ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ КАТАЛАНА

​PROOF OF CATALAN'S CONGECTURE

Valery Agafontsev

Candidate of Technical Sciences, pensioner

Russia, Pskov

АННОТАЦИЯ

В статье излагается доказательство гипотезы Каталана, выполненное на основе ABC-ТЕОРЕМЫ 2, представленной в сборнике [1, с. 28]. ABC-ТЕОРЕМА 2 утверждает следующее: для любых ABC-троек выполнимо соотношение . Под ABC-тройкой понимается равенство , в котором , .

ABSTRACT

The article presents a proof of the Catalan conjecture based on ABC-THEOREM 2, presented in the collection [1, p. 28]. ABC-THEOREM 2 states: for any ABC-triples, the relation  is satisfied. An ABC-triple is understood as an equality , in which , .

Ключевые слова: гипотеза Каталана, ABC-ТЕОРЕМА 2.

Keywords: Catalan conjecture, ABC-THEOREM 2.

Вводная часть

Французский и бельгийский математик XIX столетия Эжен Шарль Каталан (Eugène-Charles Catalan) в 1844 году высказал такую гипотезу: «Deux nombres entiers consécutifs, autres que 8 et 9, ne peuvent étre des puissances exactes, autrement dit: lʼéquation , dans laquelle les inconnues sont entières et positives, nʼadmèt quʼune seule solution» [5], что в переводе с французского означает: «Два последовательных целых числа, отличных от 8 и 9, не могут быть точными значениями, другими словами: уравнение , в котором неизвестные целые и положительные числа, имеет только одно решение» [5]. То есть, согласно гипотезе Каталана не может быть двух последовательных натуральных чисел  и  кроме  и .

Следует отметить, что гипотеза Каталана доказана румынским математиком Предой Михайлеску (Preda Mihᾰilescu [6]) в 2002 году и опубликована в 2004 году в его работе «Primary cyclotomic units and a proof of Catalanʼs conjecture» [6]. Доказательство довольно сложное. Однако по мнению автора данной статьи, гипотезу Каталана возможно доказать с помощью АВС-ТЕОРЕМЫ 2.

Теоретико-доказательная часть

ТЕОРЕМА

Не существует двух последовательных натуральных чисел  и  кроме  и .

Доказательство

Построим доказательство теоремы от «противного», а именно: предположим, что существуют два последовательных натуральных числа  и  кроме  и . Следовательно:

Числа , ,  образуют ABC-тройку. В соответствии с АВС-ТЕОРЕМОЙ 2 [1, с. 28] для любых ABC-троек выполнимо соотношение . Обозначим , , . Поэтому для равенства (1) должно выполниться такое соотношение:

Из равенства (1) следует: . Значит, при  будет .

Следовательно,

 .

Соотношение (2) с учётом (3) запишется так:

Из соотношения (4) следует:

Исходя из результата (5), для равенства (1) возможны только такие значения :

Для выполнения равенства (1) при условии  необходимо, чтобы мéньшее число  возводилось в бόльшую степень, чем число , то есть, должно быть следующее значение:

В соответствии с выражениями (6) и (7) из равенства (1) должна следовать выполнимость таких двух равенств:

.

Следует заметить особенность тождества (8): это равенство соответствует двум последовательным числам  и .

Существует также некое суждение относительно равенства (9). Рассмотрим вспомогательный инструментарий, базируясь на который докажем невыполнимость равенства (9). Такой инструментарий представлен ЛЕММОЙ, тремя УТВЕРЖДЕНИЯМИ и ТЕОРЕМОЙ. Рассмотрим их.

ЛЕММА

  Число , где , в c-ричной позиционной нумерации представимо равенством , в правой части которого содержится точно  нулей.

Доказательство

Между записью натурального числа  в c-ричной позиционной нумерации и его количественным эквивалентом устанавливается такое соответствие:                                                                                                                     

Записать некоторое число  в c-ричной позиционной нумерации означает определить коэффициенты  в разложении этого числа по степеням  и выписать эти коэффициенты в соответствии с весами c-ричных разрядов. Известно, что для целых чисел определение таких коэффициентов выполняется по следующему алгоритму: необходимо делить данное число  на основание  этой позиционной нумерации до тех пор, пока полученный остаток не будет меньше . При этом остаток от первого деления даст значение младшего (правого, ) c-ричного разряда, остаток от второго деления даст значение второго справа  c-ричного разряда и так далее. Следовательно, запись любого натурального числа  в c-нумерации представится так:

,

где в правой части данного выражения содержится точно  нулей.

Докажем лемму методом математической индукции.

Индукция по .

База индукции. При  получаем . В правой части равенства один нуль, значит, база индукции есть.

Гипотеза индукции. Предположим, что при  в правой части равенства

будет точно k нулей.

Индукционный переход. Докажем, что наше утверждение будет верно для . Действительно,

То есть, число , где  в позиционной c-ричной нумерации представимо равенством , в правой части которого содержится точно  нулей, что и требовалось доказать.

На примерах двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной нумераций покажем истинность утверждения леммы. Действительно:

2 = (10)₂;    2² = (100)₂;    2³ = (1000)₂

8 = (10)₈;    8² = (100)₈;    8³ = (1000)₈

16 = (10)₁₆;   16² = (100)₁₆;   16³ = (1000)₁₆

Очевидно, что в каждом равенстве количество нулей в правой части равно показателю степени левой его части.

Проверим истинность леммы на таком примере: . Переходя к троичной нумерации, получим: , ,  . То есть, лемма выполняется.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1

Необходимое и достаточное условие выполнения равенства ,

в котором , ,   ̶ любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, _; , , , представимо триадой равенств:

, , , где ; ;  ℕ₀.

Здесь и далее символом ℕ обозначены натуральные, то есть, положительные целые числа без нуля. Символом ℕ₀ обозначены натуральные числа с нулём.

Доказательство

Запишем правую и левую части равенства  в c-ричной позиционной нумерации; получим:

где число нулей в правой части равенства (11) в соответствии с леммой равно точно .

Из равенства (11) следует необходимое условие его выполнения. Такое условие заключается в том, что:

I. C-ричная запись каждого из чисел  и  в равенстве (11) должна содержать не более, чем  c-ричных разрядов. Действительно, правая часть равенства (11) представляет собой наименьшее целое c-ричное число, содержащее  разрядов, старший, -й, из которых имеет наименьшее ненулевое значение. Поэтому, если хотя бы одно из чисел  или  будет представляться  c-ричными разрядами, то это сделает равенство (11) невыполнимым, так как его левая часть будет заведомо больше правой части. Следовательно, числа  и  в их c-ричной записи представимы не более, чем  c-ричными разрядами:

Учитывая позиционность c-ричной нумерации, числа  и  в их количественном эквиваленте представимы следующим образом:

Здесь , ;. По условию , следовательно, исходя из равенства , , .

 II. Поразрядные суммы c-ричных записей равенства (11) должны удовлетворять таким соотношениям:

где . Переходя к количественному эквиваленту равенств (14), получим:   

Выполнение равенств (13), (15) является не только необходимым, но и достаточным условием выполнения равенства . Действительно, если предположить, что равенства (13), (15) выполняются и сложить левые и правые части равенств (13) соответственно, а также учесть равенство (15), то получим равенство , что и требовалось доказать.

Убедимся в истинности УТВЕРЖДЕНИЯ 1 на примере . Тогда соотношения (12) представятся так: ; .

Соотношения (13) запишутся следующим образом:

Из вышеописанного следует, что соотношения (12) и (13) выполняются. Выполняется также и соотношение (15).

 УТВЕРЖДЕНИЕ 2

 Для выполнимого равенства , в котором , b,  – любые натуральные взаимно простые числа; , , , выполнимо соотношение , где , , .

Доказательство

Согласно УТВЕРЖДЕНИЮ 1, если выполняется равенство , в котором , ,  ̶ любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, , , , , то для чисел , , выполнимы равенства (13) и (15), в которых , , . Складываем левые и правые части равенств (13) соответственно. В результате получается соотношение:

что и требовалось доказать.

Проверим истинность УТВЕРЖДЕНИЯ 2 на примере двух равенств:

1) ; 2)

Для равенства 1). Пусть , , . Тогда , , , ; , , , . После подстановки в (16):

Для равенства 2). Пусть , , . Тогда , , , . После подстановки в (16):

Таким образом, соотношение (16) выполняется.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3

Равенство , где ;  , , невыполнимо с любым числом , с которым выполнялись бы равенства  ,  при условиях: ; ; , , .

Доказательство

Построим доказательство «от противного», а именно: предположим, что равенство

где , , , выполнимо хотя бы с одним числом , с которым выполнялись бы равенства ,  при условиях:, , , , . Из предположения автора данной статьи о выполнимости равенства (17) и равенств ,  следует выполнимость равенства  хотя бы с одним числом .

Согласно УТВЕРЖДЕНИЮ 1, выполнимость равенства  означает выполнение необходимого условия, заключающегося в том, что , где . Данное условие порождает такую цепочку (кортеж) из  равенств:

Однако первые три равенства кортежа при условии , ,  невыполнимы с любым числом , что следует из доказательства Эйлера для теоремы Ферма с показателем  [4, С. 34-38], [5, С. 57-60], [2]. Действительно, в силу доказательства Эйлера уравнение  не имеет решений в целых отличных от нуля числах. Если бы существовало хотя бы одно решение, то для него выполнилось бы равенство  и, следовательно, согласно УТВЕРЖДЕНИЮ 1 выполнилось бы необходимое условие , где , ведущее к выполнению кортежа:

1) ,

2) ,

3) .

Но в силу доказательства Эйлера не существует ни одного целочисленного равенства . Значит, не существует ни одного числа  для этих равенств кортежа.

Заметим, что число  входит во все равенства кортежа. Из этого следует невыполнимость всех равенств кортежа с любым числом . Таким образом, возникло противоречие с нашим предположением, заключающимся в выполнимости равенства (17) хотя бы с одним числом . Таким образом, авторское предположение является ложным. В силу закона противоречия это означает, что равенство , где ; , , невыполнимо с любым числом , с которым выполнялись бы равенства ,  при условиях: ; ; , , , что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 1

Равенство , в котором , где , , , невыполнимо с любыми взаимно простыми числами , ,

Доказательство

Построим доказательство «от противного», а именно: предположим выполнимость равенства , в котором , где , , , хотя бы с одной тройкой чисел . В этом случае, согласно УТВЕРЖДЕНИЮ 2 должна следовать выполнимость равенства

Но в силу УТВЕРЖДЕНИЯ 3 правая часть данного равенства не равна числу . Следовательно,  при , , . Таким образом, получено противоречие с нашим предположением. Итак, наше предположение является ложным. В силу закона противоречия это означает, что равенство , в котором , где , , , невыполнимо с любыми взаимно простыми числами , , , что и требовалось доказать.

Необходимый вспомогательный инструментарий для доказательства невыполнимости соотношения (9) сформирован. Приступим к доказательству ТЕОРЕМЫ, доказывающей гипотезу Каталана.

ТЕОРЕМА

Любые натуральные числа  и  при  не могут быть последовательными.

Доказательство

Исходя из последовательности натуральных чисел, в соответствии с (9) запишем такое соотношение:

Согласно ТЕОРЕМЕ 1 данное равенство невыполнимо с любыми взаимно простыми числами  и . Следовательно, любые натуральные числа  и  при  не могут быть последовательными.

Таким образом, гипотеза Каталана, утверждающая, что не существует двух последовательных натуральных чисел  и  кроме  и , полностью доказана.

Заключительная часть

В данной статье, основываясь на АВС-ТЕОРЕМЕ 2, являющейся альтернативой АВС-гипотезе Остерле-Массера в её явном (explicit) варианте, возможно, впервые в мире, на основе АВС-ТЕОРЕМЫ 2 доказана гипотеза Каталана. Следует отметить, что доказательство, приводимое автором данной статьи, значительно проще, чем доказательство Преда Михайлеску.

Список литературы:

1. Агафонцев В.В. О некоторых свойствах ABC-равенства // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXXXVIII междунар. науч.-практ. конф. –№ 6 (79). – Новосибирск: СибАК, 2025. – С. 20–30. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://sibac.info/files/2025_06_23_technics/6(79).pdf (дата обращения: 12.06.2025).
2. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Математические заметки. – 2007. – № 82–3. – С. 395–400.
3. Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. – М.: Наука, 1978. – 128с.
4. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с англ. В.Л. Калинина и А.И. Скопина / под ред. Б.Ф. Скубенко. – М.: Мир, 1980. – 486 с.
5. Catalan E. Note extradite d’une lettre adressere a` l’erditeur // Journal für die reine und angewandte Mathematik. – Vol. 27 (1844). – P. 192. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://www.degruyterbrill.com/document/doi/10.1515/crll.1844.27.192/html (дата обращения: 17.06.2025).
6. Mihᾰilescu P. Primary cyclotomic units and a proof of Catalanʼs conjecture // Journal für die reine und angewandte Mathematik. – 2004. – Vol. 572. – Pp. 167–195.