АВС-ГИПОТЕЗА, ЕЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ

​ABC- CONJECTURE, ITS PROOF AND SOME IMPLICATIONS

Valery Agafontsev

Candidate of Science, pensioner,

Russia, Pskov

АННОТАЦИЯ

В статье представлено доказательство гипотезы Остерле-Массера, часто называемой abc-гипотезой. Данное доказательство, в отличие от известного, не основано на межуниверсальной теории Тейхмюллера. Новизна представляемого доказательства состоит в особенностях записи числа  в целочисленном равенстве   и в доказательстве явного (explicit) варианта abc-гипотезы.

ABSTRACT

This article presents a proof of the Oesterle-Masser conjecture, often called the abc- conjecture. This proof, unlike the well-known one, is not based on the interuniversal theory of Teichmüller. The novelty of the presented proof consists in the peculiarities of the notation of the number c in the integer equality  and in the proof of the explicit version of the abc- conjecture.

Ключевые слова: гипотеза Остерле-Массера, abc-гипотеза, доказательство abc-гипотезы.

Keywords: Oesterlé-Masser conjecture, abc-conjecture, proof of abc-conjecture.

Вводная часть

ABC-гипотеза была сформулирована в 1985 году английским математиком Дэвидом Массером (David Masser) [1] и в 1988 году французским математиком Джозефом Остерле (Joseph Oesterlé) [2]. Существует несколько эквивалентных формулировок abc-гипотезы. Остановимся на такой [2, С.169]: Pour tout , il existe  que  pour tout triplet  dʼentiers non nuls premiers entre eux vérifiant . В переводе с французского: Для любого  существует  такое, что  для любой тройки  взаимно простых ненулевых, удовлетворяющих .

Поясню, почему дана формулировка abc-гипотезы по первоисточнику. Часто в различных источниках приводится её формулировка с нюансами. Например, в интернет-лекции [5] дана такая формулировка: Для каждого  существует константа , такая, что для всех ABC-троек (. Нюанс в том, что в интернет-лекции [5] в этом выражении число  названо константой, что не согласуется с существующим определением константы. Подобная ситуация и в интернет-лекции [6], где в выражении  число  названо константой. В статье [16, С. 47] доказано, что названные числа не могут быть числовыми константами, именно поэтому пришлось обратиться за формулировкой abc-гипотезы к первоисточнику.

В 2012 году профессор математики Киотского университета (Япония) Шиничи Мотидзуки (Shinichi Mochizuki) анонсировал доказательство abc-гипотезы, представленное им в интернете в виде четырёх препринтов общим объёмом около 500 страниц. Доказательство Мотидзуки строится на межуниверсальной теории Тейхмюллера. Сама теория связана с пространствами Тейхмюллера, а суть её межуниверсального варианта представлена в работе [3]. Следует отметить, что доказательство Мотидзуки не является бесспорным.

Теоретико-доказательная часть

Рассмотрим abc-гипотезу, её доказательство и некоторые следствия.

Определим используемое в формулировке abc-гипотезы понятие радикала . Известно, что согласно основной теореме арифметики [4, С. 15-16] любое натуральное число  может быть единственным образом разложено на простые сомножители:

,              (1)

где  простые сомножители,  – их повторяемость в числе ; =[1, k].

Радикалом  числа  условились называть выражение вида

              (2)

То есть, радикал числа  – это произведение первых степеней простых сомножителей числа . Очевидно, что  не может быть больше , то есть, всегда .

Определение: под понятием ″abc-тройка″ будем понимать три ненулевых положительных взаимно простых целых числа , удовлетворяющих равенству .

АВС-ТЕОРЕМА 1

Для каждого  существует такое число , что для любой abc-тройки выполняется соотношение .

Доказательство

Суть предлагаемого доказательства состоит в том, что для равенства

,                (3)

где  –любые ненулевые положительные взаимно простые целые числа:

1. Вводится такое представление числа :

В этом равенстве число  дополняет сомножители радикала  до числа . Поясним сказанное тремя примерами.

Пример 1. Для abc-тройки , ,

 ,  , следовательно, .

Пример 2. Для abc-тройки ,  ,

 , , следовательно, .

Пример 3. Для abc-тройки , ,

,  , следовательно, .

2.  Правая часть равенства (4) умножается на . Учитывая возможность случая  в равенстве (3), приходим к соотношению

3.  Правая часть соотношения (5) умножается на . Получаем строгое неравенство

учитывающее, что из равенства (3), допускающего , с необходимостью следует .

С учётом равенства  неравенство (6) запишется так:

4.  В правой части неравенства (7) два сомножителя: первый сомножитель – , второй – . Увеличим второй сомножитель, сделав его равным , где  – бόльшее нуля положительное действительное число. Тогда сохранение неравенства (7) обеспечится выполнением такого равенства:

в котором сомножитель  равен

Очевидно, что для каждого  существует своё число . Неравенство (7) с учётом соотношения (8) представится так:

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1

Для любого числа  радикал abc-троек .

Доказательство

Построим доказательство УТВЕРЖДЕНИЯ 1 «от противного», а именно: предположим, что среди любых чисел  существует хотя бы одно число  с радикалом abc-троек  В соответствии с основной теоремой арифметики число  единственным способом может быть представлено тремя простыми сомножителями: . Тогда, исходя из предположения о существовании среди любых чисел  хотя бы одного с радикалом , запишем для этого числа такое соотношение:

Докажем невыполнимость (11). Возьмём число ; оно удовлетворяет условию . Так как , то неравенство (11) превратится в неравенство

Но такого неравенства для любых abc-троек быть не может! Действительно, наименьшая abc-тройка определяется равенством . Для неё , что противоречит неравенству (12), так как не существует ни одной abc-тройки, у которой . Таким образом, предположение о существовании хотя бы одного числа  с радикалом abc-троек  приводит к противоречию. Следовательно, для любого числа  радикал abc-троек , что и требовалось доказать.

Проверим истинность УТВЕРЖДЕНИЯ 1 на числовых примерах.

Так как число  -любое, , то положим , , .

Если , то при условии  могут быть только такие равенства: 1) , 2) . Для этих равенств радикалы равны ,  соответственно. То есть, для числа  радикал abc-троек .

Если , то при условии  могут быть только такие равенства: ,  , ,  ,  . Для этих равенств радикалы равны  соответственно. То есть, для числа  радикал abc-троек .

Если , то при условии  могут быть только такие равенства: , , , ,  ,  ,  , , . Для этих равенств радикалы равны  соответственно. То есть, для числа  радикал abc-троек .

Приведённые примеры подтверждают истинность УТВЕРЖДЕНИЯ 1.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2

Для любого числа  радикал abc-троек .

Доказательство

Построим доказательство УТВЕРЖДЕНИЯ 2 «от противного», а именно: предположим, что среди любых чисел  существует хотя бы одно число  с радикалом abc-троек, удовлетворяющим неравенству

Согласно УТВЕРЖДЕНИЮ 1 для любого числа  радикал abc-троек . Следовательно, .

Докажем невыполнимость неравенства (13). Возьмём число ; оно удовлетворяет условию . Тогда неравенство (13) превратится в такое неравенство

Но этого быть не может! Таким образом, предположение о существовании хотя бы одного числа  с радикалом abc-троек приводит к противоречию. Следовательно, для любого числа  радикал abc-троек , что и требовалось доказать.

АВС-ТЕОРЕМА 2

Для любых abc-троек выполнимо соотношение .

Доказательство

Для доказательства АВС-ТЕОРЕМЫ 2, учитывая доказанность УТВЕРЖДЕНИЯ 2, следует доказать, что для всех abc-троек, у которых , выполнимо соотношение . С этой целью составим таблицу, в которую для каждого числа , начиная от наименьшего , поместим abc-тройки и соответствующие им радикалы .

Таблица для доказательства

Из таблицы следует: для всех abc-троек, у которых , выполнимо соотношение . Учитывая доказанность УТВЕРЖДЕНИЯ 2, АВС-ТЕОРЕМА 2 доказана.

Отметим большой научный потенциал АВС-ТЕОРЕМЫ 2. Нетрудно видеть, что эта теорема является доказательством явного (explicit) варианта abc-гипотезы. Базируясь на основе explicit варианта abc-гипотезы, в интернет-лекциях [5] и [6] показана возможность простого доказательства Последней теоремы Ферма. Напомним её формулировку: ″не существует отличных от нуля целых чисел ,  и , для которых имеет место равенство , где ″ [7, С. 7].

Рассмотрим доказательство Последней теоремы Ферма. Предварительно докажем такое утверждение.

УТВЕРЖДЕНИЕ: Не существует отличных от нуля целых чисел ,  и , для которых имеет место равенство , где .

Докажем это утверждение «от противного», а именно: предположим, что существуют отличные от нуля целые числа ,  и , для которых имеет место равенство , где . Обозначим , , . С учётом принятых обозначений соотношение  представится так:

Из этого соотношения следует: . Таким образом, предположение о существовании отличных от нуля целых чисел ,  и , для которых имеет место равенство , где , приводит к противоречию. Следовательно, согласно сформулированному Аристотелем закону противоречия [10, С. 59], [11, С. 90], приходим к выводу о том, что не существует отличных от нуля целых чисел ,  и , для которых имеет место равенство , где .

Исходя из неравенства , число  может быть равно , , . Известно, что Последняя теорема Ферма доказана

- для  Эйлером [7, С. 31-34], [8], [9, С. 57-60]; доказательство справедливо для любых , кратных , в том числе для ;

- для  самим Ферма [7, С. 27-30], [9, С. 22-24];

- для  Дирихле и Лежандром [9, С. 85-93].

Следовательно, из истинности соотношения (15) и доказательств Последней теоремы Ферма для , ,  следует её истинность для любого .

Рассмотрим доказательство гипотезы Каталана на основе АВС-ТЕОРЕМЫ 2.

Историческая справка. Французский и бельгийский математик XIX столетия Эжен Шарль Каталан (Eugène-Charles Catalan) в 1844 году высказал такую гипотезу [12] (цитата): Deux nombres entiers consécutifs, autres que 8 et 9, ne peuvent étre des puissances exactes, autrement dit: lʼéquation , dans laquelle les inconnues sont entières et positives, nʼadmèt quʼune seule solution.

В переводе с французского: Два последовательных целых числа, отличных от 8 и 9, не могут быть точными значениями, другими словами: уравнение , в котором неизвестные целые и положительные числа, имеет только одно решение (конец цитаты). Как известно, таким решением является , , , . Других решений в целых числах для уравнения  не существует, что и является сутью гипотезы Каталана.

Отметим, что гипотеза Каталана доказана румынским математиком Предой Михайлеску (Preda Mihᾰilescu) в 2002 году и опубликована в 2004 году в его работе [13]. Доказательство очень сложное.

Докажем гипотезу Каталана с помощью АВС-ТЕОРЕМЫ 2.

ТЕОРЕМА

Уравнение  имеет только одно решение; оно в натуральных числах , , , .

Доказательство

«От противного», а именно: предположим, что уравнение  имеет несколько решений, представленных натуральными числами . Все решения приводят к целочисленным равенствам вида

Числа , ,  образуют abc-тройки, для которых в соответствии с АВС-ТЕОРЕМОЙ 2 выполняется такое соотношение:

Из равенства (16) следует: . Поэтому при  будет . Следовательно,

Соотношение (17) с учётом неравенства (18) запишется так:

Из соотношения (19) следует:  .

Для выполнения равенства (16) при условии  необходимо, чтобы мéньшее число  возводилось бы в бόльшую степень, чем число , то есть, должно быть

Действительно, из того, что  выполнение равенства (16) требует, чтобы показатель степени  для числа  был больше показателя  для числа .

Исходя из (20) и , возможны только такие два случая:

1.  и .
2.  и .

В первом случае уравнение  превращается в уравнение

В соответствии с доказательством Эйлера это уравнение имеет единственное целочисленное решение: ,  [14, C. 8-9].

Во втором случае уравнение  превращается в уравнение . Это уравнение соответствует уравнению Лебега. Французский математик XVIII-XIX столетия Виктор-Амеде Лебег (Victor-Amédée Lebesgue) доказал, что уравнение , в котором  любое нечётное число, не имеет целочисленных решений [15]. В соответствии с доказательством Лебега уравнение  также не будет иметь целочисленных решений.

Таким образом, получается, что уравнение  имеет только одно целочисленное решение - Эйлерово решение. Это противоречит предположению о том, что уравнение  имеет несколько решений, представленных натуральными числами . Следовательно, уравнение  имеет только одно решение; оно в натуральных числах , , , . Что и требовалось доказать.

Список литературы:

1. D.W. Masser- «Open problems», in Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory, London: Imperial College, 1985, Edited by Chen, W.W.L.
2. J. Oesterlé – «Nouvelles approches du «théoreme» de Fermat». Astérisque,  tome 161-162 (1988), Séminaire Bourbaki, exp. №694. P. 165-186.
3. S.Mochizuki, I.Fesenko, Y.Hoshi, A.Minamide and W.Porowski «Explicit estimates in inter-universal Teichmuller theory». Kodai math. J.45(2022), 175-236. Электронный ресурс: https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/eeiut.pdf  Д/обр- 30.03.2025.
4. Виноградов И.М. Основы теории чисел: Учебное пособие. 11-е изд.-СПб. Изд-во ʺЛаньʺ, 2006. -176 с.
5. Конрад К. ʺЧто такое АВС-гипотеза?ʺ Электронный ресурс: https://mccme.ru/dubna/2013/notes/kconrad-lecture1.pdf Д/обр- 30.03.2025.
6. Орлов Д.О. ʺabc-гипотеза и её следствияʺ. Интернет-лекция академика РАН Орлова Д.О. Электронный ресурс: https://yandex.ru/video/preview/8595582349226526224 Д/обр- 30.03.2025.
7. Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука, 1978.-128с.
8. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Матем. Заметки. 2007. №82:3. С. 395-400.
9. Эдвардс Г. [Edwards H.] Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с англ. В.Л. Калинина и А.И. Скопина / под ред. Б.Ф. Скубенко. М.: Мир, 1980. – 486 с.
10. Ивин А.А. Логика: Учебн. пособие для студентов вузов. М.: ООО «изд-во Оникс»: ООО «изд-во Мир и образование», 2008.- 336 с.
11. Маковельский А.О. История логики. М.: изд-во «Кучково поле», 2004.- 481 с.
12. E. Catalan, Note extradite d’une lettre adressere a` l’erditeur, J. reine angew. Math. 27 (1844), 192.
13. Preda Mihᾰilescu, Primary cyclotomic units and a proof of Catalanʼs conjecture, Journal für die reine und angewandte Mathematik , 2004 (572): 167-195. 
14. Сендеров В, Френкин Б. Гипотеза Каталана // Журнал ″КВАНТ″ №4, 2007, с. 64.
15. V.A. Lebesgue, Sur lʼimpossibilité en nombres entiers de lʼéquation . Nouvelles annales de mathématiques 1^re série, tome 9 (1850), p. 178-181.
16. Агафонцев В.В. АВС-теоремы для двух формулировок АВС-гипотезы // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXXV междунар. науч.-практ. конф. № 5(66).- Новосибирск: СибАК, 2024.- С. 43-50. Электронный ресурс: https://sibac.info/conf/technology/66/330498 Дата обр. 14.04.2025