ВЫЧИСЛЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ

CALCULATION OF THE RELATIVE ERROR OF SHAPING FOR VARIOUS LAWS OF THE DISTRIBUTION OF POINT SETS

Sergey Sinitsyn

doc tech. Sci., Professor, Head of the Department of Theoretical and Applied Mechanics of the Russian University of Transport (MIIT),

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

Абсолютная погрешность формообразования сама по себе не определяет точность моделирования, поскольку не учитывает метрических характеристик объекта. Здесь вводится относительная погрешность на единицу метрики, необходимая для взаимного сравнения разновеликих объектов. Для решения задачи абсолютная погрешность сравнивается с длиной либо площадью объекта, точечные множества которого могут иметь различные законы распределения по отдельным параметрам геометрической модели. Для любых законов распределения погрешности пересчитываются в единую энтропийную погрешность для дальнейшего суммирования. Методика пересчета включает модель сравнения погрешностей, вычисленных с различной доверительной вероятностью. Применение разработанного метода позволяет построить  срединные поверхности или кривые с разбросом точечных множеств в рамках заданной относительной погрешности формы.

ABSTRACT

The absolute error of the shaping itself does not determine the accuracy of the simulation, since it does not take into account the metric characteristics of the object. Here we introduce the relative error per unit metric necessary for the mutual comparison of different-sized objects. To solve the problem, the absolute error is compared with the length or area of ​​the object, the point sets of which may have different distribution laws for individual parameters of the geometric model. For any laws of distribution, the errors are recalculated into a single entropy error for further summation. The recalculation technique includes a model for comparing errors calculated with different confidence levels. The application of the developed method allows one to construct middle surfaces or curves with a spread of point sets within a given relative shape error.

Ключевые слова: погрешность формы, относительная погрешность, энтропийный  диапазон, распределение точечных множеств, доверительные оценки, квантильные оценки, суммирование погрешностей.

Keywords: form error, relative error, entropy range, distribution of point sets, confidence estimates, quantile estimates, summation of errors.

Оценка погрешностей моделирования может  выполняться на основе трех критериев: энтропийной погрешности, среднего квадратического отклонения (СКО) и доверительных интервалов[1, с. 205].

Несмотря на выявленные преимущества энтропийного критерия, универсальной характеристикой, полностью определяющей свойства погрешности как случайной величины, является закон распределения [2, c. 54].

Каждый критерий может быть применен для оценок погрешностей отдельных геометрических объектов, составляющих определитель поверхности, поэтому суммирование погрешностей требует их представления на основе единого критерия, например СКО. Трудность сопоставления критериев связана с их попарной независимостью, поэтому следует иметь аппарат оценок, позволяющий хотя бы при фиксированных значениях любой пары критериев оценивать значение третьего критерия.

Будем рассматривать законы распределения с одной вершиной, определяемые диапазоном изменения соотношения:

 ,                                                                (1)

где правая граница соответствует нормальному закону распределения.

Для различных типов законов распределения в диапазоне изменения параметра  (1) построена зависимость (рис. 1)

, где  ,                                                   (2)

на основании которой установлено количественное соотношение между значениями энтропийной погрешности и СКО.

Рисунок 1. Соотношение энтропийной погрешности и СКО для различных законов распределения точечных множеств

Например, для нормального закона при значении=3(0,59) параметр k=2,1, следовательно,=2,066σ.

Продолжение характеристики  вправо устанавливает зависимость =f(σ) для распределения с двумя вершинами.

Интерквантильные (доверительные) оценки позволяют установить величину доверительного интервала с заданной вероятностью , причем величина доверительной погрешности, в свою очередь, зависит от типа закона распределения. Учитывая реальные свойства распределений геометрических параметров, зависимость между энтропийной погрешностью  и доверительной погрешностью  устанавливается в пределах изменения параметра , заданных неравенством (1).

Зависимости (рис. 2):

                                                             (3)

построены для различных значений доверительной вероятности (=0,997; =0,95; =0,9).

Рисунок 2. Зависимость относительной погрешности от значений доверительной вероятности

Например, для нормального закона распределения  имеют место следующие соотношения погрешностей:, причем оценки  могут быть получены следующим образом: (при);(при ).

Полная «мощность» погрешности определяется с вероятностью P=0,997 доверительным диапазоном . Данной вероятности соответствует соотношение энтропийной и доверительной погрешностей , т. е. квантильная оценка несколько завышена. Такая неоднозначность соотношения ошибок объясняется К. Шенноном как несоответствие между полной «мощностью» помехи (3σ) и ее действительной частью, вносящей дезинформацию в систему.

Важно отметить, что существуют распределения, для которых возможна только энтропийная оценка погрешностей. Например, если распределение результатов при измерении расстояния подчиняется закону Коши:

,                                                             (4)

где  – случайная погрешность измерения, то оценка СКО невозможна:

Доверительная оценка при заданной вероятности  дает большое значение погрешности (для расстояния L=1000 м ~30 м).

Энтропийная оценка [2, с. 52] позволяет получить приемлемый результат:

H(D)=lnp+2ln2=2,52 ;

D_э=0,5exp H(D)=6,21 .

Установленная взаимосвязь между энтропийной погрешностью, СКО и интерквантильными промежутками значительно расширяет возможности выполнения суммарных оценок погрешностей моделирования геометрических объектов, вычисленных на основе различных подходов.

Величина абсолютной погрешности моделирования геометрических объектов (D_э, D_q,,σ) сама по себе не определяет точности моделирования.

Для оценки точности вводится относительная погрешность P:

  ,                                                     (5)

где L, S₀ – метрические характеристики, измеряемые в единицах абсолютной погрешности D.

Энтропийные свойства независимых параметров, определяющих геометрическую структуру более сложных геометрических объектов  (поверхностей, обводов), а также методы вычисления энтропийной погрешности для любых законов распределения, позволяют решить задачу оценки  погрешности моделирования геометрических объектов [3, с. 31].

Как было сказано выше, абсолютная погрешность численно выражается величиной энтропийного диапазона равновероятностных реализаций точечных множеств:

D_э=expH(G).                                                                  (6)

Так, поскольку абсолютная погрешность D_э не является однозначной характеристикой, определяющей точность моделирования, то предлагается сравнительная (относительная) оценка погрешности D_э, связанная с метрическими параметрами геометрического объекта (длиной, площадью, объемом).

Предположим, что комплексный геометрический объект G содержит ограниченную кривую . Чтобы задать кривую l в дискретной конечной системе отсчета либо построить ее параметрическую модель, необходимо установить однозначные (многозначные) соответствия типа

,                                                        (7)

где t – независимый параметр; .

Если соответствие (7) не установлено, то любой паре координат  или значению параметра , взятым из соответствующих областей определения, с равной вероятностью может соответствовать любая точка . При заданном минимальном масштабе измерения e_м количество состояний точки в этом случае определяется соотношением:

.                                                                   (8)

С учетом выражения (8) энтропия точки  определяется как логарифм числа состояний:

.                                                  (9)

Как только соответствие (7) установлено (кривая задана табличным способом в конечной дискретной системе с минимальной метрикой  либо определена параметрическая модель l=L(t)), неопределенность положения точки  оценивается величиной энтропийного диапазона (абсолютной погрешности) D_э, измеренной по любому направлению в точке  с учетом сферического рассеяния погрешностей. При этом количество возможных состояний точки определяется отношением:

,                                                               (10)

а энтропия – логарифм параметра :

.                                                  (11)

В обычной дискретной системе отсчета =1:

.                                                             (12)

На основании информационного соотношения К. Шеннона количество информации, полученное в результате задания в дискретной конечной системе отсчета ограниченной кривой l, определяется разностью энтропий (9) и (11):

                         .                                 (13)

Характеристику (13) будем называть информацией о точности задания (моделирования) линии l.

Аналогичная характеристика может быть получена для куска поверхности q (рис. 3). В том случае если поверхность q не задана в

Рисунок 3. Схемы равномерных распределений на триэдре поверхности

дискретной конечной системе отсчета OXYZ либо не определена ее математическая модель q(u,v), то любой паре координат (x_i, y_i), взятой из области определения q, либо любой паре чисел (u_i,y_i) можно с равной вероятностью поставить в соответствие любую точку . Количество возможных состояний (точек A_ij) определяется соотношением:

,                                                                 (14)

где  – площадь поверхности q, измеренная в единицах . Тогда может быть определена энтропия любой точки поверхности:

  при e_м=1.                                                 (15)

Если поверхность q  задана в дискретной системе отсчета OXYZ либо построена ее математическая модель q(u,v), то координаты точек A_ij задаются в энтропийном диапазоне D_э [3, с. 33], причем распределения вероятностей в точке A_ij  могут быть построены для любого направления сферы рассеяния, в том числе вдоль касательных к параметрическим кривым m(u_i), n(v_j) в точке A_ij.

Принимая равными доверительные диапазоны (D_m=D_n) и независимыми параметры U и V, на основании свойства аддитивности определяется энтропия задания любой точки поверхности :

                  .                                         (16)

Аналогично линейным геометрическим объектам определяется количество информации о точности задания (моделирования) куска поверхности q:

                                 .                                     (17)

Согласно ГОСТ 16263-70 аргументы логарифмических функций (15) и (17) определены как параметры точности моделирования (величина, обратная относительной погрешности P). С учетом свойства натуральной логарифмической функции точность моделирования определяется кривой l:    

,                                                     (18)

и для поверхностиq:

.                                                            (19)

  Относительные погрешности моделирования, соответственно, равны:

.                                        (20)

Информационные характеристики погрешностей моделирования (13), (17) применяются в дальнейшем для оценок погрешностей формообразования геометрических объектов.

Список литературы:

1. Синицын С.А. Погрешности формообразования поверхностей, заданных кинематическим методом. В сб.: Современные проблемы совершенствования работы железнодорожного транспорта. – МГУПС, 2013.
2. Синицын С.А. Концепция моделирования обтекаемых обводов высокоскоростного наземного транспорта. «Наука и техника транспорта» №3.
3. Синицын С.А. Информационно-статистический метод оптимального моделирования гладких дифференциальных поверхностей при итерационном проектировании технических объектов на транспорте. Монография. МГУПС. Москва. 2017.