О ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ АВС-ГИПОТЕЗЫ

ON THE PROOF OF THE ABC-HYPOTHESIS

Valery Agafontsev

Candidate of Science, retired,

Russia, Pskov

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается возможность доказательства abc-гипотезы, построенного на сочетании понятий элементарной теории чисел с понятиями abc-гипотезы.

ABSTRACT

This article discusses the possibility of proving the abc-hypothesis by combining the notions of elementary number theory with those of the abc-hypothesis.

Ключевые слова: гипотеза Остерле-Массера, abc-гипотеза, доказательство abc-гипотезы.

Keywords: Oesterlé-Masser hypothesis, abc-hypothesis, proof of the abc-hypothesis.

Вводная часть

В 1985 году английский математик Дэвид Массер (David Masser) и в 1988 году французский математик Джозеф Остерле (Joseph Oesterlé)   выдвинули гипотезу, в одной из нескольких эквивалентных её формулировок  имеющую такой вид [1], [2]: для каждого положительного действительного числа  существует константа  такая, что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел a,b,c, удовлетворяющих равенству , выполняется  соотношение  .

Как известно, к такой формулировке Остерле и Массер пришли в  результате исследования, связанного с доказательством гипотезы Шпиро (Szpiro's conjecture) [3].

Часто гипотезу Остерле-Массера называют abc-гипотезой.

В 2012 году профессор математики Киотского университета (Япония) Шиничи Мотидзуки (Shinichi Mochizuki) анонсировал доказательство abc-гипотезы, представленное им в интернете в виде четырёх препринтов общим объёмом около 500 страниц. Доказательство Мотидзуки строится на межуниверсальной теории Тейхмюллера. Сама теория связана с пространствами Тейхмюллера [4], а суть её межуниверсального варианта представлена в работе [5].   

Следует отметить, что доказательство Мотидзуки не является бесспорным [6].

Цель данной работы – показать возможность доказательства abc-гипотезы, построенного на сочетании понятий элементарной теории чисел с понятиями abc-гипотезы. Исходим из того, что:

1) В соответствии с элементарной теорией чисел, в частности, с основной теоремой арифметики [2], [7; С. 15-16], любое натуральное число  может быть единственным образом разложено на простые сомножители:

,                           (1)

где  простые сомножители,  – их повторяемость в числе ; =(1, k).

2) В соответствии с понятиями abc-гипотезы [1] и [2] радикалом  числа  называют выражение вида

                           (2)

То есть, радикал числа  – это произведение первых степей простых     сомножителей числа . Если число  является простым либо составным, равным произведению простых сомножителей  , то

Следовательно, в общем случае, учитывая (1):

3) В соответствии с понятиями abc-гипотезы [1] и [2] для операции сложения  положительных взаимно простых целых чисел вводят понятие радикала , определяемого как произведение радикалов чисел , то есть

Теоретико-доказательная часть

Суть предлагаемого доказательства abc-гипотезы состоит в том, что для равенства

,                                (6)

в котором  –любые положительные взаимно простые целые числа:

1. Вводится такое представление числа :

В этом равенстве число  дополняет сомножители радикала  до числа . Поясним сказанное тремя примерами.

Пример 1. Имеется равенство . В нём , , следовательно, .

Пример 2. Имеется равенство . В нём , в соответствии с (2) , следовательно, .

Пример 3. Имеется равенство  . В нём ; , следовательно, .

2. Правая часть равенства (7) умножается на , исходя из не нарушающего общность предположения о том, что . Учитывая возможность , приходим к соотношению

3. Правая часть соотношения (8) умножается на . Получаем  строгое неравенство

учитывающее, что из равенства (6), допускающего , с необходимостью следует  . С учётом равенства (5)  неравенство (9) запишется так:

4. В правой части неравенства (10) два сомножителя: первый сомножитель – , второй – . Увеличим второй сомножитель, сделав его равным , где  – любое большее нуля положительное действительное число. Тогда сохранение неравенства (10) обеспечится выполнением такого равенства:

в котором сомножитель  равен

Очевидно, что для каждого положительного действительного числа    существует своё число . Неравенство (10) с учётом соотношения (11) представится так:

что и требовалось доказать.

Отметим важную особенность предлагаемого доказательства      abc-гипотезы – это доказательство не зависит от числовых значений  и  равенства (6). Следовательно, данное доказательство является общим для неравенств  и  . В работах [8] и [9] представлено детальное доказательство abc-гипотезы.

Список литературы:

1. Конрад К. ʺЧто такое АВС-гипотеза?ʺ Электронный ресурс: https://mccme.ru/dubna/2013/notes/kconrad-lecture1.pdf Дата последнего обращения- 7.07.2023.
2. Орлов Д.О. ʺabc-гипотеза и её следствияʺ. Интернет-лекция академика РАН Орлова Д.О. Электронный ресурс - https://yandex.ru/video/preview/5891271784642681767 Дата последнего обращения- 7.07.2023.
3. Гипотеза Шпиро. Электронный ресурс: https://ru.abcdef.wiki/wiki/Szpiro's_conjecture Дата последнего обращения- 7.07.2023.
4. Пространство Тейхмюллера. Электронный ресурс: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Teichm%C3%BCller_space Дата последнего обращения- 7.07.2023.
5. S. Mochizuki, I. Fesenko, Y.Hoshi, A. Minamide and W.Porowski EXPLICIT ESTIMATES IN INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY. Kodai math. J.45(2022), 175-236. Электронный ресурс: https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/eeiut.pdf Дата последнего обращения- 7.07.2023.
6. Эрика Кларрайх. ʺТитаны математики спорят из-за эпического доказательства abc-гипотезыʺ. Электронный ресурс: https://www.quantamagazine.org/titans-of-mathematics-clash-over-epic-proof-of-abc-conjecture-20180920/ Дата последнего обращения- 7.07.2023.
7. Виноградов И.М. Основы теории чисел: Учебное пособие. 11-е изд.-СПб. Изд-во ʺЛаньʺ, 2006.-176 с.
8. Агафонцев В.В. Возвращаясь к доказательству abc-теоремы// Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LX междунар. науч.-практ. конф. №2(51). – Новосибирск: СибАК, 2023. – С. 22-28. Электронный ресурс: https://sibac.info/conf/technology/51/281404 Дата последнего обращения- 7.07.2023.
9. Агафонцев В.В. Abc- гипотеза и её доказательство// Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXII междунар. науч.-практ. конф. №4(53). – Новосибирск: СибАК, 2023. – С. 17-24. Электронный ресурс: https://sibac.info/conf/technology/53/286754 Дата последнего обращения- 7.07.2023.