ОТ УРАВНЕНИЯ ФЕРМА - КАТАЛАНА К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ГИПОТЕЗЫ БИЛА

​FROM FERMA-CATALAN EQUATION TO THE PROOF OF THE BEALʼS CONJECTURE

Valery Agafontsev

Candidate of Science, retired,

Russia, Pskov

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассмотрены случаи наличия и отсутствия решений уравнения Ферма-Каталана. Показан переход от случая отсутствия решений уравнения Ферма-Каталана к доказательству гипотезы Била.

ABSTRACT

In this article the cases of presence and absence of solutions of the Ferma-Catalan equation are considered. The transition from the case of the absence of solutions of the Ferma-Catalan equation to the proof of Beal's conjecture is shown.

Ключевые слова: уравнение Ферма-Каталана, гипотеза Била, доказательство гипотезы Била.

Keywords: Ferma-Catalan equation, Beal's hypothesis, proof of Beal's conjecture.

Вводная часть

В замечательной книге по истории математики [1] диофантово уравнение , где  – положительные целые числа, названо уравнением Ферма-Каталана [1; С. 414-415]. Не доказанная до настоящего времени гипотеза утверждает, что это уравнение имеет конечное число решений. В настоящее время известны десять его решений: 1) , 2) ,  3) , 4) , 5) , 6) , 7) , 8) , 9) , 10) . Условимся ниже о такой записи уравнения Ферма-Каталана: . Символика, принятая для записи этого уравнения, несёт такую смысловую нагрузку: - первая буква фамилии великого французского математика XVII-го столетия Пьера Ферма (Ferma); - первая буква фамилии известного математика XIX-го столетия Эжена Шарля Каталана (Kаталан); буква - первая буква английского слова Celebrities, что в переводе на русский означает – Знаменитые.

В статье [2, С. 16-19 ] разработан алгоритм и компьютерная программа на языке С⁺⁺, позволяющая по вводимым значениям взаимно простых чисел , , , основываясь на соотношении , находить в уравнении  значения чисел , , .

В статье [3, C. 26-27] представлен алгоритм поиска и его реализация на языке С⁺⁺, позволяющая по вводимому значению чисел  и  находить значения чисел , , , , удовлетворяющих уравнению Ферма-Каталана для .

В статье [4, C. 39-43] представлен алгоритм поиска и программа на языке С⁺⁺, позволяющая по вводимому значению чисел  и  находить значения чисел , , , , удовлетворяющих уравнению Ферма-Каталана для .

Докажем, что уравнение Ферма-Каталана не имеет решений в случае, когда , , .

Теоретико-доказательная часть

ЛЕММА

  Число , где , в С-ричной позиционной нумерации представимо равенством , в правой части которого содержится точно z нулей.

Доказательство

Между записью натурального числа  в С-ричной позиционной нумерации и его количественным эквивалентом устанавливается такое соответствие:

Записать некоторое число  в С-ричной позиционной нумерации означает определить коэффициенты  в разложении этого числа по степеням C и  выписать эти коэффициенты в соответствии с весами С-ричных разрядов.  Известно, что для целых чисел определение таких коэффициентов выполняется по следующему алгоритму: необходимо делить данное число  на основание С этой позиционной нумерации до тех пор, пока  полученный остаток не будет меньше С. При этом остаток от первого деления даст значение младшего (правого, ) С-ричного разряда, остаток от второго деления даст значение второго справа  С-ричного разряда и так далее. Следовательно, запись любого натурального числа  в С-нумерации представится так:

,

где в правой части данного выражения содержится точно  нулей.

Докажем лемму методом математической индукции.

Индукция по z.

База индукции. При  получаем . В правой части равенства один нуль, значит, база индукции есть.

Гипотеза индукции. Предположим, что при  в правой части равенства

будет точно k нулей.

Индукционный переход. Докажем, что наше утверждение будет верно для . Действительно,

То есть, число , где  в позиционной C-ричной нумерации представимо равенством , в правой части которого содержится точно  нулей, что и требовалось доказать. На примерах двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной нумераций покажем истинность утверждения леммы. Действительно:

2 = (10)₂;       2² = (100)₂;        2³ = (1000)₂

8 = (10)₈;       8² = (100)₈;        8³ = (1000)₈

16 = (10)₁₆;     16² = (100)₁₆;      16³ = (1000)₁₆

Очевидно, что в каждом равенстве количество нулей в правой части равно показателю степени левой его части.

ТЕОРЕМА 1

Необходимое и достаточное условие выполнения равенства

,

в котором , , ,  ̶  любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, , , , , представимо триадой равенств:

где ;  ℕ₀;  

Здесь и далее символом ℕ обозначены натуральные, то есть положительные целые числа без нуля. Символом ℕ₀ обозначены натуральные числа c нулём.

Доказательство

Запишем правую и левую части равенства   в C-ричной позиционной нумерации; получим:

где число нулей в правой части равенства (1) в соответствии с леммой равно точно z.

Из равенства (1) следует необходимое условие его выполнения. Такое условие заключается в том, что:

I. C-ричная запись каждого из чисел  и  в равенстве (1) должна содержать не более, чем z C-ричных разрядов. Действительно, правая часть равенства (1) представляет собой наименьшее целое C-ричное число, содержащее  разрядов, старший, -й, из которых имеет наименьшее ненулевое значение.  Поэтому, если хотя бы одно из чисел  или    будет представляться  C-ричными разрядами, то это сделает равенство (1) невыполнимым, так как его левая часть будет заведомо больше правой части. Следовательно, числа  и  в их C-ричной записи представимы не более, чем  C-ричными разрядами:

Учитывая позиционность C-ричной нумерации, числа  и   в их количественном эквиваленте представимы так:

Здесь ; . По условию , следовательно, исходя из равенства ,  и , поэтому , .

 II. В соответствии с равенством (1) поразрядные суммы C-ричных записей правой части равенств (2) должны удовлетворять таким соотношениям:

где  . Переходя к количественному эквиваленту равенств (4), получим:

Выполнение равенств (3), (5) является не только необходимым, но и достаточным условием выполнения равенства . Действительно, если предположить, что равенства (3), (5) выполняются и сложить левые и правые части равенств (3) соответственно, а также учесть равенство (5), то получим равенство , что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы 1

 Для выполнимого равенства , в котором , , -любые натуральные взаимно простые числа; , , , выполнимо соотношение , где , , .

Доказательство

По теореме 1, если выполняется равенство , в котором , ,  ̶ любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, , , , , то для чисел , ,  выполнимы  равенства (3) и (5), в которых  ,  ,  .  Сложим левые и правые части равенств (3) соответственно. Получим соотношение:

что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 2

Равенство , где ;    , , невыполнимо с любым числом , с которым выполнялись бы равенства ,  при условиях: ; ;  , , .

Доказательство

От обратного! А именно: предположим, что равенство

где ; , , выполнимо хотя бы с од-ним числом ,с которым выполнялись бы равенства ,  при условиях: ; ; , , . Из нашего предположения о выполнимости равенства (7) и равенств ,  следует выполнимость равенства  хотя бы с одним числом . В соответствии с теоремой 1 выполнимость этого равенства обеспечивается необходимым условием (5), заключающимся в том, что , где . Данное условие порождает такую цепочку (кортеж) из  равенств:

Отметим, что исходя из теоремы 1, цепочка из первых трёх равенств кортежа порождалась бы и гипотетическим равенством . Но такого равенства быть не может, так как по теореме Эйлера уравнение  не имеет решений в целых отличных от нуля числах [6, С. 34-38], [7, С. 57-60], [8]. Поэтому c любым числом  равенство  при , ,   z  невыполнимо. Следовательно, c любым числом  при условиях ; ; , ,  первые три равенства кортежа невыполнимы. Заметим, что число  входит и в другие равенства кортежа. Из этого следует невыполнимость всех равенств кортежа с любым числом . Получили противоречие, заключающееся в том, что с одной стороны, исходя из предположения выполнимости равенства (7), выполнимы все равенства кортежа хотя бы с одним числом  при условиях ; ; , , . С другой стороны при тех же условиях невыполнимы все равенства кортежа с любым числом . Следовательно, наше предположение о выполнимости равенства (7) хотя бы с одним числом  является ложным, так как через последовательность импликаций приводит к противоположному утверждению. В силу фундаментального закона логики – закона противоречия, сформулированного Аристотелем: «невозможно, чтобы противоречащие утверждения были истинными по отношению к одному и тому же» [9, С. 90], приходим к выводу об истинности заключения теоремы 2, то есть о том, что при заданных условиях равенство (7) невыполнимо. Следовательно, при тех же условиях выполнимо неравенство

что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 3

Равенство   в котором , при , ,   невыполнимо для любых взаимно простых чисел , , .

Доказательство

Предположим обратное, а именно: выполнимость равенства , в котором , при , ,  хотя бы для одного   набора чисел . В этом случае, в соответствии с соотношением (3) должна следовать выполнимость равенства (6):

Но правая часть этого равенства, исходя из неравенства (8)  не равна числу  для любых наборов чисел ;  . Следовательно, . Это означает, что исходное утверждение, основанное на предположении о выполнимости равенства  при  хотя бы для одного набора натуральных чисел , через последовательность импликаций привело к противоположному утверждению. В силу закона логики – закона противоречия – приходим к выводу о ложности нашего предположения и, следовательно, об истинности заключения теоремы 3, что и требовалось доказать.

ФОРМУЛИРОВКА ГИПОТЕЗЫ БИЛА

В 1997 году в статье [5] регентский профессор математики Университета Северного Техаса Дэниел Молдин (Daniel Mauldin) предложил такую гипотезу: Let ,  and  be positive integers with . If , then  and  have a common factor. В переводе на русский: Пусть ,  и  - целые положительные числа, причем  Если , то  и  имеют общий множитель. Техасский банкир и любитель математики Эндрю Бил (Andrew Beal) назначил премию за доказательство этой гипотезы, которая стала называться его именем. В настоящее время гипотеза Била зарегистрирована в Американском математическом обществе (American Mathematical Society) как Beal’s conjecture: If  , where  and  are positive integers and  and  are all greater than , then  and  must have a common prime factor. В переводе на русский: Если , где  и  - целые положительные числа, причём  и  больше 2, то  и  должны иметь общий простой множитель.

Доказательство гипотезы Била

В теореме 3 выполним такое переобозначение символов: символ  заменим на символ , символ  - на символ . Тогда теорема 3 будет представляться так:

ТЕОРЕМА 3

Равенство   в котором , при , ,   невыполнимо для любых взаимно простых чисел , , .

Доказательство теоремы 3 представлено выше.

ТЕОРЕМА 4

Равенство  в котором  при  , выполнимо для  составных натуральных чисел , имеющих общий делитель.

Доказательство

Покажем, что равенство , в котором все показатели степени больше 2  и ,  может быть порождено, например, одним из таких равенств:

в которых  и один из показателей степени  или  или  равен 2, а два других – больше 2.

Для случая (а): умножим левую и правую части равенства  на число ; для случая (b) – на число  . Получим:

Обозначим:

для a):

для b):

Для случая а): , так как  и . Для случая b): , так как  и . С учётом этих обозначений равенства a) и b) запишутся так:

Равенство (9) соответствует заключению теоремы 4, так как в нём  и числа   являются составными натуральными числами, имеющими общий делитель, что и требовалось доказать.

Приведём примеры, показывающие истинность теоремы 4. Рассмотрим равенства  и . Осуществляя процедуры, подобные приведённым выше, получим соответственно:

То есть, все показатели степени в этих равенствах больше 2.

УТВЕРЖДЕНИЕ

Если , где  и  - целые положительные числа, причём  и  больше 2, то  и  должны иметь общий простой множитель.

Доказательство

Сопоставим теоремы 3 и 4.

Теоремой 3 доказано: равенство  в котором , при  невыполнимо для любых взаимно простых чисел .

Теоремой 4 доказано: равенство  в котором , при  выполнимо для составных  натуральных чисел , имеющих общий делитель.

Из сопоставления теорем 3 и 4 в части их условия и заключения следует истинность утверждения, что и требовалось доказать.

Из выше изложенного следует, что представленную последовательность импликаций можно рассматривать как возможный подход к доказательству гипотезы Била (Beal’s conjecture).

Список литературы:

1. Стюарт Иэн [Ian Stewart]. Величайшие математические задачи. Пер. с англ. Н. Лисовой, М.: изд-во «Альпина нон-фикшн», 2016. -460 с.
2. Агафонцев В.В, Романова Е.С. О поиске решений экспоненциальных диофантовых уравнений Ферма-Каталана // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXXI междунар. науч.-практ. конф. №1(62).-Новосибирск: СибАК, 2024. -С.10-20. Электрон. ресурс - https://sibac.info/files/2024_01_29_technics/1(62).pdf
3. Агафонцев В.В, Стойчев А.Р., Федоров Д.А. О частном решении уравнения Ферма-Каталана (первый случай) // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXXII междунар. науч.-пр. конф. №2(63).-Новосибирск: СибАК, 2024.- С. 20-28. Электрон. ресурс - https://sibac.info/files/2024_02_26_technics/2(63).pdf
4. Агафонцев В.В, Федоров Д.А. О случаях наличия и отсутствия решения уравнения Ферма-Каталана //Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXXIV междунар. науч.-пр. конф. №4(65)-Новосибирск: СибАК, 2024.-С.37-50. Электрон. ресурс - https://sibac.info/files/2024_04_22_technics/4(65).pdf
5. Mauldin Daniel P. (1997) A Generalization of Fermatʼs Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem //Notices of the American Mathematical Society, 44, 1436-1439.
6. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. -М.: Наука, 1982.
7. Эдвардс Г [Edwards H.] Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с англ. В.Л. Калинина и А.И. Скопина / под ред. Б.Ф. Скубенко.- М.: Мир, 1980.
8. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Матем. Заметки. 2007. № 82:3. С. 395-400.
9. Маковельский А.О. История логики. М: изд. «Кучково поле», 2004.-480 с