ГИПОТЕЗA БИЛА И ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ abc- ГИПОТЕЗЫ

​BEALʼS CONJECTURE AND SPECIAL CASE abc -HYPOTHESIS

Valery Agafontsev

Candidate of Science, retired,

Russia, Pskov

АННОТАЦИЯ

В статье представлено доказательство гипотезы Била. Такое доказательство следует из частного случая abc-гипотезы.

ABSTRACT

This article presents a proof of Beal's conjecture. Such a proof follows from a special case of the abc-hypothesis.

Ключевые слова: гипотеза Била, abc-гипотеза.

Keywords: Beal's conjecture, abc-hypothesis.

Вводная часть

Напомним гипотезу Била, зарегистрированную в Американском математическом обществе (American Mathematical Society): If , where  and  are positive integers and  and  are all greater than , then  and  must have a common prime factor [1]. В переводе на русский: Если , где  и  - целые положительные числа, причём  и  больше 2, то  и  должны иметь общий простой множитель.

Напомним формулировку abc-гипотезы, выдвинутой в 1985 году английским математиком Дэвидом Массером (David Masser) и в 1988 году французским математиком Джозефом Остерле (Joseph Oesterlé),  называемой гипотезой Остерле-Массера. Для любого  существует  постоянная , при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел  и , таких, что , выполняется неравенство

,

где  - радикал числа , то есть число, равное произведению простых делителей произведения  [2].

Часто гипотезу Остерле-Массера называют abc-гипотезой.

В статьях [3] и [4] доказана такая теорема: для каждого положительного действительного числа  существует константа  такая, что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел a,b,c, удовлетворяющих равенству , выполняется соотношение      .

По сути, эту теорему можно считать доказательством abc-гипотезы.

В статьях [5] и [6] представлено доказательство abc-гипотезы в её explicit-варианте, а именно: утверждается, что для любого целого числа  из равенства , где , , выполнимо соотношение . Это утверждение доказано и, по сути, является теоремой.

Отметим, что доказательство abc-гипотезы исходит из выполнимости равенства , в котором , .

Рассмотрим частный случай abc-гипотезы, а именно: рассмотрим равенство , в котором , , .

Теоретико-доказательная часть

Для удобства дальнейшего прочтения введём такие обозначения: , , .

ЛЕММА

Необходимое и достаточное условие выполнения равенства

в котором   ̶ ненулевые натуральные взаимно простые числа, , представимо триадой равенств:

где  ℕ₀

Здесь и далее символом ℕ обозначены натуральные, то есть положительные целые числа без нуля. Символом ℕ₀ обозначены натуральные числа c нулём.

Доказательство

Запишем правую и левую части равенства (1) в С-ричной позиционной нумерации; получим:

         ( 4)  

где число нулей в правой части равенства (4) в соответствии с леммой 1 статьи [7] равно точно z.

Из равенства (4) следует необходимое условие его выполнения. Такое условие заключается в том, что:

I. С-ричная запись каждого из чисел  и  в равенстве (4) должна  содержать не более, чем z С-ричных разрядов. Действительно, правая часть равенства (4) представляет собой наименьшее целое С-ричное число, содержащее  разрядов, старший, -й, из которых имеет наименьшее ненулевое значение. Поэтому, если хотя бы одно из чисел  или  будет представляться  С-ричными разрядами, то это сделает равенство (4) невыполнимым, так как его левая часть будет заведомо больше правой части. Следовательно, числа  и  в их С-ричной записи представимы не более, чем  С-ричными разрядами:

Учитывая позиционность С-ричной нумерации, числа  и  в их количественном эквиваленте представимы так:

Здесь  По условию , следовательно, исходя из равенства (1)  и , поэтому  

 II. В соответствии с равенством (4) поразрядные суммы С-ричных записей правой части равенств (5) должны удовлетворять таким соотношениям:

где . Переходя к количественному эквиваленту равенств (7), получим:   

Выполнение равенств (6), (8) является не только необходимым, но и достаточным условием выполнения равенства (1). Действительно, если предположить, что равенства (6), (8) выполняются и сложить левые и правые части равенств (6) соответственно, а также учесть равенство (8), то получим равенство (1). Лемма доказана.

Исходя из доказанной леммы, равенство (1) представимо так:

Равенство (9) совместно с равенством (8) порождает такую цепочку (кортеж) равенств:

И так далее до получения равенства, в котором показатель степени числа  равен . Отметим, что во всех равенствах кортежа стоит одно и то же число . Убедимся в этом на трёх числовых примерах.

Рассмотрим равенство . В соответствии с равенствами (6) и (8):

Очевидна выполнимость равенств 1), 2) кортежа.

Рассмотрим равенство . В соответствии с равенствами (6) и (8):

Очевидна выполнимость равенств 1), 2), 3) кортежа.

Рассмотрим равенство В соответствии с равенствами (6) и (8):

Очевидна выполнимость равенств 1), 2), 3), 4) кортежа.

Примечание: Во всех рассмотренных примерах числа  являются степенями, в которых хотя бы у одной из них показатель не больше .

Рассмотрим случай, когда все числа  являются степенями с показателем, большим .

ТЕОРЕМА 1.

Для любого числа  из равенства , где , , , выполнимы неравенства  и , в которых ; , , при условиях: , , ; , , .

Доказательство

От противного! А именно: предположим, что существует такое натуральное число , с которым при заданных условиях выполнимы равенства

Данные равенства порождают цепочку (кортеж) из  соотношений. Этот кортеж начинается со следующей цепочки:

В соответствии с леммой эти же соотношения будут и для гипотетического равенства , в котором , , , . По теореме Эйлера уравнение  не имеет решений в целых отличных от нуля числах [8, с. 34-38], [9, с. 57-60], [10], поэтому не существует натурального числа , удовлетворяющего равенству . Следовательно, для любых натуральных чисел  при заданных условиях указанные соотношения не могут быть равенствами. Противоречие! Действительно, с одной стороны, по предположению, существует такое натуральное число , с которым при заданных условиях равенства (10) и (11) выполнимы и, следовательно, выполнимы указанные соотношения кортежа; с другой стороны при тех же условиях эти соотношения кортежа невыполнимы. В силу фундаментального закона логики – закона противоречия, сформулированного Аристотелем: «невозможно, чтобы противоречащие утверждения были истинными по отношению к одному и тому же» [11, с. 90, глава III, раздел «Учение об истине и законах мышления»]. Следовательно, предположение о существовании натурального числа , удовлетворяющего при заданных условиях равенствам (10) и (11), является ложным. Вывод: не существует натурального числа , удовлетворяющего при заданных условиях равенствам (10) и (11). Следовательно, при тех же условиях для любого натурального числа  выполнимы неравенства

что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 2

Равенство , в котором , при , ,  невыполнимо для любых взаимно простых чисел .

Доказательство

Предположим обратное, а именно: допустим, что существует такое натуральное число , c которым равенство  выполнимо при ,  и . В этом случае, в соответствии с леммой должна следовать выполнимость такого равенства:

Но правая часть этого соотношения, исходя из выражения (12), не равна числу  для любых наборов чисел ; ; , , . Следовательно, . Это означает, что исходное утверждение, основанное на предположении о существовании натурального числа , c которым равенство  было бы выполнимо, через последовательность импликаций привело к противоположному утверждению. В силу закона логики – закона противоречия – приходим к выводу о ложности нашего предположения и, следовательно, об истинности заключения теоремы 2, что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 3

Равенство  в котором  при , , , выполнимо для составных натуральных чисел , имеющих общий множитель.

Доказательство

Покажем, что равенство , в котором все показатели степени больше 2 и , может быть порождено, например, одним из таких равенств:

,

в которых ; , и один из показателей степени  или  или  равен 2, а два других – больше 2.

Для случая (а): умножим левую и правую части равенства на число ; для случая (b) – на число . Получим:

Обозначим:

для a):

для b):

Для случая а): , так как  и . Для случая b): , так как  и . С учётом этих обозначений равенства a) и b) запишутся так:

Равенство (15) соответствует заключению теоремы 3, так как в нём  и числа  являются составными натуральными числами, имеющими общий множитель, что и требовалось доказать.

Приведём примеры, показывающие истинность теоремы 3. Возьмём тройки чисел  и ; для них выполняются равенства  и . Осуществляя процедуры, подобные приведённым выше, получим соответственно:

;  

Очевидно, что члены этих равенств представляются составными натуральными числами, имеющими общий множитель и находящимися в степени, большей 2.

ТЕОРЕМА 4

Равенство , в котором , при , , , выполнимо только для составных чисел , имеющих общий множитель.

Доказательство

Сопоставим теоремы 2 и 3.

Теоремой 2 доказано: равенство , в котором , при , , , невыполнимо для любых взаимно простых чисел .

Теоремой 3 доказано: равенство , в котором , при , , , выполнимо для составных натуральных чисел , имеющих общий множитель.

Из сопоставления теорем 2 и 3 в части их условия и заключения следует истинность теоремы 4, что и требовалось доказать.

Из выше изложенного вытекает доказанность гипотезы Била.

Список литературы:

1. Электронный ресурс - http://www.math.unt.edu/~mauldin/beal.html (дата обращения: 20.11.2023).
2. Электронный ресурс- https://ru.wikipedia.org/wiki/Abc-гипотеза (дата обращения: 20.11.2023).
3. Агафонцев В.В. Abc-гипотеза и её доказательство // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXII междунар. науч.-практ. конф. № 4(53). - Новосибирск: СибАК, 2023.- С. 17-24. Электронный ресурс - https://sibac.info/conf/technology/53/286754 (дата обращения: 23.11.2023).
4. Агафонцев В.В. О доказательстве abc-гипотезы // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXII междунар. науч.-практ. конф. № 7(56).  - Новосибирск: СибАК, 2023.- С. 38-42. Электронный ресурс - https://sibac.info/conf/technology/56/298658 (дата обращения: 23.11.2023).
5. Агафонцев В.В. Об explicit-варианте abc-гипотезы // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXVI междунар. науч.-практ. конф. № 8(57). - Новосибирск: СибАК, 2023.- С. 16-21. Электронный ресурс - https://sibac.info/conf/technology/57/299842 (дата обращения: 23.11.2023).
6. Агафонцев В.В. Возвращаясь к explicit-варианту abc-гипотезы // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXVIII междунар. науч.-практ. конф. № 10(59).- Новосибирск: СибАК, 2023.- С. 26-31. Электронный ресурс - https://sibac.info/conf/technology/59/303970 (дата обращения: 23.11.2023).
7. Агафонцев В.В. Гипотеза Била и её доказательство // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LIII междунар. науч.-практ. конф. № 7(45).  - Новосибирск: СибАК, 2022.- С. 9-24. Электронный ресурс - https://sibac.info/conf/technology/45/261499 (дата обращения: 23.11.2023).
8. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел.-М.: Наука, 1982.
9. Эдвардс Г [Edwards H.] Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с англ. В.Л. Калинина и А.И. Скопина / под ред. Б.Ф. Скубенко.- М.: Мир, 1980.
10. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Матем. Заметки. 2007. № 82:3. С. 395-400.
11. Маковельский А.О. История логики. Жуковский-Москва, Изд-во «Кучково поле», 2004.- 480 с.