О ЧАСТНОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ФЕРМА-КАТАЛАНА (ПЕР-ВЫЙ СЛУЧАЙ)

​ON A PARTIAL SOLUTION OF THE FERMA-CATALAN EQUATION (FIRST CASE)

Valery Agafontsev

Candidate of Science, retired,

Russia, Pskov

Alexander Stoychev

Student, Pskov State University College,

 Russia, Pskov

Danila Fyodorov

Student, Pskov State University College,

 Russia, Pskov

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрен частный случай уравнения Ферма-Каталана

в котором задаётся показатель степени , бОльший 2, и значение суммы  двух слагаемых  и , представляющих уравнение Ферма-Каталана. Ставится задача поиска значения каждого из этих слагаемых. Представлен алгоритм поиска и программа на языке С++, обеспечивающая верификацию алгоритма.

ABSTRACT

The article considers a special case of the Ferma-Catalan equation

in which  the exponent of degree z greater than 2 and the value of the sum  of two summands  and  representing the Ferma-Catalan equation are given. The problem of finding the value of each of these summands is posed. A search algorithm and a C++ program providing verification of the algorithm are presented.

Ключевые слова: уравнение Ферма-Каталана, необходимое и достаточное условие выполнения равенства , равенство .

Keywords: Ferma-Catalan equation, necessary and sufficient condition for the equality , equality .

Предисловие

Авторы статьи выражают большую благодарность преподавателю колледжа ПсковГУ Ушарновой Татьяне Олеговне за её ценные советы и консультации в части программы на С++.

Вводная часть

Гипотеза Ферма-Каталана утверждает, что уравнение

в котором  - положительные целые числа, имеет только конечное число решений  с различными тройками значений , , , где  [1].

В соответствии с работой [2, C. 8-9] уравнение Ферма-Каталана не имеет ненулевых целочисленных решений при , , .

Теоретико-доказательная часть

Для целостного восприятия дальнейшего изложения повторим с некоторыми сокращениями построение этого доказательства, в основе которого лежит такая лемма: Необходимое и достаточное условие выполнения равенства

,                                                                (1)

в котором  и  ̶ суть любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, , представимо триадой равенств:

где  ℕ₀

Здесь и далее символом ℕ обозначены натуральные, то есть положительные целые числа без нуля. Символом ℕ₀ обозначены натуральные числа c нулём. Лемма доказана в работе [3, С. 10-12].

Так как числа  и   ̶ суть любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, удовлетворяющие равенству (1), то, следовательно, эти числа могут быть и любыми степенями ненулевых натуральных взаимно простых чисел (например:  и , где ; ), удовлетворяющих равенству , в котором ; ; , , .

Равенство (1), исходя из леммы 2, представимо так:

Данное равенство в соответствии с равенством (3) порождает такую цепочку (кортеж) равенств:

1. ,
2. ,
3. ,
4. 

  ,

И так далее до показателя степени  числа .

Отметим, что во всех равенствах кортежа стоит одно и то же число . Убедимся в этом на двух числовых примерах.

Рассмотрим равенство В соответствии с равенствами (2) и (3):

Нетрудно убедиться в выполнимости равенств 1), 2), 3), 4). В данном примере кортеж равенств 1), 2), 3), 4), порождаемых равенствами (4) и (3), соответствует равенству вида , в котором ;   

Рассмотрим равенство В соответствии с равенствами (2) и (3):

Нетрудно убедиться в выполнимости равенств 1), 2), 3). В этом примере кортеж равенств 1), 2), 3), порождаемых равенствами (4) и (3), соответствует равенству вида , в котором ;   Отметим, что в рассмотренных примерах один из показателей  или  равен .

Докажем невыполнимость равенства (4) в том случае, когда в гипотетическом равенстве ;   , .

Теорема 1. Равенство

невыполнимо для любых наборов чисел ; 1,  с которыми выполнялись бы равенства

при условиях:

Доказательство

От противного! А именно: предположим выполнимость равенства (5) при заданных условиях хотя бы для одного набора чисел .В соответствии с заданными условиями и леммой числа  равенства (5) порождают цепочку (кортеж) из  равенств; в правой части таких равенств стоит число  в степени, возрастающей от 1 до . Этот кортеж из  равенств начинается со следующей цепочки равенств:

1. ,
2. ,
3. .

Но указанные равенства при заданных условиях , ,  невыполнимы для любых наборов чисел , так как в противном случае по лемме цепочка из этих выражений могла бы порождаться и равенством , в котором , , . Но равенство   невыполнимо для любых ненулевых чисел , так как по теореме Эйлера диофантово уравнение  не имеет решений в целых отличных от нуля числах [4, С. 34-38], [5, С. 57-60], [6]. Несуществование числа  при заданных условиях , , , ведущее к невыполнимости первых трёх равенств кортежа, означает невыполнимость всех  равенств кортежа. Таким образом, предположение о выполнимости равенства (5) для некоторого набора чисел ; , с которыми выполнялись бы равенства , ,  при условиях  , , ,  является ложным, так как через последовательность импликаций приводит к противоположному утверждению, заключающемуся в том, что равенство (5) при тех же условиях невыполнимо для  любых наборов чисел , где . В силу фундаментального закона логики – закона противоречия, сформулированного Аристотелем: «невозможно, чтобы противоречащие утверждения были истинными по отношению к одному и тому же» [7, С. 90, глава III, раздел «Учение об истине и законах мышления»], приходим к выводу об истинности заключения теоремы 1, то есть о том, что при заданных условиях равенство (5) невыполнимо; следовательно, при тех же условиях выполнимо неравенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2. Равенство  в котором , при  , невыполнимо для любых взаимно простых чисел .

Доказательство

Предположим обратное, то есть выполнимость равенства , в котором , при , хотя бы для одного набора чисел . В этом случае, в соответствии с леммой и равенствами (2) должна следовать выполнимость такого равенства:

Но правая часть этого равенства, исходя из выражения (7) и в  соответствии с теоремой 1, для любых наборов чисел ;   ; , ,  не равна числу . Следовательно, . Это означает, что исходное утверждение, основанное на предположении о выполнимости равенства  при , ,  хотя бы для одного набора натуральных чисел , через последовательность импликаций привело к противоположному утверждению. В силу закона логики – закона противоречия – приходим к выводу о ложности нашего предположения и, следовательно, об истинности заключения теоремы 2, что и требовалось доказать.

Из доказанного следует: уравнение  в котором  - положительные целые числа, не имеет решений при , , . Отметим, что это уравнение, названное уравнением Ферма-Каталана, имеет решения хотя бы при одном из чисел , равном 2. Условимся, определять решение уравнения Ферма-Каталана следующими символами: , , . Известны такие решения данного уравнения для показателя степени :

;  ;  ;   ;

;   ;

.

Не нарушая общности, введём такие обозначения:

- правую часть этих равенств будем обозначать ;

- левую часть данных равенств для чисел с показателем степени, бОльшим , будем обозначать ; для чисел с показателем степени  будем обозначать .

Такое ограничение на обозначения позволяет путём последовательного компьютерного перебора при заданных значениях чисел  и  найти значение чисел , удовлетворяющих равенству . Поиск можно строить по алгоритму, суть которого состоит в том, что для каждого , начиная от  и до  не бОльшего , компьютерным перебором находится такое значение , с которым выполняется равенство . Алгоритм поиска представлен на рис. 1. На рис. 2 приведёны скриншоты выполнения программы.

Рисунок 1. Алгоритм поиска

Рисунок 2. Скриншоты выполнения программы

Список литературы:

1. Электронный ресурс - https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%E2%80%93Catalan_conjecture. дата обращения: 19.01.2024.
2. Агафонцев В.В. Гипотеза Била; её доказательство математикой Эйлера // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LIV междунар. науч.-практ. конф. №8(46).-Новосибирск: СибАК, 2022.- С. 4-11. Электронный ресурс-https://sibac.info/files/2022_08_22_technics/8%2846%29.pdf. Дата обращения – 20.02.2024г.
3. Агафонцев В.В. Гипотеза Била и её доказательство // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LIII междунар. науч.-практ. конф. №7(45).-Новосибирск: СибАК, 2022.- С. 9-24. Электронный ресурс- https://sibac.info/files/2022_07_25_technics/7%2845%29.pdf Дата обращения – 20.02.2024г.
4. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел.-М.: Наука, 1982.
5. Эдвардс Г [Edwards H.] Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с англ. В.Л. Калинина и А.И. Скопина / под ред. Б.Ф. Скубенко.- М.: Мир, 1980.
6. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Матем. Заметки. 2007. № 82:3. С. 395-400.
7. Маковельский А.О. История логики. Жуковский-Москва, Изд-во «Кучково поле», 2004.- 480 с.