АВС-ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ДВУХ ФОРМУЛИРОВОК АВС-ГИПОТЕЗЫ

​ABC-THEOREMS FOR TWO FORMULAS OF THE ABC-HYPOTHESIS

Valery Agafontsev

Candidate of Science, retired,

Russia, Pskov

АННОТАЦИЯ

В данной статье излагается доказательство двух АВС-теорем для АВС-гипотезы, представленной в виде соотношений  и  . Доказательство построено на сочетании понятий элементарной теории чисел с понятиями АВС-гипотезы.

ABSTRACT

This article presents a proof  of  two ABC theorems for the ABC hypothesis represented by two relations  and . The proof is based on combining concepts from elementary number theory with concepts from the ABC hypothesis.

Ключевые слова: АВС-гипотеза, explicit-вариант АВС-гипотезы, доказательство explicit-варианта АВС-гипотезы.

Keywords: ABC-hypothesis, explicit-variation  ABC-hypothesis, proof of explicit-variation ABC-hypothesis.

Вводная часть

Определим понятие элементарной теории чисел, используемое в доказательстве АВС-гипотезы [1; С. 15-16]: любое натуральное число  может быть единственным образом разложено на простые сомножители:

,              (1)

где  простые сомножители,  – их повторяемость в числе ; =[1, k].

Напомним понятия АВС-гипотезы:

1. В соответствии с [2] и [3] радикалом  числа  будем называть выражение вида

              (2)

То есть, радикал числа  – это произведение первых степей простых сомножителей числа . Очевидно,  не может быть больше , то есть всегда .

2) В соответствии с [2] и [4] АВС-тройкой будем называть тройку положительных целых чисел , удовлетворяющих равенству  и имеющих НОД . 

3) В соответствии с [2] и [3] для АВС-тройки определим понятие радикала  , как произведение радикалов чисел , то есть

Примеры.

1. Рассмотрим равенство 2. Будем считать . Найдём для этого равенства .

В данном случае

2. Рассмотрим равенство . Будем считать , , . Найдём для этого равенства .

В этом случае

В 1988 году французский математик Джозеф Остерле (Joseph Oesterlé) сформулировал такую гипотезу [4, С. 169]: Conjecture abc: Pour tout , il existe  que  pour tout triplet  dʼentiers non nuls premiers entre eux vérifiant .

В переводе на русский: Гипотеза abc: Для любого  существует , что  для любой тройки  взаимно простых ненулевых, удовлетворяющих .

Формулировке гипотезы предшествовали такие слова: “La conjecture abc est née dʼune discussion entre Masser et lʼauteur de cet exposé en 1985ˮ; в переводе на русский: “Гипотеза abc возникла в результате дискуссии между Массером и автором этой статьи в 1985 годуˮ. Дэвид Массер (David Masser) – английский математик. Часто АВС-гипотезу называют  гипотезой Остерле-Массера.

В интернет-лекции [2] К. Конрада АВС-гипотеза представлена в такой формулировке: Для каждого  существует константа  такая, что для всех АВС-троек (a, b, c), . Нетрудно заметить отличия этой формулировки от формулировки Д. Остерле [4, С. 169]. Одно из отличий состоит в том, что в формулировке Д. Остерле величина  не названа константой, как это делается для величины  в интернет-лекциях К. Конрада [2] и Д. Орлова [3]. Далее будет показано, что это имеет важное значение.

Теоретико-доказательная часть

АВС-ТЕОРЕМА 1

Для каждого  существует такое число , что для любой АВС-тройки  выполняется соотношение .

Доказательство

Суть предлагаемого доказательства состоит в том, что для равенства

,        (4)

в котором  –любые положительные взаимно простые целые числа:

1. Вводится такое представление числа :

В этом равенстве число  дополняет сомножители радикала  до числа . Поясним сказанное тремя примерами.

Пример 1. Имеется равенство . В нём , , следовательно, .

Пример 2. Имеется равенство . В нём , в соответствии с (2) , следовательно, .

Пример 3. Имеется равенство . В нём ; , следовательно, .

2. Правая часть равенства (5) умножается на , исходя из не нарушающего общность предположения о том, что . Учитывая возможность , приходим к соотношению

3. Правая часть соотношения (6) умножается на . Получаем строгое неравенство

учитывающее, что из равенства (4), допускающего , с необходимостью следует . С учётом равенства (3) неравенство (7) запишется так:

4. В правой части неравенства (8) два сомножителя: первый сомножитель – , второй – . Увеличим второй сомножитель, сделав его равным , где  – любое большее нуля положительное действительное число. Тогда сохранение неравенства (8) обеспечится выполнением такого равенства:

в котором сомножитель  равен

Очевидно, что для каждого положительного действительного числа  существует своё число . Неравенство (8) с учётом соотношения (9) представится так:

что и требовалось доказать.

В статье [5] на конкретных примерах показано, что соотношение (11) является общим как для неравенств вида , так и для неравенств вида .

Примечание. В формулировке АВС-теоремы 1 величина  не названа константой в силу следующих причин. Известно, что константами называют величины, значение которых не меняется. Например: константой является число, равное , где - длина окружности, - радиус этой окружности. Число  называется константой потому, что оно не зависит от длины окружности и её радиуса, то есть является общим для всех окружностей.

Докажем, что в нашем случае  не может быть числовой константой, общей для всех АВС-троек.

Доказательство

Из соотношения (11) следует:

 Возьмём две АВС-тройки: первая- , вторая- . Для первой: ; для второй: .

Предположим, что существует величина , являющаяся числовой константой, общей для всех АВС-троек.

Пусть числовая константа, общая для всех АВС-троек, будет . Получили противоречие! Действительно, для второй АВС-тройки соотношение (12) запишется так: . Очевидно, что при  возможны ситуации, когда левая часть данного неравенства будет больше 1. Следовательно, получим , где , чего быть не может.

Пусть числовая константа, общая для всех АВС-троек, будет . И вновь получаем противоречие! Действительно, для первой АВС-тройки соотношение (12) запишется так: . Очевидно, что для каждого  левая часть данного неравенства будет меньше 1. Следовательно, получим , где , чего быть не может.

ВЫВОД. Не может быть числовой константы , общей для всех АВС-троек. В самой записи числа  показана его зависимость от .

АВС-ТЕОРЕМА 2

 Для любых АВС-троек  выполнимо соотношение .

Доказательство

Обратимся к равенству (10). Из него определим значение , при котором .

Тогда

Умножим правую и левую части равенства (14) на число .

Левая часть равенства (15) в соответствии с выражением (5) равна числу . Правая часть равенства (15) удовлетворяет соотношению

Из равенства (15) и соотношения (16) следует неравенство

В соответствии с равенствами (9) и (11) число  может быть сколь угодно малым положительным числом. Исходя из этого, положим . Следовательно, неравенство (17) примет вид

Что и требовалось доказать.

В работе [6] приведён другой путь доказательства АВС-теоремы 2. Этот путь строится на доказательстве двух утверждений. Рассмотрим их.

Утверждение 1

Любое целое число , большее , порождает АВС-тройки , для которых .

Доказательство

От обратного! А именно: предположим, что существует хотя бы одна АВС-тройка , в которой  и . Из этого следует безусловная выполнимость неравенства

Но это неравенство невыполнимо для любых АВС-троек (, в которых  является простым числом. Действительно, если число  - простое, то в этом случае  и, следовательно, выполнится неравенство

,

противоречащее неравенству (19). Следовательно, наше предположение о существовании хотя бы одной АВС-тройки , в которой  и  является ложным. В силу закона логики - закона противоречия - это означает, что любое целое число , большее , порождает АВС-тройки , для которых , что и требовалось доказать.

Утверждение 2

Для любого целого числа  из равенства , где , , выполнимо неравенство .

Доказательство

В статье [7] рассмотрено полное множество АВС-троек , для которых . С несомненной очевидностью доказана выполнимость для них неравенства .

ВЫВОД: Из истинности утверждения 1 и утверждения 2 следует истинность теоремы 2, то есть, для любых АВС-троек выполнимо соотношение , что и требовалось доказать.

В заключение отметим большой научный потенциал АВС-теоремы 2, позволяющий доказать ряд проблемных задач теории чисел, сформулированных в статье [8].

Список литературы:

1. Виноградов И.М. Основы теории чисел: Учебное пособие. 11-е изд.-СПб. Изд-во ʺЛаньʺ, 2006. -176 с.
2. Конрад К. ʺЧто такое АВС-гипотеза?ʺ Электронный ресурс: https://mccme.ru/dubna/2013/notes/kconrad-lecture1.pdf. Д/обр- 20.04.2024.
3. Орлов Д.О. ʺabc-гипотеза и её следствияʺ. Интернет-лекция академика РАН Орлова Д.О. Электронный ресурс: https://yandex.ru/video/preview/5891271784642681767 Д/обр- 20.04.2024.
4. Joseph Oesterlé. Nouvelles approches du «théoreme» de Fermat. Asté-risque, tome 161-162 (1988), Séminaire Bourbaki, exp. №694. P. 165-186.
5. Агафонцев В.В. АВС-гипотеза и её доказательство // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXII междунар. науч.-практ. конф. № 4(53).- Новосибирск: СибАК, 2023.- С. 17-24. https://sibac.info/files/2023_04_24_technics/4(53).pdf. Д/обр- 20.04.2024.
6. Агафонцев В.В. Возвращаясь к explicit-варианту abc-гипотезы // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXVIII междунар. науч.-практ. конф.  № 10(59).- Новосибирск: СибАК, 2023.- С. 26-31. https://sibac.info/files/2023_10_23_technics/10(59).pdf. Д/обр- 20.04.2024.
7. Агафонцев В.В. Об explicit-варианте АВС-гипотезы // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXVI междунар. науч.-практ. конф. № 8(57).- Новосибирск: СибАК, 2023.- С. 16-21.  https://sibac.info/files/2023_08_23_technics/8(57).pdf. Д/обр- 20.04.2024.
8. Агафонцев В.В. О некоторых следствиях АВС-гипотезы в её explicit-варианте // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXIX междунар. науч.-практ. конф. № 11(60).- Новосибирск: СибАК, 2023.- С. 48-53.  https://sibac.info/files/2023_11_22_technics/11(60).pdf. Д/обр- 20.04.2024.