О НЕКОТОРЫХ СЛЕДСТВИЯХ abc-ГИПОТЕЗЫ В ЕЁ EXPLICIT-ВАРИАНТЕ

​ON SOME CONSEQUENCES OF abc-HYPOTHESIS  IN  ITS EXPLICIT VARIATION

Valery Agafontsev

Candidate of Science, retired,

Russia, Pskov

Моей знаменитой школе –

Казанскому суворовскому

военному училищу

п о с в я щ а е т с я

АННОТАЦИЯ

В данной статье представлены некоторые следствия, вытекающие из доказательства explicit-варианта abc-гипотезы. В частности, рассмотрено доказательство гипотезы Холла, гипотезы Пиллаи, Последней (Великой) теоремы Ферма. Рассмотрена возможность применения explicit-варианта abc-гипотезы для решения некоторых экспоненциальных диофантовых уравнений Ферма-Каталана.

ABSTRACT

In this article some corollaries arising from the proof of the explicit variation of the abc-hypothesis. In particular, the proof of Hall's conjecture, Pillai's conjecture, the proof of Fermat's Last (Great) theorem are considered. The possibility of applying the explicit variation of the abc-hypothesis to solve some exponential Diophantine Ferma-Catalan equations is considered.

Ключевые слова: abc-гипотеза, explicit-вариант abc-гипотезы, доказательство explicit-варианта abc-гипотезы, гипотеза Холла, гипотеза Пиллаи, экспоненциальные диофантовы уравнения Ферма-Каталана.

Keywords: abc-hypothesis, explicit variation abc-hypothesis, proof of explicit variation abc-hypothesis, Hall's conjecture, Pillai's conjecture, exponential diophantls of the Ferma-Catalan equation.

Вводная часть

В работах [1] и [2] представлено доказательство abc-гипотезы в её explicit-варианте, а именно: утверждается, что для любого целого числа  из равенства , где , , выполнимо соотношение . Это утверждение доказано и, по сути, оно является теоремой.

Теоретико-доказательная часть

Рассмотрим следствия, вытекающие из данной теоремы.

ТЕОРЕМА 1

Для любого  существует константа , такая, что если  для  и , , то .

Доказательство

Применим к уравнению  соотношение , для чего введём такие обозначения: , , . Получим:

Так как , то для любого  выполнится соотношение . Выбором константы  число  можно представить в виде

Следовательно, неравенство (3) запишется так:

что и требовалось доказать.

Отметим, что доказан так называемый ослабленный вариант гипотезы Холла, сформулированный Старком и Троттером в 1980 году [3]. Сам же Холл в 1971 году сформулировал гипотезу так: Существует константа  такая, что если  для  и , то  [3].

Обратимся к соотношению (5). Очевидно, что при значении  сколь угодно близком к нулю , выполнится такое соотношение:

Следовательно, получаем неравенство , которое доказывает  гипотезу Холла.

ТЕОРЕМА 2

При заданных натуральных числах  уравнение  имеет лишь конечное число решений  в натуральных числах при  и .

Доказательство

Применим к уравнению

соотношение , для чего введём такие обозначения: , , . Получим:

Из соотношения (11) следует: уравнение (6) при заданных натуральных числах  имеет конечное число решений ,  и , что и требовалось доказать.

Отметим, что доказана гипотеза Пиллаи, сформулированная индийским математиком Суббайей Пиллаи в 1931 году [4].

ТЕОРЕМА 3

Диофантово уравнение , в котором , не имеет решений при .

Доказательство

Построим доказательство от обратного, а именно: предположим, что уравнение  имеет хотя бы одно решение при условии: (, , . Пусть это решение представляется так: . Применим к уравнению  доказанное соотношение . Обозначим , , . С учётом принятых обозначений соотношение  представится так:

Из этого соотношения следует: , что противоречит условию . Следовательно, наше предположение о существовании решения уравнения  при условии (x,  является ложным. В силу закона логики - закона противоречия - это означает, что при заданных условиях уравнение  не имеет решений, что и требовалось доказать. Следовательно, Последнюю (Великую) теорему Ферма, которая утверждает, что диофантово уравнение  при  не имеет решений, можно считать полностью доказанной, так как для  она  доказана Эйлером [5, с. 57-60], [6], [7, с. 35-38]; для  теорема  доказана самим Ферма [5, с. 22-24], [7, с. 30-34]); для  теорема  доказана Дирихле и Лежандром [5, с. 85-93]. Доказательство теоремы Ферма для  строится на основе отсутствия решения диофантова уравнения , что вытекает из доказательства Эйлера для .

Рассмотрим применение доказанного соотношения  при решении экспоненциальных диофантовых уравнений Ферма-Каталана вида

где  известные, точнее, задаваемые взаимно простые ненулевые натуральные числа;  натуральные числа, каждое из которых . Задача: определить значения  

Применим к уравнению (12) соотношение , для чего введём такие обозначения: , , . Получим

То есть, число  оказывается ограниченным сверху значением . Этим же значением будут ограничены числа  и  и, следовательно, показатели  и : , . Такое ограничение на показатели  и  позволяет путём последовательного компьютерного перебора найти , удовлетворяющие уравнению (12). Поиск решений уравнения (12) можно строить по следующему алгоритму.

Алгоритм.

1. Задать
2. Присвоить  
3. Вычислить
4. Присвоить
5. Вычислить
6. Определить сумму
7. Вычислить
8.  целое число? Если ДА, то его значение совместно с  есть решение уравнения. Перейти к шагу 9. Если НЕТ, то перейти к шагу 10
9. Присвоить y. Перейти к шагу 5
10. ? Если ДА, то перейти к шагу 9. Если НЕТ, то перейти к шагу 11
11. Присвоить
12. ? Если ДА, то перейти к шагу 3. Если НЕТ, то КОНЕЦ.

Примечание: переход от выполняемого шага по умолчанию осуществляется к следующему по номеру шагу.

Суть алгоритма состоит в том, что для каждого , начиная от  и до  не большего, чем , компьютерным перебором , начиная от  и до  не большего, чем , выполняется проверка выполнимости равенства (12). Следовательно, в соответствии с соотношением  алгоритм позволяет определить все решения заданного уравнения. Например, для уравнения  динамика работы алгоритма при условии , ,  будет такой:

1. Присваивается
2. Присваивается
3. Проверяется, будет ли целым при данных . Если целое, то решение найдено; затем при том же  числу  присваивается значение  и вновь проверяется, будет ли число  целым. Такой процесс продолжается до , после чего переход к пункту 4.
4. Присваивается . Проверяется условие ? Если это условие выполняется, то переход к пункту 2; если условие не выполняется, то КОНЕЦ работы алгоритма.

ВЫВОД. На базе explicit-варианта abc-гипотезы доказаны: гипотеза Холла, гипотеза Пиллаи, Последняя (Великая) теорема Ферма. Рассмотрена возможность применения explicit-варианта abc-гипотезы для решения некоторых экспоненциальных диофантовых уравнений Ферма-Каталана. Следовательно, explicit-вариант abc-гипотезы имеет большой научный потенциал.

Список литературы:

1. Агафонцев В.В. Об explicit-варианте abc-гипотезы // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXVI междунар. науч.-практ. конф. № 8(57).- Новосибирск: СибАК, 2023.- С. 16-21. https://sibac.info/conf/technology/57/299842 (дата обращения: 2.11.2023).
2. Агафонцев В.В. Возвращаясь к explicit-варианту abc-гипотезы // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXVIII междунар. науч.-практ. конф.   № 10(59).- Новосибирск: СибАК, 2023.- С. 26-31. https://sibac.info/conf/technology/59/303970 (дата обращения: 2.11.2023).
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза Холла (дата обращения: 28.10.2023).
4. https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза Пиллаи (дата обращения: 28.10.2023).
5. Эдвардс Г. [Edwards H.] Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с англ. В.Л.Калинина и А.И.Скопина / под ред. Б.Ф.Скубенко. М.: Мир, 1980. – 486 с.
6. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Матем. заметки. 2007. N 82:3. C. 395-400.
7. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука, 1982. – 242 с.