетворяющая уравнению (1) на  в обычном смысле, а начальным условиям (2) и граничному режиму (3) в смысле значений пределов  её соответствующих производных  по  и  по  во внутренних точках  стремящихся к соответствующим указанным в них граничным точкам

Найдем классические решения  третьей смешанной задачи (1)–(3) на  и установим критерий корректности на правую часть  начальные  и граничное  данные для ее однозначной везде разрешимости.

Из самой постановки смешанной задачи (1)–(3) и определения 1 её классических решений вытекают следующие необходимые условия гладкости исходных данных  

           (4)

Ниже в теореме 1 мы возьмем дополнительные необходимые и достаточные требования гладкости (10) на  из [10], где изучаются классические решения неоднородного модельного телеграфного уравнения с минимальной гладкостью правой части.

Полагая  соответственно в граничном режиме (3) и первой производной по  от граничного режима (3) с помощью начальных условий (2) при  мы выводим необходимые условия согласования

           (5)

Мы обозначаем количеством штрихов над функциями одной переменной порядки их обыкновенных производных по этой переменной.

Уравнение (1) имеет характеристические дифференциальные уравнения

                    (6)

которым на  соответствуют два семейства неявных характеристик  Когда коэффициент  тогда переменная  на характеристиках  строго убывает, а на характеристиках  строго возрастает вместе с ростом  в правой плоскости  Поэтому у неявных функций  на существуют явные строго монотонные обратные функции  и  для которых по определению обратных функций на  выполняются следующие тождества обращения из статьи [11]:

         (7)

        (8)

        (9)

Если коэффициент  то функции  дважды непрерывно дифференцируемы по своим переменным  для  на  [11].

Определение 2. Характеристика  в которой  называется критической для уравнения (1).

Критическая характеристика  делит первую четверть плоскости  на два множества  и  На этих множествах третья смешанная задача (1)–(3) имеет разные, но единственные и согласованные на критической характекристике классические решения и критерии корректности по Адамару.

3. Исследование корректности третьей смешанной задачи

Если в уравнении (1) продолжить функцию  чётным образом на  то характеристики  будут заданы на верхней полуплоскости  плоскости

Обобщенные формулы Римана классических решений и критерий корректности поставленной третьей смешанной задачи содержит

Теорема 1. Пусть  и  Третья смешанная задача (1)–(3) в  имеет единственные и устойчивые по  классические решения  тогда и только тогда, когда выполняются требования гладкости (4),

           (10)     

и условия согласования (5). Классическими решениями третьей смешанной задачи (1)–(3) в  являются функции

        (11)

 (12)

Здесь основные и компенсирующие функции   функция  из (39), функция  из (43), функция  функции Римана – классические решения задач Гурса (19), (22) в  и (27), (28) в

Доказательство. Достаточность. Сначала мы найдем формулы (11) и (12) формальных решений третьей смешанной задачи (1)–(3) соответственно на множествах  и  а потом установим их дважды непрерывную дифференцируемость, устойчивость и единственность.

 1). Множество  Для любых функций  телеграфное уравнение (1) умножаем на любые функции  и с помощью очевидных равенств

имеем дифференциальное тождество

                (13)

где дифференциальный оператор и дифференциальные квадратичные формы

              (14)

      (15)

Дифференциальный оператор  являющийся сопряженным оператором к оператору  в смысле численнозначных распределений Шварца  [15, 1], называют формально сопряженным оператором к оператору  В силу левой ориентации плоскости  на рис. 1 по известной формуле Грина двойной интеграл от тождества (13) по характеристическому треугольнику  в  с любой вершиной  и вершинами его основания  и  равен

                   (16)

где  – контур криволинейного треугольника  с положительным обходом.

Рисунок 1. Криволинейный характеристический треугольник  в  

В криволинейном интеграле (16), используя выражения (14), (15), дифференциальное уравнение характеристики из (6) при  и равенства

вычисляем интеграл вдоль характеристики  уравнения

            (17)

Здесь на характеристике  при  мы воспользовались характеристическим дифференциальным уравнением из (6) и для функций  представлением из

Поскольку на каждой из характеристик  и  переменные   являются взаимно зависимыми, т.е. соответственно при  и  переменные   согласно формулам обращения (7)–(9), то эти представления вытекают из следующих очевидных формул первых частных производных:

потому что    также ввиду формул (6). В последнем равенстве (17) для сведения криволинейного интеграла второго типа по  к обыкновенному определенному интегралу применяется параметрическое представление кривой     Используя характеристическое уравнение из (6) при  в правой части равенства (16) аналогично берем интеграл вдоль характеристики  с уравнением  

       (18)

Здесь при  применяются характеристическое дифференциальное уравнение из (6) и указанное выше представление . В последнем равенстве из (18) для сведения криволинейного интеграла второго типа вдоль характеристики  к обыкновенному определенному интегралу используется параметрическое представление кривой     Пусть функция  с параметрами  является классическим решением однородного формально сопряженного дифференциального уравнения

                  (19)

с условиями на характеристиках  и :

       (20)           

соответственно из определенных интегралов в (17) и (18) и условием согласования

                         (21)

Условия (20), (21) равносильны двум уже согласованным условиям Гурса

  (22)        

с функциями  на кривой  и  на кривой  Известно, что задача Гурса (19), (22) с коэффициентами  всегда имеет единственное классическое решение  которое общепринято называть функцией Римана для задачи Коши (1), (2) на  Задача Гурса (19), (22) с формально сопряженным дифференциальным оператором  к дифференциальному оператору  модельного телеграфного уравнения решена в [5]. В самом общем случае функция Римана однозначно находится, например, методом последовательных приближений [14, c. 129–135].

В формуле (16) полагаем  на треугольнике  и в силу соотношений (19)–(22), (17) и (18) получаем формулу формального решения задачи Коши (1), (2)

          (23)

Здесь первое слагаемое содержит значения   и  В криволинейном интеграле по отрезку  где  и  подынтегральные функции  и  однозначно определяются начальными условиями (2). Поэтому в (23), записав двойной интеграл по треугольнику  повторным интегралом, сумма этих двух интегралов будет равна

        (24)

Формула (23) с двумя интегралами (24) вместо двух последних интегралов в (23) становится формулой (11) из нашей теоремы 1.

Теперь (и в конце доказательства теоремы 1) можно убедиться в дважды непрерывной дифференцируемости функции (11) на  Если коэффициенты   то требований   из (4) достаточно для дважды непрерывной дифференцируемости первых двух слагаемых с интегралом по отрезку  в (11) на  так как существует функция Римана  [14, c. 129–135]. Для  достаточность гладкости (10) для дважды непрерывной дифференцируемости на  последнего интеграла в (11) следует, например, из статьи [10].

2). Множество  Пусть  – чётные и  – нечётное продолжения по  коэффициентов  и правой части  уравнения (1) на все  В верхней полуплоскости  найдем решение  задачи Коши

           (25)

         (26)

где  и  – чётные продолжения соответственно начальных данных  и правой части  на  Если непрерывна правая часть в первой четверти плоскости  то её чётное продолжение всегда непрерывно  в верхней полуплоскости

Аналогично множеству  в криволинейном интеграле по  формулы (23) подынтегральные функции  и  однозначно определяются достаточно гладкими начальными данными  и функцией Римана  на  Функция Римана  на  является решением следующей задачи Гурса

         (27)

   (28)          

аналогичной задаче Гурса (19), (22) при  и с функциями  на кривой  и  на кривой  соответственно равными функциям  и  в которых коэффициенты  заменены на их четные продолжения  а коэффициент  – на нечетное продолжение  по  c  на  Формально сопряженный дифференциальный оператор  равен оператору  с коэффициентами  вместо коэффициентов  

Интегрируя аналог тождества (13) для любых достаточно гладких функций  по треугольнику  с любой вершиной  в верхней полуплоскости  плоскости  справедлив аналог формулы (23) решения задачи Коши (25), (26)

        (29)

Формула Римана классических решений и критерий корректности задачи Коши для общего телеграфного уравнения с переменными вещественными коэффициентами и условиями Коши на кривой  плоскости  выведены в [6]. Из [9] известен следующий её частный случай.

Теорема 2 [9]. Пусть в уравнении (25) вместо коэффициентов  соответственно коэффициенты    Задача Коши (25), (26) в верхней полуплоскости  имеет единственное и устойчивое (непрерывное) по начальным данным  и правой части уравнениясоответственно вместо  классическое решение  тогда и только тогда, когда    и верны (10) при  Классическим решением задачи Коши (25), (26) на  является функция

        (30)

где   и функция  – решение задачи Гурса (27), (28) в  с коэффициентами  вместо коэффициентов  

Разве для дважды непрерывной дифференцируемости решений смешанных задач с линейными волновыми уравнениями в первой четверти плоскости обязательна такая же гладкость решений (30) вспомогательных задач Коши с указанными четно и нечетно продолженными коэффициентами и входными данными на всей верхней полуплоскости? Нет! Например, во второй смешанной задаче для линейных телеграфных уравнений единственные решения вспомогательной задачи Коши (25), (26) на  имеют гладкость  [7]. В замечании 3 этой статьи [7] указаны дополнительные жёсткие ограничения на коэффициенты    уравнения (25), при которых задача Коши (25), (26) и задача Гурса (27), (28) имеют соответственно дважды непрерывно дифференцируемые решения  и функцию Римана  во всей верхней полуплоскости  В этом замечании говорится, что такая гладкость функций  и  возможна, но не обязательна для классических решений в первой четверти плоскости  Аналогично случаю постоянной скорости  в диссертации [13, стр. 55–60] с помощью физико-геометрической интерпретации показывается, что значения решений  в вершинах  характеристических треугольников  смешанных задач для волновых уравнений даже при первой нехарактеристической косой производной с коэффициентами    на конце полуограниченной струны однозначно определяются граничным и начальными данными и правой частью уравнения из первой четверти плоскости  благодаря модулю  функции  в формуле этих решений на  В более общих случаях смешанных задач это подтверждается подстановкой полученных решений в уравнения, граничное и начальные условия смешанных задач для линейных волновых уравнений на множестве  из первой четверти плоскости

Ввиду дифференциального уравнения (6) только в каждой фиксированной точке  тангенсы углов наклона касательных прямых к характеристикам двух семейств  отличаются лишь противоположными знаками   Но в силу чётности продолжения  по  относительно оси  для любой вершины  лежащей на оси  треугольник  и, в частности, критический треугольник  являются криволинейными "равнобедренными". Следовательно, на рисунке 2 в плоскости  характеристики  и  при  соответственно симметричны характеристикам  и  при  относительно оси  

Рисунок 2. Криволинейные характеристический и критический треугольники  и  в

Это используется в доказательстве чётности функции Римана  по  в  

Лемма. Пусть выполняются предположения теоремы 1. Тогда для любой вершины  характеристического треугольника  решение  задачи Гурса (27), (28) на  является чётной функцией по

Доказательство этой леммы, как леммы 2, имеется в [7].

Задача Гурса (27), (28) на  известным образом сводится к соответствующему интегро-дифференциальному уравнению или системе таких уравнений, которые решаются методом последовательных приближений [14, С. 129–135]. Для равномерной сходимости последовательных приближений решений и их частных производных методом математической индукции выводятся рекуррентные мажорантные оценки для вспомогательных последовательностей этих приближений. Мажорантные оценки обеспечивают равномерную сходимость приближений решений и их частных производных к решению интегро-дифференциального уравнения или системы таких уравнений, эквивалентных исходной задаче Гурса. С помощью выведенных мажорантных оценок стандартным способом доказывается непрерывная зависимость решений и их частных производных задачи Гурса от правой части  уравнения (27) и значений функции  на характеристиках  и  из (28). Если выше сказанное реализуется для канонического вида уравнения (27) так, как в учебнике [2, C. 245–250], то невырожденность замены переменных, которой наше уравнение (27) приводится к канониченакому виду, влечет дважды непрерывную дифференцируемость решений задачи Гурса (27), (28) на вместо меньшей гладкости решений системы интегральных уравнений из теоремы этого учебника на стр. 250. При коэффициентах   это дает дважды непрерывную дифференцируемость решений  задачи Гурса (27), (28) на  благодаря модулю  функций  аналогично модулю  меньшей гладкости правых частей  решений (12) на  в конце доказательства теоремы 1. Более того, в конце доказательства теоремы 1 аналогично нами будет установлена гладкость решений  третьей смешанной задачи (1)–(3) на первой четверти плоскости

На рисунке 2 в критическом треугольнике  уравнением пунктирной линии  симметричной куску характеристики  относительно оси  служат уравнения  и  Существует эквивалентное уравнение кривой  в терминах  и  В плоскости  неявное уравнение  описывает кривую  очевидно проходящую через точку  (см. рис. 2). Следовательно, в силу определения обратной функции кривая  задается явным уравнением

          (31)

и справедлив другой вид координат точек  и

В формуле (29) за счёт четности начального данного  и чётности произведения  по  значение произведения  в точке  равно его значению в симметричной точке  относительно оси  Поэтому ввиду (31) первое слагаемое из (29) совпадает с первым слагаемым формулы (12), в котором берутся значения функции  и  

В формуле (12) классических решений  третьей смешанной задачи (1)–(3) на множестве  первой четверти плоскости отсутствуют значения продолжений  для  Эти продолжения оказались формальными из-за знака модуля |s| функций   и  Достаточность требований гладкости на  указанных в теореме 1, и условий согласования (5) для гладкости решений  на первой четверти плоскости  следует из формул решений (11) на  (12) на  и норм (45), (46) банаховых пространств в конце доказательства теоремы 1.

В формуле (29) интеграл по основанию  треугольника  равен сумме двух интегралов по отрезкам  и  Интеграл по отрезку  равен интегралу по симметричному отрезку  так как четны по  начальные данные  коэффициенты  и, согласно нашей лемме, функция Римана  Итак, интеграл по  формулы (29) равен сумме указанных интегралов и, следовательно, второе слагаемое из (29) становится суммой двух первых интегралов из (12) благодаря координатам симметричной точки  из (31).

Сужением на  последнего слагаемого из (29) с двойным интегралом имеем четвертое слагаемое решения (12), так как двойной интеграл по треугольнику  равен двойному повторному интегралу от произведения правой части  уравнения (25) на функцию Римана  с модулем  их первой переменной . В нём вместо двойного интеграла по критическому треугольнику  от произведения функций  и  фактически дважды берётся двойной интеграл по треугольнику  из  благодаря их четности по  В итоге, решения (29) задачи Коши (25), (26) на  имеют вид

 (32)

Из этих решений (32) вспомогательной задачи Коши (25), (26) на  мы выведем решения исходной третьей смешанной задачи (1)–(3) на

Вычисляем след правой первой производной  по  при  решения (32) на  при  Этот след равен правой первой производной по  при  от первых четырёх слагаемых формулы (12):

  (33)

Будем искать классические решения третьей смешанной задачи (1)–(3) на  с помощью этого следа в виде выражения

                        (34)

которое совпадает с формулой (12) из доказываемой нами теоремы 1 в силу равенств (33) и следов первых производных

       (35)

Убеждаемся в том, что функция (34) удовлетворяет граничному режиму (3)

так как  по второй формуле обращения из (8) при  и

Единственные решения краевых задач имеют разные виды и формы записи.

Компенсация граничного режима (3) правой частью уравнения (1) решения  из (32) задачи Коши (25), (26) в верхней полуплоскости  состоит из вычитаемого

и соответствующих слагаемых  , компенсирующих два средние вычитаемые выражения из (34). Остаётся указать компенсирующие слагаемые  и  из  для правой части  телеграфного уравнения (1) такими, чтобы функция (34) удовлетворяла телеграфному уравнению (1) на  

Для поиска компенсирующего слагаемого  запишем подинтегральную функцию первого вычитаемого из (34) с помощью выражения (32) суммой

                (36)

где в силу формул из (32) функции

    (37)   

    (38)         

В (12) за чётную по  функцию  берем значение оператора  от интеграла суммы функций из (37) и (38)

            (39)

Отсюда заключаем, что функция  удовлетворяет на  системе

    (40)

первой смешанной задачи для телеграфного уравнения (1) при очевидных граничных режимах первого рода  в силу  по второй формуле обращения из (8) при  и  на критической характеристике  т.е. при  и указанного второго линейного алгебраического уравнения из (40).

Из равенства (39) следует непрерывность функции  на  так как функция  Более того, для непрерывных функций  на верхней полуплоскости  непрерывно дифференцируемы функции  из (37), (38) и, следовательно, дважды непрерывно дифференцируем на  первый интеграл от  из (37) в представлении (34). Поэтому засчёт интеграла в первой смешанной задаче системы (40) отсутствует потребность в интегральных требованиях гладкости типа (10) на функции  По теореме 2 статьи [11] для непрерывной правой части  с гладкостью (10) существует единственное классическое решение  первой смешанной задачи из (40). Из него последовательно находим  и  Из равенства (39) по найденной функции  и известной функции  в (39) однозначно вычисляем компенсирующую функцию  Из второго уравнения системы (40) и компенсирующей функции  выводим функцию  и имеем единственное решение  системы (40).

Теперь найдем компенсирующее слагаемое  правой части телеграфного уравнения для второго вычитаемого из (34) в третьей смешанной задаче (1)–(3) на  В силу уже использованного равенства  решения (32) при  имеют след

 (41)

Записываем этот след (41) суммой

                (42)

где согласно равенству (41) функции

В решении (12) за четную по  функцию  берется значение оператора  от из (42)

     (43)

так как производные   и получаем уравнение

Здесь полагаем    и приходим к системе

               (44)

интегрального уравнения Вольтерра второго рода и алгебраического уравнения.

Непрерывность функции  на  вытекает из равенства (43). По  в (43) выводим функцию  из второго алгебраического уравнения системы (44). Из теории интегральных уравнений известно, что для каждой непрерывной функции  всегда существует единственное непрерывное решение  уравнения Вольтерра второго рода системы (44). В результате имеем единственное решение  системы уравнений (44).

Таким образом, компенсирующие слагаемые  и  корректно вычислены и без нарушения корректности по Адамару смешанной задачи (1)–(3) на  во множестве классических решений компенсацией граничного режима (3) третьего рода правой частью  общего телеграфного уравнения (1).

Устойчивость (непрерывная зависимость) решений третьей смешанной задачи (1)–(3) по (от)  соответственно на  и  вытекает из формул Римана (11) и (12). При любом  решение (11) непрерывно зависит в банаховом пространстве  от  из декартова произведения  банаховых пространств  где множества   с нормами:

       (45)

При любом  решение (12) непрерывно зависит в банаховом пространстве  от  из декартова произведения  банаховых пространств  где множества   и  с нормами:

       (46)

Такая устойчивость означает дважды непрерывную дифференцируемость решений   третьей смешанной задачи (1)–(3) на  

Мы доказали дважды непрерывную дифференцируемость функций (11) в  и (12) в  В теореме 1 из [8] обоснована достаточность наших условий согласования (5) для дважды непрерывной дифференцируемости соответствующих решений на характеристике  двухскоростного модельного телеграфного уравнения и при нашем частном случае одной скорости  и граничного условия (3) третьего рода, которым становится нехарактеристическая первая косая производная из [8] при коэффициенте   Отсюда вытекает достаточность этих (уже необходимых) условий согласования (5) для дважды непрерывной дифференцируемости функции  вида (11) и функции  вида (12) на характеристике  в нашей третьей смешанной задаче (1)–(3) для общего телеграфного уравнения на первой четверти плоскостии  так как условия согласования (5) теоремы 1 не зависят от правой части  уравнения (1). Когда условия согласования зависят от правых частей волновых уравнений, тогда их можно вычислять, например, так, как в случае первой смешанной задачи в статье [12], где из третьего условия согласования для модельного телеграфного уравнения легко находится третье условие согласования для общего телеграфного уравнения следующим образом. В [12] из левых и правых частей модельного с правой частью  и общего с правой частью  телеграфных уравнений соответственно вычитаются младшие слагаемые этих уравнений  и   и выводятся два уравнения

Из них очевидно вытекает тождество

        (47)

В третье условие согласования модельного телеграфного уравнения

из [8] при коэффициентах  в граничном условии и   в уравнении подставляем правую часть (47) модельного телеграфного уравнения и с помощью начальных условий (2) сразу получаем третье условие согласования общего телеграфного уравнения

Единственность классических решений  третьей смешанной задачи (1)–(3) на  вытекает из способа вывода формул Римана решений (11) и (12) из тождества (13) для любых функций  и

 Необходимость требований гладкости (4) и условий согласования (5) установлена перед теоремой 1. В [10] для зависящих от  и  функций  доказана необходимость (обязательность) гладкости (10) для дважды непрерывной дифференцируемости соответствующего двойного интеграла  Дважды непрерывная дифференцируемость интегралов из (11) и (12), содержащих  не зависит от дважды непрерывно дифференцируемых решений  задач Гурса (19), (22) и (27), (28) также, как от дважды непрерывно дифференцируемого коэффициента  Доказательство того, что для функций  требования (10) гарантируют дважды непрерывную дифференцируемость  имеется в [10]. Поэтому необходимость гладкости (10) на непрерывные  следует из дважды непрерывной дифференцируемости функции  [10]. Теорема 1 доказана.

Замечание 1. Наши исследования в работе [10] минимальной гладкости правой части модельного телеграфного уравнения для дважды непрерывной дифференцируемости его частного решения  показывают, что гладкость (10) выполняется для непрерывно дифференцируемых  а также непрерывных  имеющих частные производные интегралов  или   из (10) непрерывными на  Значит, это распространяется на коэффициент   функции   и функцию Римана  

Следствие 1. Если непрерывная правая часть  зависит только от  или  то утверждение теоремы 1 справедливо без требований гладкости (10).

Доказательство. Для непрерывной правой части  зависящей только от  или  интегральные требования гладкости (10) всегда верны [10].

Следствие 2. В теореме 1 принадлежность интегралов (10) множеству  равносильна их принадлежности множеству  или множеству  где  – множество непрерывных по  и непрерывно дифференцируемых по  функций и  – множество непрерывно дифференцируемых по  и непрерывных по  функций на первой четверти плоскости .

Доказательство. Сначала для более гладких  первые частные производные по  от каждого интеграла из (10) преобразуются в первые частные производные по  на . Затем эти равенства распространяются предельным переходом по  с  на  с условиями (10) [10].

Замечание 2. Смешанная задача (1)–(3) в первой четверти плоскости  нами решена при всех коэффициентах  в условии (3): при   c граничным условием третьего рода в настоящей работе и при   c граничным условием первого рода в [12]. Для решений  смешанной задачи (1)–(3) в  обобщить теорему 1 на нехарактеристическое и характеристическое граничное условие  с производной  по времени  

4. Заключение. Выведены формулы Римана (11), (12) единственных и устойчивых классических решений  и критерий корректности по Адамару (4), (5), (10) третьей смешанной задачи (1)–(3) для общего линейного неоднородного телеграфного уравнения с переменными коэффициентами в первой четверти плоскости . Эти результаты получены методом Ломовцева Ф.Е. «компенсаций граничных режимов смешанных задач правыми частями волновых уравнений». Компенсации граничных режимов при  правыми частями волновых уравнений смешанных задач на множествах первой четверти плоскости в решениях вспомогательных задач Коши на верхней полуплоскости   состоят из компенсационного вычитаемого значений волновых операторов граничных данных и компенсационных слагаемых значений волновых операторов корректирующих вычитаемых из решений задач Коши. Справедливость результатов подтверждается подстановкой выведенных формул решений в телеграфные уравнения, начальные и граничное условия.

Список литературы:

1. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. – Москва. 1976. – 280 с.
2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – Москва. 1971. – 512 с.
3. Ломовцев Ф.Е. Вторая смешанная задача для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами в первой четверти плоскости. // Веснiк Гродзенскага дзяржаунага унiверсiтэта iмя Янкi Купалы. – 2022. – Т. 12, № 3. – Серыя 2. Матэматыка. Фiзiка. Iнфарматыка, вылiчальная тэхнiка i кiраванне. – С. 62–74.
4. Ломовцев Ф.Е. Глобальная теорема корректности первой смешанной задачи для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами на отрезке. // Проблемы физики, математики и техники. – 2022. – № 1 (50). – С. 62–73. DOI: https: //doi.org/10.54341/20778708_2022_1_50_62
5. Ломовцев Ф.Е. Задача Гурса для сопряжённого модельного телеграфного уравнения со скоростью a(x,t) в верхней полуплоскости. // Вестник Полоцкого государственного университета. Сер. С. Фундаментальные науки. Математика. – 2022. – № 4, – С. 92–102. DOI: 10.52928/2070-1624-2022-38-4-92-102.
6. Ломовцев Ф.Е., Кухарев А.Л. Задача Коши для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами при условиях Коши на кривой линии в плоскости. // Труды WSEAS по математике, ISSN/E–ISSN:1109-2769/2224-2880, Т. 22, 20 декабря, – 2023, Art. 103. – С. 936–949. DOI: 10.37394/23206.2023.22.103 https://wseas.com/journals/articles.php?id=8733
7. Ломовцев Ф.Е. Метод компенсации граничного режима правой частью телеграфного уравнения с переменными коэффициентами в решении второй смешанной задачи на полупрямой. // Вестник Гродзенского государственного университета имени Янки Купалы. Серия 2. Математика. Физика. Информатика, вычислительная техника и управление. – 2023. – Т. 13, № 1. – С. 39–63.
8. Ломовцев Ф.Е. Метод неявных характеристик в смешанной задаче для двухскоростного модельного телеграфного уравнения с нехарактеристической первой косой производной граничного режима. // Современные методы теории краевых задач / Материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа, посвященная памяти С.М. Никольского: XXXVI Воронежская весенняя математическая школа. «Понтрягинские чтения - XXХVI». (30 апреля-4 мая 2025г.). / ВГУ, МГУ им. М.В. Ломоносова, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, НОМЦ СОГУ им. К.Л. Хетагурова, АО «Концерн «Созвездие». – Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2025. – С. 216–220.
9. Ломовцев Ф.Е. Обобщенная формула Римана классического решения задачи Коши для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами. // Современные методы теории краевых задач / Материалы Международной конференции: XXXIV Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения-XXХII», посвященной памяти А.Д. Баева. (3-9 мая 2021г.). / ВГУ, МГУ им. М.В. Ломоносова, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН. – Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2021. – С. 293–295.
10. Ломовцев Ф.Е. О критерии гладкости классического решения неоднородного модельного телеграфного уравнения в первой четверти плоскости. // Вестник Полоцкого государственного университета. Сер. С. Фундаментальные науки. – 2023. – № 1(40). – С. 72–83. https://doi.org/10.52928/2070-1624-2023-40-1-72-83.
11. Ломовцев Ф.Е. Первая смешанная задача для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами на полупрямой. // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. – 2021. – № 1. – С. 18–38.
12. Ломовцев Ф.Е. Формулы Римана первой смешанной задачи для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами в первой четверти плоскости. I. // Вестник Могилевского государственного университета имени А.А. Кулешова. № 2 (62). Серия B. Естественные науки (математика, физика, биология). – 2023. – С. 16–31.
13. Новиков Е.Н. Смешанные задачи для уравнения вынужденных колебаний ограниченной струны при нестационарных граничных условиях с первой и второй косыми производными : Дис. ... кан-та физ.-мат. наук (01.01.02) / ИМ НАН Беларуси. – Минск. – 2017. – 258 с.
14. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. –Москва. 2004. – 798 с.
15. Шварц Л. Теория распределений. – Париж. Т. 1, 1950, Т. 2, 1951.