О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ АВС-РАВЕНСТВА

​ON SOME PROPERTIES OF THE ABC-EQUALITY

Valery Agafontsev

Candidate of Technical Sciences, pensioner

Russia, Pskov

АННОТАЦИЯ

В статье исследуются некоторые свойства равенства , представленного ненулевыми натуральными числами  и называемого ABC-равенством. Новым является доказательство двух утверждений:

1) любое равенство , где ,  влечёт выполнимость соотношения , в котором величина  зависит не только от , но и от чисел , что является альтернативой ABC-гипотезе Остерле-Массера;

2) любое равенство , где ,  влечёт выполнимость соотношения  , что является альтернативой явному (explicit) варианту ABC-гипотезы Остерле-Массера.

ABSTRACT

This article investigates some properties of the equality a+b=c represented by non-zero natural numbers  and hence called abc- equality. The novelty of the article lies in the proof of two statements:

1) any equality , where ,  implies the satisfiability of the relation , in which the value of  depends not only on , but also from the numbers  which is an alternative to the ABC-conjecture Osterle-Masser;

2) any equality , where ,  implies the fulfillment of the relation , which is an alternative to the explicit version of the ABC-conjecture Osterle-Masser.

Ключевые слова: ABC-тройка, ABC-гипотеза, гипотеза Остерле-Массера.

Keywords: ABC-triple, ABC- conjecture, Oesterle-Masser conjecture.

Вводная часть

Перед доказательством двух теорем для равенства вида , где , , рассмотрим понятие радикала . Известно, что согласно основной теореме арифметики любое натуральное число  может быть разложено единственным образом на простые сомножители:

,                                                                           (1)

где  – простые сомножители,  – их повторяемость в числе ; =[1, k].

В соответствии с [1]:

1. радикалом числа  условились называть выражение вида:

                                                                    (2)

то есть, радикал числа  – это произведение первых степеней простых сомножителей числа ;

2. (a, b, c)-тройкой условились называть три ненулевых взаимно простых целых числа , удовлетворяющих равенству .

В соответствии с [2] примем такое обозначение (a, b, c)-тройки: ABC-тройка.

Теоретико-доказательная часть

АВС-ТЕОРЕМА 1

Любое равенство , где ,  влечёт выполнимость соотношения , в котором величина  при  зависит от чисел .

Доказательство

Построим доказательство «от противного», а именно: предположим, что существует хотя бы одно равенство , где , , в соотношении  которого величина  при  не зависит от чисел  .  

Введём такое представление числа :

В этом равенстве число  дополняет сомножители радикала  до числа . Поясним сказанное тремя примерами.

Пример 1. Для ABC-тройки ,  ,  ,

 , следовательно, .

Пример 2. Для ABC-тройки , , , , следовательно, .

Пример 3. Для ABC-тройки , , ,  , следовательно, .

Умножим правую часть равенства (3) на . Учитывая возможность случая  в равенстве , получим:

Умножим правую часть соотношения (4) на . Получим строгое неравенство:

учитывающее, что из равенства , допускающего , с необходимостью следует .

Учитывая, что , неравенство (5) запишется так:

В правой части неравенства (6) два сомножителя: первый сомножитель – , второй – . Увеличим второй сомножитель, сделав его равным , где  – бόльшее нуля положительное действительное число. Тогда сохранение неравенства (6) обеспечится выполнением такого равенства:

где  является некоторым положительным действительным числом.

Значит, неравенство (6) представится так:

Исходя из равенства (7),

Из представления числа  в равенстве (3) равенство (9) запишется так:

Очевидно, в этом равенстве величина  при  зависит от чисел . Таким образом, получено противоречие предположению автора данной статьи. Следовательно, предположение является ложным. В силу закона противоречия это означает, что любое равенство , где ,  влечёт выполнимость соотношения , в котором величина  при  зависит от чисел , что и требовалось доказать.

Проверим истинность АВС-ТЕОРЕМЫ 1. Возьмём три ABC-тройки:

1. , , ; 2) , , ; 3) , ,

Для них составим таблицу, в которую занесём значения , а также задаваемые значения  и вычисляемые в соответствии с выражениями (3) и (9) значения  и .

Таблица 1.

Зависимость величины К

Таблица 1 показывает, что величина  при  зависит от чисел .

Примечание. Отметим особенность АВС-ТЕОРЕМЫ 1: данная теорема никоим образом не доказывает АВС-гипотезу Остерле-Массера. Действительно, АВС-гипотеза Остерле-Массера по первоисточнику формулируется так [6, с. 169]:

«Pour tout , il existe  tel que

 pour tout triplet

dʼentiers non nuls premiers entre eux vérifiant » [6].

В переводе на руccкий: «Для любого  существует  такое, что  для любой тройки  взаимно простых, ненулевых, удовлетворяющих » [6].

Следовательно, авторская формулировка ABC-гипотезы означает лишь некоторую зависимость величины  от  и не более того. В частности, не указывается зависимость величины  от чисел  ABC-тройки.

Приведём формулировку АВС-гипотезы, следуя информации, полученной в результате прослушивания интернет-лекции [1]. Цитата: «Для каждого  существует константа , такая, что для всех ABC-троек » [1].

Не уменьшая общности, запишем из вышеприведенного соотношения такое неравенство:

В ходе интернет-лекции [1] величина  названа константой в том смысле, что в ABC-гипотезе Остерле-Массера  не зависит от чисел . Величина  зависит лишь от . При этом не определяется вид зависимости  от . То же самое можно сказать и о величине  соотношения  из материала интернет-лекции [3].

Отметим, что в отличие от ABC-гипотезы Остерле-Массера АВС-ТЕОРЕМА 1 доказывает зависимость величины  от чисел . Более того, соотношением  определён вид зависимости величины  при  от чисел .

УТВЕРЖДЕНИЕ 1

Для любых ABC-троек с условием  выполнимо соотношение

.

Доказательство

Для доказательства составим таблицу 2, в которую запишем все ABC-тройки с условием  и соответствующие им значения .

Таблица 2.

Все ABC-тройки с условием  и соответствующие им значения

Из таблицы 3 следует выполнимость соотношения  для любых ABC-троек с условием , что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2

Для любых ABC-троек с условием  наименьшее значение .

Доказательство

Докажем УТВЕРЖДЕНИЕ 2 «от противного», а именно: предположим, что среди любых ABC-троек с условием  существует хотя бы одна с ещё мéньшим значением радикала, то есть, . В соответствии с основной теоремой арифметики число 30 единственным способом может быть представлено тремя простыми сомножителями: 30=2·3·5. Тогда, исходя из нашего предположения, запишем такое соотношение:

Докажем невыполнимость соотношения (11). Возьмём три числа: 1) , 2) , 3) ; они удовлетворяют условию .

Для первого числа ; следовательно, соотношение (11) превратится в неравенство:

Но такого неравенства для любых ABC-троек быть не может! Действительно, наименьшая ABC-тройка определяется равенством . Для неё , что противоречит неравенству (12), так как не существует ни одной ABC-тройки, у которой .

Для второго числа, взятого из ABC-тройки, у которой , , , , , . Следовательно, соотношение (11) превратится в неравенство , чего быть не может.

Для третьего числа, взятого из ABC-тройки, у которой , , , , , . Следовательно, соотношение (11) превратится в неравенство , чего быть не может.

Таким образом, наше предположение о существовании хотя бы одной ABC-тройки с ещё мéньшим значением радикала, чем , приводит к противоречию, проявившемуся выражениями ″в рамочке″. Следовательно, это предположение является ложным. В силу закона противоречия это означает, что для любых ABC-троек с условием  наименьшее значение , что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3

Для любых ABC-троек с условием  выполнимо соотношение .

Доказательство

Построим доказательство УТВЕРЖДЕНИЯ 3 «от противного», а именно: предположим, что среди любых ABC-троек с условием  существует хотя бы одна, для которой выполняется соотношение:

Исходя из УТВЕРЖДЕНИЯ 2, для любых ABC-троек с условием  наименьшее значение , значит, для любых ABC-троек с условием  наименьшее значение . Тогда из соотношения (13) для любой ABC-тройки с условием  должно быть . Следовательно, исходя из нашего предположения, не существует ABC-тройки с условием , в которой число  от  до . Однако в действительности такая ABC-тройка с условием  и числом  от  до  существует, её можно легко указать. Таким образом, получено противоречие по отношению авторского предположения. Следовательно, предположение является ложным. В силу закона противоречия это означает, что для любых ABC-троек с условием  выполнимо соотношение , что и требовалось доказать.

АВС-ТЕОРЕМА 2

Для любых ABC-троек выполнимо соотношение  .

Доказательство

В соответствии с УТВЕРЖДЕНИЕМ 1:

Для любых ABC-троек с условием  выполнимо соотношение:

В соответствии с УТВЕРЖДЕНИЕМ 3:

Для любых ABC-троек с условием  выполнимо соотношение:

Из истинности этих утверждений следует истинность АВС-ТЕОРЕМЫ 2: для любых ABC-троек выполнимо соотношение:

что и требовалось доказать.

Отметим большой научный потенциал АВС-ТЕОРЕМЫ 2. Покажем, как на основе данной теоремы можно доказать Последнюю (Великую) теорему Ферма. Напомним её формулировку: не существует отличных от нуля целых чисел , , , для которых имеет место равенство , где  [4, с. 7].

Рассмотрим доказательство Последней теоремы Ферма. Предварительно докажем такое утверждение: не существует отличных от нуля натуральных чисел , , , для которых имеет место равенство , где .

Докажем это утверждение от «противного», а именно: предположим, что существуют отличные от нуля натуральные числа , , , для которых имеет место равенство , где . Обозначим , , . С этими обозначениями соотношение  представится так:

Из соотношения (14) следует: . Таким образом, получено противоречие с нашим предположением. Следовательно, предположение является ложным. В силу закона противоречия это означает, что не существует отличных от нуля натуральных чисел , , , для которых имеет место равенство , где , что и требовалось доказать.

Согласно неравенству (14), число  может быть равно , , . Известно, что Последняя (Великая) теорема Ферма доказана

- для  Эйлером [4, с. 31–34], [5], [6, С. 57–60];

- для  самим Ферма [4, с. 27–30], [6, с. 22–24];

- для  Дирихле и Лежандром [5, с. 85–93].

Следовательно, из истинности соотношения (14) и доказательств Последней теоремы Ферма для , ,  следует её истинность для любого .

Заключительная часть

Таким образом, в данной статье (возможно, впервые в мире) доказано:

1. АВС-ТЕОРЕМОЙ 1: Любое равенство , где ,  влечёт выполнимость соотношения , в котором величина  при  зависит от чисел . Это является альтернативой ABC-гипотезе Остерле-Массера.
2. АВС-ТЕОРЕМОЙ 2: Для любых ABC-троек выполнимо соотношение . Это является альтернативой явному (explicit) варианту ABC-гипотезы Остерле-Массера.

Список литературы:

1. Конрад К. Что такое АВС-гипотеза? Интернет-лекция К. Конрада [Электронный ресурс]. – Режим доступа:  https://mccme.ru/dubna/2013/notes/kconrad-lecture1.pdf (дата обращения: 13.05.2025)
2. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Математические заметки. – 2007. – № 82:3. – С. 395–400.
3. Орлов Д.О. АВС-гипотеза и её следствия. Интернет-лекция академика РАН Орлова Д.О. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://yandex.ru/video/preview/8595582349226526224 (дата обращения: 13.05.2025).
4. Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. – М.: Наука, 1978. – 128 с.
5. Эдвардс Г. [Edwards H.] Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с англ. В.Л. Калинина и А.И. Скопина / под ред. Б.Ф. Скубенко. – М.: Мир, 1980. – 486 с.
6. Oesterlé J. Nouvelles approches du «théoreme» de Fermat» // Astérisque. – 1988. – Тome 161–162. –Séminaire Bourbaki. 1988. – Еxp. № 694. – Pр. 165–186.