О СЛУЧАЯХ НАЛИЧИЯ И ОТСУТСТВИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ФЕРМА-КАТАЛАНА

​ON THE CASES OF PRESENCE AND ABSENCE OF A SOLUTION OF THE FERMA-CATALAN EQUATION

Valery Agafontsev

Candidate of Science, retired,

Russia, Pskov

Danila Fedorov

Student, Pskov State University College,

Russia, Pskov

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрен частный случай решения уравнения Ферма-Каталана

когда задаётся показатель степени , равный 2, и значение суммы  двух слагаемых  и . Ставится задача программного поиска значения каждого из этих слагаемых. Представлен алгоритм поиска и программа на языке С++, обеспечивающая верификацию алгоритма. Рассмотрен случай отсутствия решения, когда в уравнения Ферма-Каталана .

ABSTRACT

The article considers a special case of the solution of the Ferma-Catalan equation

when the exponent of degree , equal to 2, and the value of the sum  of two summands and  are given. The problem of program search for the value of each of these summands is posed. The search algorithm and a C++ program providing verification of the algorithm are presented. The case of no solution is considered, when in the Ferma-Catalan equation x>2, y>2, z>2 is considered.

Ключевые слова: уравнение Ферма-Каталана, частные случаи уравнения Ферма-Каталана.

Keywords: Ferma-Catalan equation, special cases of the Fermat-Catalan equation.

Предисловие

Авторы статьи выражают большую благодарность преподавателю колледжа ПсковГУ Ушарновой Татьяне Олеговне за её ценные рекомендации по разработке алгоритма и написанию программы на С++.

Вводная часть

Гипотеза Ферма-Каталана утверждает, что уравнение имеет конечное число решений , , , , ,  с различными тройками значений , , , где , ,  – натуральные взаимно простые числа, а , ,  – натуральные числа, удовлетворяющие соотношению  [1].

В работах [2] и [3] решение уравнения Ферма-Каталана представлено соотношением . В статье [2] разработан алгоритм и его реализация на языке С++, позволяющая для задаваемого , где ,  с помощью компьютерной программы определить значения  и .

Теоретико-доказательная часть

Рассмотрим алгоритм и программу его реализации на языке С++, позволяющую для задаваемого , где ,  с помощью компьютерной программы определить значения  и . Далее докажем, что уравнение Ферма-Каталана не имеет решений при , , z>2.

На рис. 1 представлен алгоритм поиска решения уравнения ; на рис. 2 – листинг программы на языке С++; на рис. 3-10 показаны скриншоты для случаев ; ; ; ; ; ; ; .

Ниже приведена программа на языке С++, реализующая данный алгоритм.

Рис. 2. Листинг программы на языке С++

Рисунок 3. Скриншот для случая

Рисунок 4. Скриншот для случая

Рисунок 5. Скриншот для случая

Рисунок 6. Скриншот для случая

Рисунок 7. Скриншот для случая

Рисунок 8. Скриншот для случая

Рисунок 9. Скриншот для случая

Рисунок 10. Скриншот для случая

В результате работы программы видно, что по задаваемому числовому значению  и  можно найти  и , в которых  и . В статье [3] показано, что компьютерной программой по задаваемым значениям ,  и , основываясь на соотношении , можно найти ,  и .

Докажем, что уравнение Ферма-Каталана не имеет решений в случае, когда , , .

Предварительно заметим, что символика, принятая для записи решения  уравнения Ферма-Каталана в данной статье, а также в статьях [2, С. 21] и [3, С. 12] несёт такую смысловую нагрузку: - первая буква фамилии великого математика XVII-го столетия Пьера Ферма (Ferma); - первая буква фамилии математика XIX-го столетия Эжена Шарля Каталана (Katalan). Буква - первая буква английского слова Greats в переводе на русский - Великие. Ниже мы будем исследовать выражение  в G-нумерации, то есть в системе счисления по основанию  (в русском прочтении –ʺгэʺ или ʺжеʺ). Для исключения неблагозвучного прочтения заменим символ  на символ , представляющий первую букву английского слова Celebrities в переводе на русский – Знаменитые.

ЛЕММА

 Число , где , в С-ричной позиционной нумерации представимо равенством , в правой части которого содержится точно z нулей.

Доказательство

Между записью натурального числа  в С-ричной позиционной нумерации и её количественным эквивалентом устанавливается такое соответствие:

Записать некоторое число  в С-ричной позиционной нумерации означает определить коэффициенты  в разложении этого числа по степеням C и выписать эти коэффициенты в соответствии с весами С-ричных разрядов. Известно, что для целых чисел определение таких коэффициентов выполняется по следующему алгоритму: необходимо делить данное число  на основание С этой позиционной нумерации до тех пор, пока полученный остаток не будет меньше С. При этом остаток от первого деления даст значение младшего (правого, ) С-ричного разряда, остаток от второго деления даст значение второго справа  С-ричного разряда и так далее. Следовательно, запись любого натурального числа  в С-нумерации представится так:

,

где в правой части данного выражения содержится точно  нулей.

Докажем лемму методом математической индукции.

Доказательство

 Индукция по z.

База индукции. При  получаем:

В правой части равенства один нуль, значит, база индукции есть.

Гипотеза индукции. Предположим, что при  в правой части равенства

будет точно k нулей.

Индукционный переход. Докажем, что утверждение будет верно для  Действительно,

То есть, число , где  в позиционной C-ричной нумерации представимо равенством , в правой части которого содержится точно  нулей, что и требовалось доказать.

На примерах двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной нумераций покажем истинность утверждения леммы. Действительно:

2 = (10)₂;  2² = (100)₂;  2³ = (1000)₂

8 = (10)₈;  8² = (100)₈;  8³ = (1000)₈

  16 = (10)₁₆;  16² = (100)₁₆;  16³ = (1000)₁₆

Очевидно, что в каждом равенстве количество нулей в правой части равно показателю степени левой его части.

ТЕОРЕМА 1

Необходимое и достаточное условие выполнения равенства

,

в котором , , и ,  ̶ любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, , , , , представимо триадой равенств:

где  ℕ₀ 

Здесь и далее символом ℕ обозначены натуральные, то есть положительные целые числа без нуля. Символом ℕ₀ обозначены натуральные числа c нулём.

Доказательство

Запишем правую и левую части равенства  в C-ричной позиционной нумерации; получим:

где число нулей в правой части равенства (1) в соответствии с леммой равно точно z.

Из равенства (1) следует необходимое условие его выполнения. Такое условие заключается в том, что:

I. C-ричная запись каждого из чисел  и  в равенстве (1) должна содержать не более, чем z C-ричных разрядов. Действительно, правая часть равенства (1) представляет собой наименьшее целое C-ричное число, содержащее  разрядов, старший, -й, из которых имеет наименьшее ненулевое значение. Поэтому, если хотя бы одно из чисел  или  будет представляться  C-ричными разрядами, то это сделает равенство (1) невыполнимым, так как его левая часть будет заведомо больше правой части. Следовательно, числа  и  в их C-ричной записи представимы не более, чем  C-ричными разрядами:

Учитывая позиционность C-ричной нумерации, числа  и  в их количественном эквиваленте представимы так:

Здесь ; . По условию , следовательно, исходя из равенства ,  и , поэтому , .

 II. В соответствии с равенством (1) поразрядные суммы C-ричных записей правой части равенств (2) должны удовлетворять таким соотношениям:

где . Переходя к количественному эквиваленту равенств (4), получим:

Выполнение равенств (3), (5) является не только необходимым, но и достаточным условием выполнения равенства . Действительно, если предположить, что равенства (3), (5) выполняются и сложить левые и правые части равенств (3) соответственно, а также учесть равенство (5), то получим равенство , что и требовалось доказать.

СЛЕДСТВИЕ

 Для выполнимого равенства , в котором , , -любые натуральные взаимно простые числа; , , , выполнимо соотношение , где , ,

Доказательство

По теореме 1, если выполняется равенство , в котором ,  и  ̶ любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, , , , , то для чисел ,  и  выполнимы равенства (3) и (5), в которых , , .

Сложим левые и правые части равенств (3) соответственно. Получим соотношение:

что и требовалось доказать.

Выполнение равенств (5) и (6) порождает такую цепочку (кортеж) равенств:

1.  ,
2.  ,
3.  ,
4.  

И так до показателя степени  числа . Отметим, что во всех равенствах кортежа стоит одно и то же число . Убедимся в этом на двух числовых примерах.

Рассмотрим равенство В соответствии с равенствами (3) и (5):

, , , ,

, , , ,

Нетрудно убедиться в выполнимости первых четырёх равенств кортежа.

Рассмотрим равенство В соответствии с равенствами (3) и (5):

, , ,

, , ,

Нетрудно убедиться в выполнимости первых трёх равенств кортежа. Отметим, что в рассмотренных примерах один из показателей  или  равен .

Докажем невыполнимость равенства (6) в том случае, когда в гипотетическом равенстве ; ; , , .

ТЕОРЕМА 2

Равенство  невыполнимо для любых наборов чисел ; 1, ,  с которыми выполнялись бы равенства ,  при условиях: ; ; , , .

Доказательство

От обратного! А именно: предположим выполнимость равенства

при заданных условиях хотя бы для некоторого одного набора чисел , где . В соответствии со следствием теоремы 1 числа  равенства (7) порождают цепочку (кортеж) из  равенств. В правой части равенств кортежа стоит число  в степени, возрастающей от 1 до . Этот кортеж из  равенств начинается со следующей цепочки равенств:

1. ,
2. ,
3. .

Но данные равенства при условиях , ,  невыполнимы для любых наборов чисел , , так как в противном случае в соответствии с теоремой 1 цепочка из этих первых трёх равенств кортежа порождалась бы и равенством . Но такое равенство невыполнимо для любых троек , так как по теореме Эйлера диофантово уравнение  не имеет решений в целых отличных от нуля числах [4, С. 34-38], [5, С. 57-60], [6]. Несуществование числа  при условиях , , , ведущее к невыполнимости первых трёх равенств кортежа, означает невыполнимость всех  равенств кортежа. Следовательно, предположение о выполнимости равенства (7) для некоторого одного набора чисел , с которым выполнялись бы равенства ,  при условиях , , , , , является ложным, так как через последовательность импликаций приводит к противоположному утверждению, заключающемуся в том, что равенство (7) при тех же условиях невыполнимо для любых наборов чисел , где . В силу фундаментального закона логики – закона противоречия, сформулированного Аристотелем: «невозможно, чтобы противоречащие утверждения были истинными по отношению к одному и тому же» [7, С. 90], приходим к выводу об истинности заключения теоремы 2, то есть о том, что при заданных условиях равенство (7) невыполнимо. Следовательно, при тех же условиях выполнимо неравенство

что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 3

Равенство  в котором , при , ,  невыполнимо для любых взаимно простых чисел , , .

Доказательство

Предположим обратное, а именно: выполнимость равенства , в котором , при , ,  хотя бы для одного набора чисел . В этом случае, в соответствии с соотношениями (3) должна следовать выполнимость равенства (6):

Но правая часть этого равенства, исходя из неравенства (8) в соответствии с теоремой 2 не равна числу  для любых наборов чисел ; . Следовательно, . Это означает, что исходное утверждение, основанное на предположении о выполнимости равенства   при  хотя бы для одного набора натуральных чисел , через последовательность импликаций привело к противоположному утверждению. В силу закона логики – закона противоречия – приходим к выводу о ложности нашего предположения и, следовательно, об истинности заключения теоремы 3, что и требовалось доказать.

Список литературы:

1. Электронный ресурс -https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%E2%80%93Catalan_conjecture. Дата обращения: 4.04.2024.
2. Агафонцев В.В., Стойчев А.Р., Федоров Д.А. О частном решении уравнения Ферма-Каталана (первый случай) // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXXII междунар. науч.-практ. конф. №2(63).-Новосибирск: СибАК, 2024.- С. 20-28. Электронный ресурс - https://sibac.info/conf/technology/63/320829 (дата обращения - 4.04.2024).
3. Агафонцев В.В., Романова Е.С. О поиске решений экспоненциальных диофантовых уравнений Ферма-Каталана // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXXI междунар. науч.-практ. конф. №1(62).-Новосибирск: СибАК, 2024.- С. 10-20.
4. Электронный ресурс - https://sibac.info/conf/technology/62/318194 (дата обращения - 4.04.2024)
4. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука, 1982. – 242 с.
5. Эдвардс Г. [Edwards H.] Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с англ. В.Л. Калинина и А.И. Скопина / под ред. Б.Ф. Скубенко. М.: Мир, 1980. – 486 с.
6. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Матем. Заметки. 2007. №82:3. С. 395-400.
7. Маковельский А.О. История логики. М.: изд-во «Кучково поле», 2004.- 480 с.