ВОЗВРАЩАЯСЬ К EXPLICIT-ВАРИАНТУ ABC- ГИПОТЕЗЫ

​RETURNING TO THE EXPLICIT VARIATION ABC- HYPOTHESIS

Valery Agafontsev

Candidate of Science, retired,

Russia, Pskov

Профессору Брусаковой И.А

п о с в я щ а е т с я

АННОТАЦИЯ

В данной статье излагается доказательство explicit-варианта abc-гипотезы, построенное на сочетании понятий элементарной теории чисел с понятиями abc-гипотезы. Рассмотрена возможность применения explicit-варианта для решения некоторых экспоненциальных диофантовых уравнений.

ABSTRACT

This paper presents a proof of the explicit-variant of the abc-hypothesis, built on the combination of notions of elementary number theory with notions of the abc-hypothesis. The possibility of application of the explicit-variation for solving some exponential Diophantine equations is considered.

Ключевые слова: abc-гипотеза, explicit-вариант abc-гипотезы, доказательство explicit-варианта abc-гипотезы, экспоненциальные диофантовы уравнения.

Keywords: abc-hypothesis, explicit-variation abc-hypothesis, proof of  explicit-variation abc-hypothesis, exponential Diophantine equations.

Вводная часть

В работе [1, с. 16-21] представлено возможное доказательство explicit-варианта abc-гипотезы в такой формулировке: для любого целого числа  из равенства , где , , выполнимо соотношение .

Доказательство данного соотношения включает два этапа.

На первом этапе теоремой 1 доказано: любое целое число , большее , порождает равенства , где , , радикал которых . Следствием из теоремы 1 доказано: любое целое число , большее , порождает равенства , где , , для которых .

На втором этапе теоремой 2 доказано, что для любого целого числа  из равенства , где , , выполняется соотношение . Из чего с учётом следствия из теоремы 1 следует: для любого целого числа  из равенства , где , , выполнимо неравенство .

Для удобства дальнейшего прочтения повторим изложение первого этапа, сопроводив его другими примерами и дополнительными шагами доказательства.

Теоретико-доказательная часть

ТЕОРЕМА 1

Любое целое число , большее , порождает равенства , где , , радикал которых .

Доказательство

От обратного! Предположим, что существует некоторое целое число , большее , порождающее хотя бы одно равенство , где , , радикал которого  В соответствии с понятиями элементарной теории чисел, в частности, с основной теоремой арифметики [2, с. 15-16], число  единственным способом может быть представлено тремя простыми сомножителями: . Тогда в соответствии с понятиями abc-гипотезы можно записать такое соотношение:

Так как целое число  больше , то можно взять . Число  представимо только таким произведением простых чисел: . Значит, . Следовательно, неравенство (1) превратится в неравенство

Но такого неравенства, порождаемого равенством , в котором  – целое, , , , быть не может! Действительно, пусть . Тогда при условии  могут порождаться только такие равенства: , . Очевидно, что оба эти равенства противоречат неравенству (2). Следовательно, наше предположение является ложным. В силу закона логики - закона противоречия - это означает, что любое целое число  порождает равенства , где , , радикалы которых . Что и требовалось доказать.

Проверим справедливость теоремы 1 на числовых примерах.

Так как число  может быть любым целым числом, большим 9, то положим , .

Если , то в равенствах 30 при условии  могут быть только такие равенства: ; ; ; . Для этих равенств радикалы равны 87 соответственно. Очевидно, для равенств , в которых , , , .

Если , то в равенствах  при условии  могут быть только такие равенства: ; ; ; ; ; ; ;  Для этих равенств радикалы равны 62 соответственно. Очевидно, для равенств , в которых , , , .

Приведённые примеры подтверждают справедливость теоремы 1.

Следствие из теоремы 1

Любое целое число , большее , порождает равенства , где , , для которых .

Доказательство

От обратного! А именно: предположим, что для некоторого целого числа , большего , выполнимо неравенство . Из этого следует выполнимость таких двух неравенств:

По теореме 1 любое целое число , большее , порождает равенства , где , , радикалы которых . Следовательно, неравенства 1) и 2) можно представить такими соотношениями:

Но эти соотношения для целых чисел , больших , например, для ,  и т.д содержат противоречие. Следовательно, наше предположение является ложным. В силу закона логики - закона противоречия - это означает, что при заданных условиях (когда число - целое, большее 9) неравенство  невыполнимо. Следовательно, выполнимо неравенство , что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 2

Для любого целого числа  из равенства , где , , выполнимо неравенство .

Доказательство

Любое целое число  может быть либо больше , либо не больше . Следовательно, для доказательства требуется рассмотреть оба этих варианта. Следствием из теоремы 1 доказано: любое целое число , большее , порождает равенства , где , , для которых . Для доказательства остаётся доказать, что любое целое число , не большее   порождает равенства , где , , для которых выполнимо неравенство . В работе [1] рассмотрено полное множество равенств, для которых , и с несомненной очевидностью доказана выполнимость для них неравенства , поэтому можно считать теорему 2 доказанной.

О практическом применении доказанного соотношения . В работе [1] с помощью данного соотношения приведено доказательство Последней (Великой) теоремы Ферма. Такое доказательство тривиально.

Рассмотрим применение доказанного соотношения  при решении экспоненциальных диофантовых уравнений Ферма-Каталана вида

где  известные, точнее, задаваемые взаимно простые ненулевые натуральные числа;  натуральные числа, каждое из которых . Задача: определить значения  

Применим к уравнению (3) соотношение , для чего введём такие обозначения: , , . Получим

То есть, число  оказывается ограниченным сверху значением . Этим же значением будут ограничены числа  и  и, следовательно, показатели  и : , . Такое ограничение на показатели  и  позволяет путём последовательного перебора найти , удовлетворяющие уравнению (3). Процесс поиска решений уравнения (3) может быть выполнен по следующему алгоритму:

1. Задать F, K, G
2. Присвоить ,  
3. Вычислить
4. Вычислить
5. Определить сумму
6. Вычислить
7.  целое число? Если ДА, то его значение со значениями  есть решение уравнения. Перейти к следующему шагу. Если НЕТ, то перейти к шагу 9
8. Присвоить y.
9. ? Если ДА, то перейти к следующему шагу. Если НЕТ, то перейти к шагу 11
10. Присвоить , y=1.
11. ? Если ДА, то перейти к шагу 3. Если НЕТ, то КОНЕЦ.

Суть алгоритма состоит в том, что для каждого , начиная от  и до  не большего, чем , перебором , начиная от  и до  не большего, чем , выполняется проверка выполнимости равенства (3). Можно убедиться в правильности алгоритма на примере его проверки для простых уравнений: 1) , 2) .

Для уравнения 1) решения: , , ; , , .

Для уравнения 2) решения: , , .

Из выше сказанного следует, что доказанный explicit-вариант abc-гипотезы имеет большой научный потенциал.

Список литературы:

1. Агафонцев В.В. ОБ EXPLICIT-ВАРИАНТЕ АВС-ГИПОТЕЗЫ // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXVI междунар. науч.-практ. конф. № 8(57).- Новосибирск: СибАК, 2023.- С. 16-21.
2. Виноградов И.М. Основы теории чисел: Учебное пособие. 11-е изд.-СПб. Изд-во ʺЛаньʺ, 2006. -176 с.