О ПОИСКЕ РЕШЕНИЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ ФЕРМА-КАТАЛАНА

​ON FINDING SOLUTIONS TO THE EXPONENTIAL DIOPHANTINE FERMA-CATALAN EQUATIONS

Valery Agafontsev

Ph.D. technical sciences, retired,

Russia, Pskov

Ekaterina Romanova

College teacher at Pskov State University

Russia, Pskov

АННОТАЦИЯ

В статье представлен алгоритм поиска решений экспоненциальных диофантовых уравнений Ферма-Каталана. Алгоритм построен на применении explicit-варианта abc-гипотезы. Представлена компьютерная программа на языке С++, обеспечивающая верификацию алгоритма.

ABSTRACT

In this article presents an algorithm for finding solutions to exponential diophantine Ferma-Catalan equations. The algorithm is based on the application of the explicit variant of the abc-hypothesis. A computer program in the C++ language providing verification of the algorithm is presented.

Ключевые слова: abc-гипотеза, explicit-вариант abc-гипотезы, доказательство explicit-варианта abc-гипотезы, экспоненциальные диофантовы уравнения Ферма-Каталана.

Keywords: abc-hypothesis, explicit variation abc-hypothesis, proof of explicit variation abc-hypothesis, exponential diophantls of the Ferma-Catalan equation.

Вводная часть

Гипотеза Ферма-Каталана утверждает, что уравнение

в котором  - положительные целые числа, имеет только конечное число решений  с различными тройками значений , , , где  [1].

Если , то уравнение (1) превращается в уравнение Пифагора, имеющее бесконечное множество решений, определяемых следующими соотношениями [2, C. 31]:

 В этих выражениях  и  – любые взаимно простые положительные целые числа  разной чётности.

Если , то уравнение (1) превращается в уравнение Ферма, для которого “не существует отличных от нуля целых чисел  и , для которых , где ˮ [2, C. 11]. Заметим, что это утверждение доказано английским математиком Эндрю Уайлсом [3], [4] в 1995 году.

Как известно, Пьер Ферма – французский математик XVII-го столетия. Эжен Шарль Каталан – французский и бельгийский математик XIX-го столетия. В 1844 году он выдвинул такую гипотезу: уравнение  имеет единственное решение в целых числах: , , , b. Эта гипотеза стала теоремой, доказанной румынским математиком Предо Михайлеску в апреле 2002 года [5].

Вернёмся к уравнению (1). Решение этого уравнения предполагает нахождение целых чисел . В настоящее время известны такие решения уравнения Ферма - Каталана [1]:

1) ,  2) ,  3) ,  4) ,  5) ,  6) ,  

7) ,  8) ,

9) ,  10) .

Задачей данного исследования является рассмотрение частного случая уравнения Ферма — Каталана, а именно - его экспоненциальной формы, предполагающей, что задаются числа  и следует определить значения показателей степени , составляющих решение уравнения (1). Для удобства дальнейшего изложения запишем исследуемое уравнение в таком виде:

Решать поставленную задачу будем на основе abc-гипотезы, точнее, её explicit-варианта. Abc-гипотеза изложена в интернет-лекциях [6], [7].

Для целостного восприятия данной статьи кратко напомним суть abc-гипотезы и её explicit-варианта.

Прежде, чем формулировать abc-гипотезу, определим входящее в неё понятие радикала натурального числа. В соответствии с [8, С. 15-16]  любое натуральное число  может быть единственным образом разложено на простые сомножители:

где  простые сомножители,  – их повторяемость в числе ; =(1, k).

Радикалом  числа  называется выражение вида

То есть, радикал числа  – это произведение первых степей простых сомножителей числа . Очевидно, всегда . Рассмотрим примеры.

1. Числа 14, 28, 98 имеют радикал, равный 14, так как эти числа единственным образом могут быть разложены на простые сомножители:

 14; ; 9. Пример записи: .

2. Числа 30, 90, 150 имеют радикал, равный 30, так как эти числа единственным образом могут быть разложены на простые сомножители:  

; 9; 150. Пример записи: .

Для операции сложения  ненулевых натуральных взаимно простых чисел вводят понятие радикала  , определяемого как произведение радикалов чисел , то есть

Примеры.

1. Рассмотрим равенство . Будем считать . Определим для этого равенства .

В данном случае

2. Рассмотрим равенство . Будем считать , , . Определим для этого равенства .

В этом случае

В 1985 году английский математик Дэвид Массер и в 1988 году французский математик Джозеф Остерле сформулировали такую гипотезу [6], [7]: для каждого положительного действительного числа  существует константа  такая, что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел a,b,c, удовлетворяющих равенству , выполняется соотношение .

Часто гипотезу Остерле -Массера называют abc-гипотезой. В статьях [10], [11] представлено возможное доказательство abc-гипотезы. Суть его состоит в том, что для равенства , в котором  –любые положительные взаимно простые целые числа:

1. Вводится такое представление числа :

В этом равенстве число  дополняет сомножители радикала  до числа . Поясним сказанное тремя примерами.

Пример 1. Имеется равенство . В нём , , следовательно, .

Пример 2. Имеется равенство . В нём , , следовательно, .

Пример 3. Имеется равенство . В нём , , следовательно, .

2. Правая часть равенства (7) умножается на , исходя из не нарушающего общность предположения о том, что . Учитывая возможность , приходим к соотношению

3. Правая часть соотношения (8) умножается на . Получаем строгое неравенство

учитывающее, что из равенства (6), допускающего , с необходимостью следует . С учётом равенства (5) неравенство (9) запишется так:

4. В правой части неравенства (10) два сомножителя: первый сомножитель – , второй – . Увеличим второй сомножитель, сделав его равным , где  – любое большее нуля положительное действительное число. Тогда сохранение неравенства (10) обеспечится выполнением такого равенства:

в котором сомножитель  равен

Очевидно, что для каждого положительного действительного числа  существует своё число . Неравенство (10) с учётом соотношения (12) представится так:

что и требовалось доказать.

Abc-гипотеза имеет несколько эквивалентных формулировок, в каждой из которых она записывается своей формулой. Известен вариант abc-гипотезы, представленный формулой

В интернет-лекции ныне академика РАН Д.О. Орлова [6] этот вариант abc-гипотезы назван explicit-вариантом. В переводе с английского explicit означает явный. В статьях [11], [12] представлено возможное доказательство abc-гипотезы в её explicit-варианте. В статье [13] показана возможность доказательства Последней (Великой) теоремы Ферма и ряда до сих пор не доказанных гипотез теории чисел на основе explicit-варианта abc-гипотезы, из чего следует большой научный потенциал этой гипотезы и её варианта.

Теоретико-доказательная часть

Рассмотрим применение соотношения  при решении экспоненциальных диофантовых уравнений Ферма-Каталана вида

где  известные, точнее, задаваемые взаимно простые ненулевые натуральные числа;  натуральные числа, каждое из которых . Задача: определить значения  

Применим к уравнению (15) соотношение , для чего введём такие обозначения: , , . Получим

То есть, число , равное , оказывается ограниченным сверху значением . Этим же значением будут ограничены числа  и  и, следовательно, показатели степени  и :

,

.

Такое ограничение на показатели степени  и  позволяет путём последовательного компьютерного перебора найти , удовлетворяющие уравнению (15). Поиск решений уравнения (15) можно строить по алгоритму, суть которого состоит в том, что для каждого , начиная от  и до  не большего, чем , компьютерным перебором , начиная от  и до  не большего, чем , выполняется проверка выполнимости равенства (15). Следовательно, в соответствии с соотношением  алгоритм позволяет определить все решения заданного уравнения.

На рис. 1 и рис. 2 излагается алгоритм, ориентированный на язык С++. Тестирование алгоритма выполнено при значениях F, K, G (таблица 1), представленных расположенными ниже скриншотами.

Таблица 1

Рисунок. 1. Блок-схема алгоритма

От блока 6

Рисунок 2. Блок-схема алгоритма

Список литературы:

1. Электронный ресурс -https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%E2%80%93Catalan_conjecture.  Дата обращения: 19.01.2024.
2. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука, 1982. – 242 с.
3. Сингх С. [Singh S.] Великая теорема Ферма /пер. с англ. Ю.А. Данилова. М.: МЦНМО, 2000.
4. Соловьёв Ю.П. Гипотеза Таниямы и Последняя теорема Ферма, Соросовский образовательный журнал, №2 (1998), 135-138.
5. Электронный ресурс- https://vixra.org/pdf/1710.0112v2.pdf Дата обращения- 19.01.2024.
6. Орлов Д.О. ʺAbc-гипотеза и её следствияʺ. Электронный ресурс - https://yandex.ru/video/preview/5891271784642681767 Дата обращения - 19.01.2024.
7. Конрад К. ʺЧто такоетАВС-гипотеза?ʺ. Электронный ресурс- https://mccme.ru/dubna/2013/notes/kconrad-lecture1.pdf Дата обращения - 19.01.2024.
8. Виноградов И.М. Основы теории чисел: Учебное пособие. 11-е изд.-СПб. Изд-во ʺЛаньʺ, 2006.-176 с.
9. Агафонцев В.В. Abc- гипотеза и её доказательство// Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXII междунар. науч.-практ. конф. №4(53). – Новосибирск: СибАК, 2023. – С. 17-24. Электронный ресурс: https://sibac.info/conf/technology/53/286754. Дата обращения- 19.01.2024.
10. Агафонцев В.В. О доказательстве abc- гипотезы// Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXV междунар. науч.-практ. конф. №7(56). – Новосибирск: СибАК, 2023. – С. 38-42. Электронный ресурс: https://sibac.info/conf/technology/56/298658. Дата обращения- 19.01.2024.
11. Агафонцев В.В. Об explicit-варианте abc-гипотезы // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXVI междунар. науч.-практ. конф. № 8(57).- Новосибирск: СибАК, 2023.- С. 16-21. Электронный ресурс: https://sibac.info/conf/technology/57/299842. Дата обращения-19.01.2024.
12. Агафонцев В.В. Возвращаясь к explicit-варианту abc-гипотезы // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXVIII междунар. науч.-практ. конф.  № 10(59).- Новосибирск: СибАК, 2023.- С. 26-31. Электронный ресурс: https://sibac.info/conf/technology/59/303970. Дата обращения-19.01.2024.
13. Агафонцев В.В. О некоторых следствиях abc-гипотезы в её explicit-варианте// Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXIX междунар. науч.-практ. конф. № 11(60).- Новосибирск: СибАК, 2023.- С. 48-53. Электронный ресурс: https://sibac.info/conf/technology/60/306056. Дата обращения-19.01.2024.