АВС-ГИПОТЕЗА И ЕЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

THE ABC-HYPOTHESIS AND ITS PROOF

Valery Agafontsev

Candidate of Science, retired,

Russia, Pskov

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается доказательство abc-гипотезы, представленной равенством  , в котором – любые ненулевые положительные взаимно простые целые числа.

ABSTRACT

This paper deals with the proof of the abc-hypothesis represented by the equality a+b=c, in which a,b,c are any nonzero positive mutually prime integers.

Ключевые слова: abc-гипотеза, доказательство abc-гипотезы, возможный подход к доказательству abc-гипотезы.

Keywords: abc-hypothesis, proof  of the abc-hypothesis, a possible approach to the proof of the abc-hypothesis.

Вводная часть

Прежде, чем формулировать abc-гипотезу, напомним входящее в неё понятие радикала натурального числа. В соответствии с [1; С. 15-16] любое натуральное число  может быть единственным образом разложено на простые сомножители:

,         (1)

где  простые сомножители,  – их повторяемость в числе n; =[1, k].

Радикалом  числа  называется выражение вида

         (2)

То есть, радикал числа  – это произведение первых степей простых сомножителей числа n.

Если число  является простым либо составным, равным произведению простых сомножителей  , то

Следовательно, в общем случае, учитывая (1):

Для операции сложения  ненулевых натуральных взаимно простых чисел вводят понятие радикала , определяемого как произведение радикалов чисел , то есть

В 1985 году английский математик Дэвид Массер и в 1988 году французский математик Джозеф Остерле выдвинули гипотезу, в одной из нескольких эквивалентных её формулировок имеющую такой вид [2], [3]: Для каждого положительного действительного числа  существует константа  такая, что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел a,b,c, удовлетворяющих равенству , выполняется соотношение  .

Часто гипотезу Остерле- Массера называют abc-гипотезой.

Теоретико-доказательная часть

abc-ТЕОРЕМА. Для каждого положительного действительного числа  существует константа  такая, что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел a,b,c, удовлетворяющих равенству , выполняется соотношение

Доказательство

Имеется равенство

,            (6)

в котором  – суть любые положительные взаимно простые целые числа.

В равенстве (6) число  может быть простым (примеры – равенства: , ) или составным (примеры – равенства: , , ).

Если в числе  повторяемость всех простых чисел однократная (пример: равенство ) либо само число  является простым (пример: ), то в соответствии с равенством (3)

Если в числе  повторяемость простого числа не менее, чем двукратная (примеры – равенства: , ), то

где   - есть произведение тех сомножителей числа  , показатели степени которых, уменьшенные на 1, остаются большими 0.

Так, для равенства : , .

Для равенства  :  ,  .

Умножим правую часть равенства (8) на число . Получим:

В соотношении (9) знак равенства будет, если в выражении (6) . Примеры: , .

В примере  : ,  .

В примере : ,  .

Умножим правую часть соотношения (9) на число . Получим:

В выражении (10) знак строгого неравенства будет потому, что в равенстве (6), допускающем , с необходимостью следует , что вытекает, начиная с равенства . Следовательно, .

В зависимости от чисел  между числом  и радикалом  возможны только соотношения двух типов:

Соотношения третьего типа, когда , быть не может, так как в противном случае это означало бы в силу равенств (5) и (7) при простом числе  возможность выполнения равенства

чего быть не может.

Если число  простое либо составное, равное произведению простых чисел с однократной их встречаемостью, то для любого такого числа  выполняются только соотношения первого типа. Действительно, в этом случае из выполнимости равенств (5) и (7) следует выполнимость такого равенства:

Следовательно, .

Если число  - составное, равное простому числу с двукратной и более его встречаемостью, то для такого  в зависимости от чисел  могут выполняться соотношения как первого, так и второго типа. Подтвердим сказанное двумя примерами.

Пример 1. Пусть в равенстве (6) . Тогда при ,  или при ,  выполнится соотношение первого типа, так как

С другой стороны, для того же числа   при ,  выполнится соотношение второго типа, так как

Пример 2. Пусть в равенстве (6) . Тогда при ,  или при ,  выполнится соотношение первого типа, так как

С другой стороны, для того же числа   при ,  или при  ,  выполнится соотношение второго типа, так как

Нетрудно убедиться в том, что неравенство (10), включающее коэффициент , становится выполнимым для любого вида соотношения между числами  и . При этом число  может быть как простым, так и составным. Числа  и , как показывают выше приведённые примеры, могут быть любыми, удовлетворяющими условиям выполнения равенства (6).

В правой части неравенства (10) два сомножителя: первый сомножитель – , второй – . Увеличим второй сомножитель, сделав его равным , где  – любое положительное действительное число, большее нуля. Тогда сохранение неравенства (10) будет обеспечено  выполнением такого равенства:

,

в котором сомножитель  равен

Очевидно, что для каждого положительного действительного числа  существует своё число . Неравенство (10) с учётом соотношения (12) представится так:

что и требовалось доказать.

В работе [4] посредством теоретического и эмпирического подхода  показана выполнимость неравенства (13) для случая разных чисел . В частности, рассматривались два равенства:  и . Для равенства , что больше числа . Для равенства , что меньше числа .

В данной работе теоретически доказана выполнимость неравенства (13). Подкрепим эмпирически истинность этого доказательства, а именно: покажем его выполнимость для случая, когда одно и то же число  представляется разными парами чисел .

Рассмотрим четыре равенства: 1) ;  2) ;

3) ; 4) .

Для равенств   и  .

В равенстве (12) будем задавать различные значения , определяя при этом значение  для каждого числа. Результаты сведём в таблицу 1.

Таблица 1.

Результаты

В таблице 1 видно, что каждому положительному действительному числу  соответствует своё число  При этом для рассматриваемых равенств  и  выполняется соотношение .

Для равенств   и .

В равенстве (12) будем задавать различные значения , определяя при этом значение  для каждого числа. Результаты сведём в таблицу 2.

Таблица 2.

Результаты

В таблице 2 видно, что каждому положительному действительному числу  соответствует своё число  При этом для рассматриваемых равенств  и  выполняется соотношение .

Вывод: неравенство (13) выполнимо для различных чисел , составляющих число  в равенстве (6).

Примечание.

1. В статье [4, c. 26-27] доказана выполнимость неравенства . Такое доказательство строилось на том, что неравенство  при  превращается в неравенство , в котором  может быть сколь угодно малым положительным числом, из чего и следует справедливость неравенства .

 Для четырёх исследуемых равенств определим число , при котором . Для равенства . Для равенства . Для равенства . Для равенства .

2.  В работах [2] и [3] на примере доказательства Великой теоремы Ферма показан большой научный потенциал -гипотезы. В настоящей работе и в статье [4] доказательством abc-теоремы такой потенциал становится реальностью.

Список литературы:

1. Виноградов И.М. Основы теории чисел: Учебное пособие. 11-е изд.-СПб. Изд-во ʺЛаньʺ, 2006.-176 с.
2. Орлов Д.О. ʺabc-гипотеза и её следствияʺ. Интернет-лекция академика РАН Орлова Д.О. Электронный ресурс - https://yandex.ru/video/preview/5891271784642681767; дата обращения 18.4.2023.
3. Савватеев А.В. ʺЖизнь после теоремы Ферма. ABC-гипотезаʺ. Интернет-лекция профессора МФТИ Савватеева А.В. Электронный ресурс- https://yandex.ru/video/preview/7650192428272565669; дата обращения 18.4.2023.
4. Агафонцев В.В. Возвращаясь к доказательству abc-теоремы// Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LX междунар. науч.-практ. конф. №2(51). – Новосибирск: СибАК, 2023. – С. 22-28. Электронный ресурс-https://sibac.info/conf/technology/51/281404