ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АВС-ГИПОТЕЗЫ

​PROOF OF THE ABC- CONGECTURE

Valery Agafontsev

Candidate of Science, pensioner

Russia, Pskov

С благодарностью моему оппоненту,

д-р физ-матем. наук, профессору РАН М.А. Королёву

АННОТАЦИЯ

В статье представлено доказательство гипотезы Остерле-Массера, часто называемой abc-гипотезой. Данное доказательство, в отличие от известного, не основано на межуниверсальной теории Тейхмюллера. Новизна представляемого доказательства состоит в особенностях записи числа  в целочисленном равенстве  и в доказательстве явного (explicit) варианта abc-гипотезы.

ABSTRACT

The article presents a proof of the Oesterle-Masser conjecture, often called the abc-conjecture. This proof, unlike the well-known one, is not based on the interuniversal Teichmüller theory. The novelty of the presented proof consists in the peculiarities of the notation of the number  in the integer equality  and in the proof of the explicit version of the abc-conjecture.

Ключевые слова: гипотеза Остерле-Массера, abc-гипотеза, доказательство abc-гипотезы.

Keywords: Oesterle-Masser conjecture, abc- conjecture, proof of abc- conjecture.

Вводная часть

ABC-гипотеза была сформулирована в 1985 году английским математиком Дэвидом Массером (David Masser) и в 1988 году французским математиком Джозефом Остерле (Joseph Oesterlé). Существует несколько эквивалентных её формулировок. Воспользуемся формулировкой, указанной в работе [1] на странице 169: Pour tout , il existe  tel que

 pour tout triplet  

dʼentiers non nuls premiers entre eux vérifiant .

В переводе на руccкий: Для любого  существует  такое, что  для любой тройки  взаимно простых ненулевых, удовлетворяющих .

Поясним, почему дана формулировка abc-гипотезы по первоисточнику. Часто в различных источниках приводится её формулировка с нюансами. Например, в интернет-лекции [2] дана такая формулировка: Для каждого  существует константа  такая, что для всех ABC-троек

)

Нюанс в том, что в интернет-лекции [2] в этом выражении число  названо константой, что не согласуется с существующим определением константы. Подобная ситуация и в интернет-лекции [3], где в выражении

число  названо константой. В статье [4] доказано, что названные числа не могут быть числовыми константами, именно поэтому пришлось обратиться за формулировкой abc-гипотезы к первоисточнику.

В 2012 году профессор математики Киотского университета (Япония) Шиничи Мотидзуки (Shinichi Mochizuki) анонсировал доказательство abc-гипотезы, представленное им в интернете в виде четырёх препринтов общим объёмом около 500 страниц. Доказательство Мотидзуки строится на межуниверсальной теории Тейхмюллера. Сама теория связана с пространствами Тейхмюллера, а суть её межуниверсального варианта представлена в работе [5]. Следует отметить, что доказательство Мотидзуки не является бесспорным.

Теоретико-доказательная часть

Перед рассмотрением двух теорем, доказывающих abc-гипотезу, рассмотрим принятое понятие радикала . Известно, что согласно основной теореме арифметики любое натуральное число  может быть единственным образом разложено на простые сомножители:

,              (1)

где  – простые сомножители,  – их повторяемость в числе ; =[1, k].

Радикалом числа  условились называть выражение вида

              (2)

То есть, радикал числа  – это произведение первых степеней простых сомножителей числа . Очевидно, что  не может быть больше , то есть, всегда .

В соответствии с [1] abc-тройкой будем называть тройку ненулевых взаимно простых целых чисел , удовлетворяющих равенству .

Теоретико-доказательная часть

АВС-ТЕОРЕМА 1

Для каждого  существует такое число , что для любой abc-тройки выполняется соотношение .

Доказательство

Суть предлагаемого доказательства состоит в том, что для равенства

,                (3)

в котором  –любые положительные взаимно простые целые числа:

1. Вводится такое представление числа :

В этом равенстве число  дополняет сомножители радикала  до числа . Поясним сказанное тремя примерами.

Пример 1. Для abc-тройки  ,  ,  ,

 , следовательно, .

Пример 2. Для abc-тройки , , , , следовательно, .

Пример 3. Для abc-тройки , , ,  , следовательно, .

2. Правая часть равенства (4) умножается на , Учитывая возможность случая  в равенстве (3), приходим к соотношению

3. Правая часть соотношения (5) умножается на . Получаем строгое неравенство

учитывающее, что из равенства (3), допускающего , с необходимостью следует . С учётом равенства

неравенство (6) запишется так:

4. В правой части неравенства (7) два сомножителя: первый сомножитель – , второй – . Увеличим второй сомножитель, сделав его равным , где  – бόльшее нуля положительное действительное число. Тогда сохранение неравенства (7) обеспечится выполнением такого равенства:

в котором сомножитель  равен

Очевидно, что для каждого  существует своё число . Неравенство (7) с учётом соотношения (9) представится так:

что и требовалось доказать.

Примечание. В формулировке АВС-ТЕОРЕМЫ 1 величина  не названа константой в силу следующих причин. Известно, что константами называют величины, значение которых не меняется. Например: константой является число , равное , где - длина окружности, - радиус этой окружности. Число  называется константой потому, что оно не зависит от длины окружности и от её радиуса, то есть, является общим для всех окружностей.

Докажем, что в нашем случае  не может быть числовой константой, общей для всех abc-троек.

Доказательство

Из соотношения (10) следует:

Возьмём две abc-тройки: первая - с равенством ; вторая – с равенством . Для первой: ; для второй: .

Предположим, что существует величина , являющаяся числовой константой, общей для всех abc-троек.

Пусть числовая константа, общая для всех abc-троек, будет . Получили противоречие! Действительно, для второй abc-тройки соотношение (11) запишется так: . Очевидно, что при  возможны ситуации, когда левая часть данного неравенства (обозначим её через ) будет больше 1. Следовательно, получим , где , чего быть не может.

Пусть числовая константа, общая для всех abc-троек, будет . И вновь получаем противоречие! Действительно, для первой abc-тройки соотношение (11) запишется так: . Очевидно, что для каждого  левая часть данного неравенства (обозначим её через ) будет меньше 1. Следовательно, получим , где , чего быть не может.

ВЫВОД. Не может быть числовой константы , общей для всех abc-троек. В самой записи числа  показана его зависимость от .

УТВЕРЖДЕНИЕ 1

Для любых abc-троек, у которых , выполнимо соотношение

.

Доказательство

Для доказательства составим таблицу 1, в которую запишем все abc-тройки, у которых , и соответствующие им значения .

Таблица 1.

Из таблицы 1 следует выполнимость для любых abc-троек, у которых , соотношения , что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2

Для любых abc-троек, у которых , наименьшее значение .

Доказательство

 Построим доказательство УТВЕРЖДЕНИЯ 2 «от противного», а именно: предположим, что среди abc-троек, у которых , существует хотя бы одна с ещё мéньшим значением радикала, то есть, . В соответствии с основной теоремой арифметики число 30 единственным способом может быть представлено тремя простыми сомножителями: 30=2·3·5. Тогда, исходя из предположения, запишем такое соотношение:

Докажем невыполнимость соотношения (12). Возьмём три числа: 1) , 2) , 3) , удовлетворяющих условию .

Для первого числа ; следовательно, соотношение (12) превратится в неравенство:

Но такого неравенства для любых abc-троек быть не может! Действительно, наименьшая abc-тройка определяется равенством . Для неё , что противоречит неравенству (13), так как не существует ни одной abc-тройки, у которой .

Для второго числа, взятого из abc-тройки, у которой , , , , , . Следовательно, соотношение (12) превратится в неравенство , чего быть не может.

Для третьего числа, взятого из abc-тройки, у которой , , , , , . Следовательно, соотношение (12) превратится в неравенство , чего быть не может.

Таким образом, предположение о существовании хотя бы одной abc-тройки с ещё мéньшим значением радикала, чем , приводит к противоречию, проявившемуся выражениями ″в рамочке″. В силу закона логики – закона противоречия - это означает, что для любых abc-троек, у которых , наименьшее значение , что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3

Для любых abc-троек, у которых , выполнимо соотношение .

Доказательство

Построим доказательство УТВЕРЖДЕНИЯ 3 «от противного», а именно: предположим, что среди abc-троек, у которых , существует хотя бы одна abc-тройка, для которой выполнимо соотношение

В соответствии с УТВЕРЖДЕНИЕМ 2 для любых abc-троек, у которых , наименьшее значение . Следовательно, для любых abc-троек, у которых , значение  не может быть меньше . В соответствии с соотношением (14) число  в abc-тройках, у которых , также не может быть меньше . Следовательно, исходя из нашего предположения, не может существовать ни одной abc-тройки, у которой . В действительности такие abc-тройки существуют. Приведём примеры некоторых из них.

,  ,  ;

,  ,  ;

 , , .

Таким образом, получили противоречие нашему предположению. Следовательно, предположение является ложным. В силу закона логики – закона противоречия – это означает истинность УТВЕРЖДЕНИЯ 3 о том, что для любых abc-троек, у которых , выполнимо соотношение , что и требовалось доказать.

АВС-ТЕОРЕМА 2

Для любых abc-троек выполнимо соотношение  .

Доказательство

В соответствии с УТВЕРЖДЕНИЕМ 1:

Для любых abc-троек, у которых , выполнимо соотношение

 В соответствии с УТВЕРЖДЕНИЕМ 3:

Для любых abc-троек, у которых , выполнимо соотношение

Из истинности этих утверждений следует истинность АВС-ТЕОРЕМЫ 2: для любых abc-троек выполнимо соотношение , что и требовалось доказать.

Отметим большой научный потенциал АВС-ТЕОРЕМЫ 2. Нетрудно видеть, что эта теорема является доказательством явного (explicit) варианта abc-гипотезы. Базируясь на основе explicit варианта abc-гипотезы, в статье [6] показана возможность простого доказательства Последней теоремы Ферма и гипотезы Каталана.

Список литературы:

1. Joseph Oesterlé. Nouvelles approches du «théoreme» de Fermat. Asté-risque, tome 161-162 (1988), Séminaire Bourbaki, exp. №694. P. 165-186.
2. Конрад К. Что такое АВС-гипотеза? Электронный ресурс: лекция К. Конрада в сети Интернет, режим доступа: https://mccme.ru/dubna/2013/notes/kconrad-lecture1.pdf
3. Орлов Д.О. ABC-гипотеза и её следствия. Электронный ресурс: лекция академика РАН Д.О. Орлова в сети Интернет, режим доступа: https://yandex.ru/video/preview/8595582349226526224
4. Агафонцев В.В. АВС-теоремы для двух формулировок АВС-гипотезы // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXXV междунар. науч.-практ. конф. № 5(66).- Новосибирск: СибАК, 2024.- С. 43-50. Электронный ресурс: Научная статья в сети Интернет, режим доступа: https://sibac.info/conf/technology/66
5. S. Mochizuki, I. Fesenko, Y. Hoshi, A. Minamide and W. Porowski «Explicit estimates in interuniversal Teichmuller theory». Kodai math. J.45(2022), 175-236. Электронный ресурс: Научная статья в сети Интернет, режим достпа: https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/eeiut.pdf
6. Агафонцев В.В. АВС-гипотеза, её доказательство и некоторые следствия // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований/ Сб. ст. по материалам LXXXVI междунар. науч.-практ. конф. № 4(77). Новосибирск: Изд. ООО "СибАК", 2025.- С. 45-55.