АВС-ГИПОТЕЗА КАК СОВРЕМЕННАЯ ПРОБЛЕМА АЛГЕБРЫ

​THE ABC-HYPOTHESIS AS A MODERN PROBLEM OF ALGEBRA

Valery Agafontsev

Candidate of Science, retired,

Russia, Pskov

АННОТАЦИЯ

В данной статье излагается abc-гипотеза и её возможное доказательство. Доказательство построено на сочетании понятий элементарной теории чисел с понятиями abc-гипотезы.

ABSTRACT

This article states the abc-hypothesis and its possible proof. The proof is based on the combination of the concepts of elementary number theory with the concepts of abc-hypothesis.

Ключевые слова: abc-гипотеза, доказательство abc-гипотезы.

Keywords: abc-hypothesis, proof of abc-hypothesis.

Вводная часть

В 1988 году французский математик Джозеф Остерле (Joseph Oesterlé) сформулировал такую гипотезу [1, С. 169]: Conjecture abc: Pour tout , il existe  que  pour tout triplet  dʼentiers non nuls premiers entre eux vérifiant . В переводе на русский: Гипотеза abc: Для любого  существует  такое, что  для любой тройки  взаимно простых ненулевых, удовлетворяющих  .

Формулировке гипотезы предшествовали такие слова: “La conjecture  est née dʼune discussion entre Masser et lʼauteur de cet exposé en 1985ˮ; в переводе на русский: “Гипотеза abc возникла в результате дискуссии между Массером и автором этой статьи в 1985 годуˮ. Дэвид Массер (David Masser) – английский математик. Часто abc-гипотезу называют гипотезой Остерле-Массера.

В 2012 году профессор математики Киотского университета (Япония) Шиничи Мотидзуки (Shinichi Mochizuki) анонсировал доказательство abc-гипотезы, представленное им в интернете в виде четырёх препринтов общим объёмом около 500 страниц. Доказательство Мотидзуки строится на межуниверсальной теории Тейхмюллера. Сама теория связана с пространствами Тейхмюллера, а суть её межуниверсального варианта представлена в работе [2]. Следует отметить, что доказательство Мотидзуки не является бесспорным.

Рассмотрим abc-гипотезу и её возможное доказательство, построенное на сочетании понятий элементарной теории чисел с понятиями abc-гипотезы.

Определим понятие элементарной теории чисел, используемое в доказательстве abc-гипотезы [3, С. 15-16]: любое натуральное число  может быть единственным образом разложено на простые сомножители:

,              (1)

где  простые сомножители,  – их повторяемость в числе ; =[1, k].

Напомним понятия АВС-гипотезы:

1. В соответствии с [4] и [5] радикалом  числа  будем называть выражение вида

              (2)

То есть, радикал числа  – это произведение первых степей простых сомножителей числа . Очевидно, что  не может быть больше , то есть, всегда .

2) В соответствии с [1] abc-тройкой будем называть тройку положительных целых чисел , удовлетворяющих равенству  и имеющих НОД .    

3) В соответствии с [4] и [5] для abc-тройки определим понятие радикала , как произведение радикалов чисел , то есть

Примеры.

1. Рассмотрим равенство 2. Будем считать , , . Найдём для этого равенства .

В данном случае

2. Рассмотрим равенство . Будем считать , , .  Найдём для этого равенства .

В этом случае

В интернет-лекции [4] К. Конрада abc-гипотеза представлена в такой формулировке: Для каждого  существует константа  такая, что для всех abc-троек (a, b, c), . Нетрудно заметить отличия этой формулировки от формулировки Д. Остерле [1, С. 169]. Одно из отличий состоит в том, что в формулировке Д. Остерле величина  не названа константой, как это делается для величины  в интернет-лекциях К. Конрада [4] и Д. Орлова [5]. Далее будет показано, что это имеет важное значение.

Теоретико-доказательная часть

АВС-ТЕОРЕМА 1

Для каждого  существует такое число , что для любой abc-тройки  выполняется соотношение .

Доказательство

Суть предлагаемого доказательства состоит в том, что для равенства

,                (4)

в котором  –любые положительные взаимно простые целые числа:

1. Вводится такое представление числа :

В этом равенстве число  дополняет сомножители радикала  до числа . Поясним сказанное тремя примерами.

Пример 1. Имеется равенство . В нём , , следовательно, .

Пример 2. Имеется равенство . В нём , в соответствии с (2) , следовательно, .

Пример 3. Имеется равенство . В нём ; , следовательно, .

2. Правая часть равенства (5) умножается на , исходя из не нарушающего общность предположения о том, что . Учитывая возможность , приходим к соотношению

3. Правая часть соотношения (6) умножается на . Получаем строгое неравенство

​

учитывающее, что из равенства (4), допускающего , с необходимостью следует . С учётом равенства (3) неравенство (7) запишется так:

4. В правой части неравенства (8) два сомножителя: первый сомножитель – , второй – . Увеличим второй сомножитель, сделав его равным , где  – бόльшее нуля положительное действительное число. Тогда сохранение неравенства (8) обеспечится выполнением такого равенства:

в котором сомножитель  равен

Очевидно, что для каждого  существует своё число . Неравенство (8) с учётом соотношения (9) представится так:

что и требовалось доказать.

В статье [6] на конкретных примерах показано, что соотношение (11) является общим как для неравенств вида , так и для неравенств вида .

Примечание. В формулировке АВС-теоремы 1 величина  не названа константой в силу следующих причин. Известно, что константами называют величины, значение которых не меняется. Например: константой является число , равное , где - длина окружности, - радиус этой окружности. Число  называется константой потому, что оно не зависит от длины окружности и от её радиуса, то есть, является общим для всех окружностей.

Докажем, что в нашем случае  не может быть числовой константой, общей для всех abc-троек.

Доказательство

Из соотношения (11) следует:

Возьмём две abc-тройки: первая - с равенством ; вторая – с равенством . Для первой: ; для второй: .

Предположим, что существует величина , являющаяся числовой константой, общей для всех abc-троек.

Пусть числовая константа, общая для всех abc-троек, будет . Получили противоречие! Действительно, для второй abc-тройки соотношение (12) запишется так: . Очевидно, что при  возможны ситуации, когда левая часть данного неравенства будет больше 1. Следовательно, получим , где , чего быть не может.

Пусть числовая константа, общая для всех abc-троек, будет . И вновь получаем противоречие! Действительно, для первой abc-тройки соотношение (12) запишется так: . Очевидно, что для каждого  левая часть данного неравенства будет меньше 1. Следовательно, получим , где , чего быть не может.

ВЫВОД. Не может быть числовой константы , общей для всех abc-троек. В самой записи числа  показана его зависимость от .

АВС-ТЕОРЕМА 2

Для любых abc-троек , удовлетворяющих равенству , выполнимо соотношение  .

Доказательство

Обратимся к равенству (10). Из него определим значение , при котором .

Тогда

Умножим правую и левую части равенства (14) на число .

Левая часть равенства (15) в соответствии с выражением (5) равна числу . Правая часть равенства (15) удовлетворяет соотношению

Из равенства (15) и соотношения (16) следует неравенство

Докажем, что в зависимости от abc-тройки  число  может быть как больше 1 (), так и не больше 1 (); при этом в обоих случаях выполняется соотношение .

Рассмотрим такие abc-тройки:

1) , , ,

2) , , ,

3) , , ,

4) , , ,

5) , , ,

6) , , ,

7) , , .

Результат исследования этих abc-троек сведём в таблицу.

Таблица 1.

Результат исследования

Обратим внимание на то, что для первых пяти abc-троек . Следовательно, для этих abc-троек выполнится неравенство .

Нетрудно убедиться в том, что для каждой abc-тройки из этих пяти выполнится неравенство . Например, для первой abc-тройки:

;

для пятой abc-тройки: .

Для шестой и седьмой abc-троек . Следовательно, в этом случае выполнится соотношение

То есть, в случаях, когда  и когда  выполняется соотношение , что и требовалось доказать.

В работе [7] приведён другой путь доказательства АВС-теоремы 2. Этот путь строится на доказательстве двух утверждений.

Утверждение 1

Любое целое число , бόльшее , порождает равенства , где , , радикалы которых . [7, С. 17-18]

Следствие из утверждения 1

Любое целое число , бόльшее , порождает равенства , где , , для которых . [7, С. 19]

Утверждение 2

Для любого целого числа  из равенства , где , , выполнимо неравенство . [7, С.19-20]

В заключение отметим большой научный потенциал АВС-теоремы 2, позволяющий доказать ряд проблемных задач теории чисел, сформулированных в статьях [7] и [8].

Список литературы:

1. Joseph Oesterlé. Nouvelles approches du «théoreme» de Fermat. Asté-risque, tome 161-162 (1988), Séminaire Bourbaki, exp. №694. P. 165-186.
2. S.Mochizuki, I.Fesenko, Y.Hoshi, A.Minamide and W.Porowski EXPLICIT ESTIMATES IN INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY. Kodai math. J.45(2022), 175-236. Электронный ресурс: https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/eeiut.pdf  Д/обр- 2.12.2024.
3. Виноградов И.М. Основы теории чисел: Учебное пособие. 11-е изд.-СПб. Изд-во ʺЛаньʺ, 2006. -176 с.
4. Конрад К. ʺЧто такое АВС-гипотеза?ʺ Электронный ресурс: https://mccme.ru/dubna/2013/notes/kconrad-lecture1.pdf Д/обр- 2.12.2024.
5. Орлов Д.О. ʺabc-гипотеза и её следствияʺ. Интернет-лекция академика РАН Орлова Д.О. Электронный ресурс: https://yandex.ru/video/preview/8595582349226526224 Д/обр- 2.12.2024.
6. Агафонцев В.В. АВС-гипотеза и её доказательство // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXII междунар. науч.-практ. конф. № 4(53).- Новосибирск: СибАК, 2023.- С. 17-24. Электронный ресурс: https://sibac.info/files/2023_04_24_technics/4(53).pdf Д/обр- 2.12.2024.
7. Агафонцев В.В. Об explicit-варианте АВС-гипотезы // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXVI междунар. науч.-практ. конф. № 8(57).- Новосибирск: СибАК, 2023.- С. 16-21. Электронный ресурс: https://sibac.info/files/2023_08_23_technics/8(57).pdf Д/обр- 2.12.2024.
8. Агафонцев В.В. Доказательство гипотезы Каталана с помощью АВС-теоремы // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXXX междунар. науч.-практ. конф. № 10(71).- Новосибирск: СибАК, 2024.- С. 36-40.  Электронный ресурс: https://sibac.info/files/2024_10_23_technics/10(71).pdf Д/обр- 3.12.2024.