ОБ EXPLICIT - ВАРИАНТЕ ABC- ГИПОТЕЗЫ

ON THE EXPLICIT VARIANT OF THE abc-HYPOTHESIS

Valery Agafontsev

Candidate o f Science, retired,

Russia, Pskov

Моим коллегам по НИОКР:

Агафонцевой О.Н, Уварову В.А,

Воробьёву А.Н, Васильеву А.Н,

Кухтенковой Н.С, Кашеваровой В.В.

п о с в я щ а е т с я

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается возможность доказательства explicit-варианта abc-гипотезы. Доказательство строится на сочетании понятий элементарной теории чисел с понятиями abc-гипотезы.

ABSTRACT

This article considers the possibility of proving an explicit variant of the abc-hypothesis. The proof is based on the combination of notions of elementary number theory with notions of abc-hypothesis.

Ключевые слова: abc-гипотеза, explicit-вариант доказательства abc-гипотезы.

Keywords: abc-hypothesis, an explicit variant of the abc-hypothesis proof.

Вводная часть

Известно, что существует несколько эквивалентных формулировок abc-гипотезы [1]. В работе [2] принята такая её формулировка:    для любого положительного действительного числа  существует константа  такая, что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел a,b,c, удовлетворяющих равенству , выполняется соотношение .

В работе [2] представлено доказательство abc-гипотезы в изложенной выше формулировке, построенное на сочетании понятий элементарной теории чисел с понятиями abc-гипотезы. Покажем, что на сочетании понятий элементарной теории чисел с понятиями abc-гипотезы можно прийти к доказательству такого утверждения: для любого целого числа  из равенства , в котором , , выполнимо соотношение . В соответствии с работой [1] это утверждение названо explicit-вариантом abc-гипотезы.

Теоретико-доказательная часть

ТЕОРЕМА 1

Любое целое число , большее , порождает равенства , где , , радикалы которых .

Доказательство

От обратного! Предположим, что существует некоторое целое число , большее , порождающее хотя бы одно равенство , где , , радикал которого  В соответствии с понятиями элементарной теории чисел, в частности, с основной теоремой арифметики [3, с. 15-16], число  единственным способом может быть представлено тремя разными простыми сомножителями: . Тогда в соответствии с понятиями abc-гипотезы можно записать такое соотношение:

Так как целое число  больше , то можно взять . Число  представимо только таким произведением простых чисел: . Значит, . Следовательно, неравенство (1) превратится в неравенство

Но такого неравенства, вытекающего из равенства , в котором  – целое , , , быть не может. Следовательно, наше предположение является ложным. В силу закона логики - закона противоречия - это означает, что любое целое число, порождает равенства , где , , радикалы которых . Что и требовалось доказать.

Проверим справедливость теоремы 1 на числовых примерах.

Так как число  может быть любым целым числом, большим 9, то положим , , , , , .

Если , то в равенствах  при условии   могут быть только такие равенства: ; ; ; ; . Для этих равенств радикалы равны  соответственно. Для равенств , в которых , , , все радикалы .

Если , то в равенствах  при условии  могут быть только такие равенства: ; . Для этих равенств радикалы равны  и  соответственно. Для равенств , в которых , , , все .

Если , то в равенствах  при условии  могут быть только такие равенства: ; ; ; . Для этих равенств радикалы равны  соответственно. Очевидно, для равенств , в которых , , , все радикалы .

Если , то в равенствах  при условии  могут быть только такие равенства: ; ; . Для этих равенств радикалы равны соответственно. Очевидно, для равенств , в которых , , , все радикалы .

Если , то в равенствах 24 при условии  могут быть только такие равенства: ; ; ;  . Для этих равенств радикалы равны  соответственно. Очевидно, для равенств , в которых , , , все радикалы .

Если , то в равенствах 27 при условии  могут быть только такие равенства: ; ; ; ; ; ; ; ; . Для этих равенств радикалы равны  соответственно. Для равенств , в которых , , , все радикалы .

Приведённые примеры подтверждают справедливость теоремы 1.

Следствие из теоремы 1

Любое целое число , большее , порождает равенства , где , , для которых .

Доказательство

От обратного, а именно: предположим, что для некоторого целого числа , большего , выполнимо неравенство . Тогда тем более выполнится неравенство . В соответствии с теоремой 1 запишем такое соотношение: . Но этого быть не может! Следовательно, наше предположение является ложным. В силу закона логики - закона противоречия - это означает, что при заданных условиях (когда число - целое, большее 9) неравенство  невыполнимо. Следовательно, выполнимо неравенство , что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 2

Для любого целого числа  из равенства , где , , выполнимо неравенство .

Доказательство

Для доказательства составим таблицу, куда для каждого целого числа , начиная от наименьшего , поместим порождаемые равенства  и соответствующие этим равенствам радикалы .

Таблица 1.

1) Из таблицы следует: любое целое число  порождает равенства , где , , для которых .

2) Следствием из теоремы 1 доказано: любое целое число  порождает равенства , где , , для которых .

Из 1) и 2) следует: для любого целого числа  из равенства , где ,, выполнимо неравенство , что и требовалось доказать.

Рассмотрим применение доказанного соотношения .

Предположим выполнимость равенства  при условии: (, , . Обозначим , , . С учё-том принятых обозначений соотношение  представится так:

Из этого соотношения следует: . Но это противоречит условию . Следовательно, наше предположение о выполнимости равенства  при условии (,  является ложным. В силу закона логики - закона противоречия - это означает, что при заданных условиях равенство  невыполнимо. Следовательно, теорему Ферма можно считать полностью доказанной, так как для  она доказана Эйлером [4, с. 57-60], [5], [6, с. 35-38]; для  теорема доказана самим Ферма [4, с. 22-24], [5, с. 30-34]); для  теорема доказана Дирихле и Лежандром [4, с. 85-93]. Доказательство теоремы Ферма для  строится на основе невыполнимости равенства , что вытекает из доказательства Эйлера для .

Из выше сказанного следует, что доказанный explicit-вариант  abc-гипотезы имеет большой научный потенциал.

Список литературы:

1. Орлов Д.О. ʺabc-гипотеза и её следствияʺ. Интернет-лекция академика РАН Орлова Д.О. URL: https://yandex.ru/video/preview/5891271784642681767 (Дата обращения: 12.08.2023).
2. Агафонцев В.В. О доказательстве abc-гипотезы// Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXV междунар. науч.-практ. конф. №7(56). – Новосибирск: СибАК, 2023. – С. 38-42. URL: https://sibac.info/conf/technology/56/298658 (Дата обращения: 9.08.2023).
3. Виноградов И.М. Основы теории чисел: Учебное пособие. 11-е изд.-СПб. Изд-во ʺЛаньʺ, 2006. -176 с.
4. Эдвардс Г. [Edwards H.] Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с англ. В.Л.Калинина и А.И.Скопина / под ред. Б.Ф.Скубенко. М.: Мир, 1980. – 486 с.
5. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Матем. заметки. 2007. N 82:3. C. 395-400.
6. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука, 1982. – 242 с.