ВОЗВРАЩАЯСЬ К ИССЛЕДОВАНИЮ АВС-РАВЕНСТВА

​RETURNING TO THE RESEARCH OF ABC-EQUALITY

Valery Agafontsev

Candidate  of  Technical  Sciences, pensioner

Russia,  Pskov

АННОТАЦИЯ

В статье исследуется равенство  , представленное ненулевыми натуральными числами  и называемого ABC-равенством. Новым является доказательство того, что любое равенство , где , , влечёт выполнимость соотношений  или  в зависимости от .

ABSTRACT

The article examines the equality a+b=c, represented by non-zero natural numbers  and called ABC-equality. What is new is the proof that any equality  where ,  implies the satisfiability of the relations  or  depending on .

Ключевые слова: ABC-тройка, ABC-гипотеза, гипотеза Остерле-Массера.

Keywords: ABC-triple, ABC- conjecture, Oesterle-Masser conjecture.

Вводная часть

Перед дальнейшим прочтением настоящей статьи следует напомнить принятые в науке понятие радикала  и ABC-тройки.

Известно, что согласно основной теореме арифметики любое натуральное число  может быть единственным образом разложено на простые сомножители:

,                                                                                  (1)

где  – простые сомножители,  – их повторяемость в числе ; =[1, k].

В соответствии с [3]:

1) радикалом числа  условились называть выражение вида

                                                                                  (2)

то есть, радикал числа  – это произведение первых степеней простых сомножителей числа .

2) ABC-тройкой условились называть тройку ненулевых взаимно простых целых чисел , удовлетворяющих равенству .

Теоретико-доказательная часть

ТЕОРЕМА

Любое равенство , где ,  влечёт выполнимость соотношений  или  в зависимости от .

Доказательство

Рассмотрим ABC-тройку, представленную равенством , где , . Не уменьшая общности, будем считать, что число  является меньшим из чисел ABC-тройки. Введём такое его представление:

В приведенном равенстве число  дополняет сомножители радикала  до числа . Следует пояснить вышесказанное тремя примерами.

Пример 1. Для ABC-тройки , , , , следовательно, .

Пример 2. Для ABC-тройки , , ,  , следовательно, .

Пример 3. Для ABC-тройки , , ,  , следовательно, .

Умножим правую часть равенства (3) на . Учтём возможность случая  в равенстве , из чего с необходимостью следует . В результате умножения получим:

Умножим правую часть соотношения (4) на . Получим неравенство:

Учитывая, что , неравенство (5) запишется так:

В правой части неравенства (6) два сомножителя: первый сомножитель – , второй – . Увеличим второй сомножитель, сделав его равным , где  – бόльшее нуля положительное действительное число.

На примере двух ABC-троек докажем, что выбором величины  можно добиться выполнения таких соотношений:

Пусть первая ABC-тройка будет такой:

Пусть вторая ABC-тройка будет иметь следующей вид:

Очевидна выполнимость неравенства (6) для ABC-троек (8) и (9).

Из гипотетического соотношения  определим величину  для каждой ABC-тройки.

Таблица 1.

Величина  для каждой ABC-тройки

Из гипотетического соотношения (10) следует:

I. Увеличение числа  по сравнению с указанными в таблице 1 значениями приведёт к выполнимости соотношения . Убедимся в этом с помощью таблицы 2.

Таблица 2.

Увеличение числа  . Выполнимость соотношения

II. Уменьшение числа  по сравнению с указанными в таблице 1 значениями приведёт к выполнимости соотношения . Убедимся в этом с помощью таблицы 3.

Таблица 3.

Уменьшение числа . Выполнимости соотношения

Из таблиц 2 и 3 видно, что в зависимости от числа  выполняется соотношение  либо .

Анализируя все вышеприведенное, используемое для исследования двух ABC-троек, можно отметить, что такой подход применим к любой ABC-тройке. Следовательно, любое равенство , где , , влечёт выполнимость соотношений  или  в зависимости от , что и требовалось доказать.

Заключительная часть

Представленная теорема никоим образом не претендует на доказательство ABC-гипотезы Остерле-Массера. В интернет-лекции [1] ABC-гипотеза формулируется так: «Для каждого  все ABC-тройки (a, b, c), кроме конечного числа, удовлетворяют » [1]. В интернет-лекции [2] ABC-гипотеза формулируется следующим образом: «Пусть . Тогда существует только конечное число ABC-троек таких, что » [2].

В данной статье рассматривается лишь некоторое свойство ABC-троек, влекущее выполнение неравенства  либо неравенства  в зависимости от значения .

Список литературы:

1. Конрад К. Что такое АВС-гипотеза? Интернет-лекция К. Конрада. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://mccme.ru/dubna/2013/notes/kconrad-lecture1.pdf (дата обращения: 27.06.2025).
2. Орлов Д.О. АВС-гипотеза и её следствия. Интернет-лекция академика РАН Орлова Д.О. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://yandex.ru/video/preview/8595582349226526224 (дата обращения: 17.06.2025).
3. Oesterlé J. Nouvelles approches du «théoreme» de Fermat // Astérisque. – 1988. – Т.161–162. – Séminaire Bourbaki, exp. № 694. – P. 165–186.