Статья опубликована в рамках: LXXXVIII Международной научно-практической конференции «Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований» (Россия, г. Новосибирск, 23 июня 2025 г.)
Наука: Математика
Секция: Математическая логика, алгебра и теория чисел
Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции
дипломов
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ АВС-РАВЕНСТВА
ON SOME PROPERTIES OF THE ABC-EQUALITY
Valery Agafontsev
Candidate of Technical Sciences, pensioner
Russia, Pskov
АННОТАЦИЯ
В статье исследуются некоторые свойства равенства , представленного ненулевыми натуральными числами
и называемого ABC-равенством. Новым является доказательство двух утверждений:
1) любое равенство , где
,
влечёт выполнимость соотношения
, в котором величина
зависит не только от
, но и от чисел
, что является альтернативой ABC-гипотезе Остерле-Массера;
2) любое равенство , где
,
влечёт выполнимость соотношения
, что является альтернативой явному (explicit) варианту ABC-гипотезы Остерле-Массера.
ABSTRACT
This article investigates some properties of the equality a+b=c represented by non-zero natural numbers and hence called abc- equality. The novelty of the article lies in the proof of two statements:
1) any equality , where
,
implies the satisfiability of the relation
, in which the value of
depends not only on
, but also from the numbers
which is an alternative to the ABC-conjecture Osterle-Masser;
2) any equality , where
,
implies the fulfillment of the relation
, which is an alternative to the explicit version of the ABC-conjecture Osterle-Masser.
Ключевые слова: ABC-тройка, ABC-гипотеза, гипотеза Остерле-Массера.
Keywords: ABC-triple, ABC- conjecture, Oesterle-Masser conjecture.
Вводная часть
Перед доказательством двух теорем для равенства вида , где
,
, рассмотрим понятие радикала
. Известно, что согласно основной теореме арифметики любое натуральное число
может быть разложено единственным образом на простые сомножители:
, (1)
где – простые сомножители,
– их повторяемость в числе
;
=[1, k].
В соответствии с [1]:
- радикалом числа
условились называть выражение вида:
(2)
то есть, радикал числа – это произведение первых степеней простых сомножителей числа
;
- (a, b, c)-тройкой условились называть три ненулевых взаимно простых целых числа
, удовлетворяющих равенству
.
В соответствии с [2] примем такое обозначение (a, b, c)-тройки: ABC-тройка.
Теоретико-доказательная часть
АВС-ТЕОРЕМА 1
Любое равенство , где
,
влечёт выполнимость соотношения
, в котором величина
при
зависит от чисел
.
Доказательство
Построим доказательство «от противного», а именно: предположим, что существует хотя бы одно равенство , где
,
, в соотношении
которого величина
при
не зависит от чисел
.
Введём такое представление числа :
В этом равенстве число дополняет сомножители радикала
до числа
. Поясним сказанное тремя примерами.
Пример 1. Для ABC-тройки ,
,
,
, следовательно,
.
Пример 2. Для ABC-тройки ,
,
,
, следовательно,
.
Пример 3. Для ABC-тройки ,
,
,
, следовательно,
.
Умножим правую часть равенства (3) на . Учитывая возможность случая
в равенстве
, получим:
Умножим правую часть соотношения (4) на . Получим строгое неравенство:
учитывающее, что из равенства , допускающего
, с необходимостью следует
.
Учитывая, что , неравенство (5) запишется так:
В правой части неравенства (6) два сомножителя: первый сомножитель – , второй –
. Увеличим второй сомножитель, сделав его равным
, где
– бόльшее нуля положительное действительное число. Тогда сохранение неравенства (6) обеспечится выполнением такого равенства:
где является некоторым положительным действительным числом.
Значит, неравенство (6) представится так:
Исходя из равенства (7),
Из представления числа в равенстве (3) равенство (9) запишется так:
Очевидно, в этом равенстве величина при
зависит от чисел
. Таким образом, получено противоречие предположению автора данной статьи. Следовательно, предположение является ложным. В силу закона противоречия это означает, что любое равенство
, где
,
влечёт выполнимость соотношения
, в котором величина
при
зависит от чисел
, что и требовалось доказать.
Проверим истинность АВС-ТЕОРЕМЫ 1. Возьмём три ABC-тройки:
,
,
; 2)
,
,
; 3)
,
,
Для них составим таблицу, в которую занесём значения , а также задаваемые значения
и вычисляемые в соответствии с выражениями (3) и (9) значения
и
.
Таблица 1.
Зависимость величины К
a |
b |
c |
rad(abc) |
kc |
ɛ |
K |
25 |
72 |
34 |
2·7·3 |
33 |
|
|
-″- |
-″- |
-″- |
-″- |
-″- |
|
|
37 |
44 |
34 |
37·2·11·3 |
-″- |
|
|
-″- |
-″- |
-″- |
-″- |
-″- |
|
|
17 |
26 |
34 |
17·2·3 |
-″- |
|
|
-″- |
-″- |
-″- |
-″- |
-″- |
|
|
Таблица 1 показывает, что величина при
зависит от чисел
.
Примечание. Отметим особенность АВС-ТЕОРЕМЫ 1: данная теорема никоим образом не доказывает АВС-гипотезу Остерле-Массера. Действительно, АВС-гипотеза Остерле-Массера по первоисточнику формулируется так [6, с. 169]:
«Pour tout , il existe
tel que
pour tout triplet
dʼentiers non nuls premiers entre eux vérifiant » [6].
В переводе на руccкий: «Для любого существует
такое, что
для любой тройки
взаимно простых, ненулевых, удовлетворяющих
» [6].
Следовательно, авторская формулировка ABC-гипотезы означает лишь некоторую зависимость величины от
и не более того. В частности, не указывается зависимость величины
от чисел
ABC-тройки.
Приведём формулировку АВС-гипотезы, следуя информации, полученной в результате прослушивания интернет-лекции [1]. Цитата: «Для каждого существует константа
, такая, что для всех ABC-троек
» [1].
Не уменьшая общности, запишем из вышеприведенного соотношения такое неравенство:
В ходе интернет-лекции [1] величина названа константой в том смысле, что в ABC-гипотезе Остерле-Массера
не зависит от чисел
. Величина
зависит лишь от
. При этом не определяется вид зависимости
от
. То же самое можно сказать и о величине
соотношения
из материала интернет-лекции [3].
Отметим, что в отличие от ABC-гипотезы Остерле-Массера АВС-ТЕОРЕМА 1 доказывает зависимость величины от чисел
. Более того, соотношением
определён вид зависимости величины
при
от чисел
.
УТВЕРЖДЕНИЕ 1
Для любых ABC-троек с условием выполнимо соотношение
.
Доказательство
Для доказательства составим таблицу 2, в которую запишем все ABC-тройки с условием и соответствующие им значения
.
Таблица 2.
Все ABC-тройки с условием и соответствующие им значения
a |
b |
c |
rad(abc) |
1 |
2 |
3 |
1·2·3=6 |
3 |
1 |
4 |
3·1·2=6 |
4 |
1 |
5 |
2·1·5=10 |
3 |
2 |
5 |
3·2·5=30 |
1 |
5 |
6 |
1·5·6=30 |
1 |
6 |
7 |
1·6·7=42 |
2 |
5 |
7 |
2·5·7=70 |
3 |
4 |
7 |
3·2·7=42 |
1 |
7 |
8 |
1·7·2=14 |
3 |
5 |
8 |
3·5·2=30 |
1 |
8 |
9 |
1·2·3=6 |
2 |
7 |
9 |
2·7·3=42 |
4 |
5 |
9 |
2·5·3=30 |
Из таблицы 3 следует выполнимость соотношения для любых ABC-троек с условием
, что и требовалось доказать.
УТВЕРЖДЕНИЕ 2
Для любых ABC-троек с условием наименьшее значение
.
Доказательство
Докажем УТВЕРЖДЕНИЕ 2 «от противного», а именно: предположим, что среди любых ABC-троек с условием существует хотя бы одна с ещё мéньшим значением радикала, то есть,
. В соответствии с основной теоремой арифметики число 30 единственным способом может быть представлено тремя простыми сомножителями: 30=2·3·5. Тогда, исходя из нашего предположения, запишем такое соотношение:
Докажем невыполнимость соотношения (11). Возьмём три числа: 1) , 2)
, 3)
; они удовлетворяют условию
.
Для первого числа ; следовательно, соотношение (11) превратится в неравенство:
Но такого неравенства для любых ABC-троек быть не может! Действительно, наименьшая ABC-тройка определяется равенством . Для неё
, что противоречит неравенству (12), так как не существует ни одной ABC-тройки, у которой
.
Для второго числа, взятого из ABC-тройки, у которой ,
,
,
,
,
. Следовательно, соотношение (11) превратится в неравенство
, чего быть не может.
Для третьего числа, взятого из ABC-тройки, у которой ,
,
,
,
,
. Следовательно, соотношение (11) превратится в неравенство
, чего быть не может.
Таким образом, наше предположение о существовании хотя бы одной ABC-тройки с ещё мéньшим значением радикала, чем , приводит к противоречию, проявившемуся выражениями ″в рамочке″. Следовательно, это предположение является ложным. В силу закона противоречия это означает, что для любых ABC-троек с условием
наименьшее значение
, что и требовалось доказать.
УТВЕРЖДЕНИЕ 3
Для любых ABC-троек с условием выполнимо соотношение
.
Доказательство
Построим доказательство УТВЕРЖДЕНИЯ 3 «от противного», а именно: предположим, что среди любых ABC-троек с условием существует хотя бы одна, для которой выполняется соотношение:
Исходя из УТВЕРЖДЕНИЯ 2, для любых ABC-троек с условием наименьшее значение
, значит, для любых ABC-троек с условием
наименьшее значение
. Тогда из соотношения (13) для любой ABC-тройки с условием
должно быть
. Следовательно, исходя из нашего предположения, не существует ABC-тройки с условием
, в которой число
от
до
. Однако в действительности такая ABC-тройка с условием
и числом
от
до
существует, её можно легко указать. Таким образом, получено противоречие по отношению авторского предположения. Следовательно, предположение является ложным. В силу закона противоречия это означает, что для любых ABC-троек с условием
выполнимо соотношение
, что и требовалось доказать.
АВС-ТЕОРЕМА 2
Для любых ABC-троек выполнимо соотношение .
Доказательство
В соответствии с УТВЕРЖДЕНИЕМ 1:
Для любых ABC-троек с условием выполнимо соотношение:
В соответствии с УТВЕРЖДЕНИЕМ 3:
Для любых ABC-троек с условием выполнимо соотношение:
Из истинности этих утверждений следует истинность АВС-ТЕОРЕМЫ 2: для любых ABC-троек выполнимо соотношение:
что и требовалось доказать.
Отметим большой научный потенциал АВС-ТЕОРЕМЫ 2. Покажем, как на основе данной теоремы можно доказать Последнюю (Великую) теорему Ферма. Напомним её формулировку: не существует отличных от нуля целых чисел ,
,
, для которых имеет место равенство
, где
[4, с. 7].
Рассмотрим доказательство Последней теоремы Ферма. Предварительно докажем такое утверждение: не существует отличных от нуля натуральных чисел ,
,
, для которых имеет место равенство
, где
.
Докажем это утверждение от «противного», а именно: предположим, что существуют отличные от нуля натуральные числа ,
,
, для которых имеет место равенство
, где
. Обозначим
,
,
. С этими обозначениями соотношение
представится так:
Из соотношения (14) следует: . Таким образом, получено противоречие с нашим предположением. Следовательно, предположение является ложным. В силу закона противоречия это означает, что не существует отличных от нуля натуральных чисел
,
,
, для которых имеет место равенство
, где
, что и требовалось доказать.
Согласно неравенству (14), число может быть равно
,
,
. Известно, что Последняя (Великая) теорема Ферма доказана
- для Эйлером [4, с. 31–34], [5], [6, С. 57–60];
- для самим Ферма [4, с. 27–30], [6, с. 22–24];
- для Дирихле и Лежандром [5, с. 85–93].
Следовательно, из истинности соотношения (14) и доказательств Последней теоремы Ферма для ,
,
следует её истинность для любого
.
Заключительная часть
Таким образом, в данной статье (возможно, впервые в мире) доказано:
- АВС-ТЕОРЕМОЙ 1: Любое равенство
, где
,
влечёт выполнимость соотношения
, в котором величина
при
зависит от чисел
. Это является альтернативой ABC-гипотезе Остерле-Массера.
- АВС-ТЕОРЕМОЙ 2: Для любых ABC-троек выполнимо соотношение
. Это является альтернативой явному (explicit) варианту ABC-гипотезы Остерле-Массера.
Список литературы:
- Конрад К. Что такое АВС-гипотеза? Интернет-лекция К. Конрада [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://mccme.ru/dubna/2013/notes/kconrad-lecture1.pdf (дата обращения: 13.05.2025)
- Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Математические заметки. – 2007. – № 82:3. – С. 395–400.
- Орлов Д.О. АВС-гипотеза и её следствия. Интернет-лекция академика РАН Орлова Д.О. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://yandex.ru/video/preview/8595582349226526224 (дата обращения: 13.05.2025).
- Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. – М.: Наука, 1978. – 128 с.
- Эдвардс Г. [Edwards H.] Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с англ. В.Л. Калинина и А.И. Скопина / под ред. Б.Ф. Скубенко. – М.: Мир, 1980. – 486 с.
- Oesterlé J. Nouvelles approches du «théoreme» de Fermat» // Astérisque. – 1988. – Тome 161–162. –Séminaire Bourbaki. 1988. – Еxp. № 694. – Pр. 165–186.
дипломов
Оставить комментарий