ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ ЭСТЕРЛЕ–МАССЕРА (ABC ГИПОТЕЗА)

​PROOF OF THE ESTERLE–MASSER CONJECTURE (ABC CONJECTURE)

Vladimir Stroganov

Engineer, retired,

Russia, Kaliningrad

АННОТАЦИЯ

В 1983 г. Ричард Мейсон обратил внимание на то, что один случай Великой теоремы Ферма никем никогда не рассматривался, речь идет о первых степенях. Иными словами, об уравнении . В 1985 г. Дэвид Массер и Джозеф Эстерле модифицировали это утверждение и предложили вариант гипотезы, который не противоречит никаким известным примерам.

В статье простым для понимания изложением математического материала предложено ознакомиться с несложным доказательством гипотезы Эстерле–Массера ( гипотеза).

ABSTRACT

In 1983, Richard Mason drew attention to the fact that one case of Fermat's Last Theorem has never been considered by anyone, we are talking about first powers. In other words, about the equation . In 1985, David Masser and Joseph Esterle modified this statement and proposed a variant of the hypothesis that does not contradict any known examples.

In the article, with an easy-to-understand presentation of mathematical material, it is proposed to familiarize yourself with a simple proof of the Esterle–Masser conjecture ( conjecture).

Ключевые слова: ABC гипотеза, гипотеза Эстерле-Массера.

Keywords: ABC hypothesis, the Esterle-Masser hypothesis.

Введение

Евклид и Диофант знали рецепт для пифагоровых троек, который мы сегодня записываем в виде формулы. В 1851 г. Жозеф Лиувилль доказал, что для уравнения Ферма для степеней 3 и выше подобной формулы не существует.

При рассмотрении гипотезы ABC я предлагаю использовать простое разложение степеней на квадратные степени, находящиеся в корне каждого числа и коэффициенты кратности при них. Это максимально упрощает понимание сути решения и приводит к очевидной наглядности выполняемых действий.

Introduction

Euclid and Diophantus knew the recipe for Pythagorean triples, which we write down today as a formula. In 1851, Joseph Liouville proved that there is no such formula for Fermat's equation for degrees 3 and above.

When considering the ABC hypothesis, I propose to use a simple expansion of powers into square powers at the root of each number and their multiplicity factors. This simplifies the understanding of the essence of the solution as much as possible and leads to the obvious visibility of the actions performed.

Теоретико-доказательная часть

Формулировка гипотезы: ABC -гипотеза говорит о том, что тройки, для которых выполняется неравенство , встречаются в некотором смысле реже. Иначе можно сказать, что трудно найти такие взаимно простые числа, разложение которых содержит высокие степени, и разложение суммы этих чисел также содержит высокие степени.

Для любого действительного  существует зависящая от  константа  такая, что уже вообще для всех взаимно простых ;  ; 

Слабые формулировки гипотезы утверждают, что неравенство выполняется только для конкретных  и конкретных констант. Одна из слабых, но важных формулировок гипотезы утверждает, что для  константа  тоже равна 1, и поэтому

В этом виде гипотеза прямо утверждает, что сумма чисел, являющихся произведением простых в больших степенях, не может быть произведением простых чисел в больших степенях.

То есть, сумма простых чисел  в равных степенях ; или неравных ; не может быть произведением простых чисел  в степенях ;  - целые взаимно простые положительные числа,  -целые положительные числа.

Предположим, что равенство, представленное одинаковыми степенями  верно.  -целые положительные взаимно простые числа.  -целое положительное число.

Разложим числа на квадратные степени и коэффициенты кратности при них:

Разделив обе части уравнения на коэффициент кратности  при квадрате основания  получим:

;        ;

В правой части целочисленного уравнения при бесконечном количестве переменных , получены дробные величины квадратов от переменных  меньше единицы, представляющие собой неустранимое противоречие. Это исключает наличие равенства в данном целочисленном уравнении.

; отсюда: 

Рассмотрим вариант, с разными показателями степеней.

Предположим, что равенство, представленное неравными степенями , истинно.  -целые положительные взаимно простые числа.  -целые положительные числа.

Разложим все числа уравнения на квадратные степени и коэффициенты кратности при них: 

Разделив обе части уравнения на коэффициент кратности  при квадрате основания , где  по определению, получим:

;      ;

Вновь в правой части целочисленного уравнения получено неустранимое противоречие в виде дробных квадратных величин меньше единицы, свидетельствующее о том, что уравнение не может являться равенством в целых числах.

; следовательно: .

Действительно, выше вторых степеней ; сумма чисел, являющихся произведениями простых в больших степенях, не может быть произведением простых чисел в больших степенях.

Для вторых степеней ; где  -взаимно простые целые положительные числа.  ; ; - начальные условия численных значений переменных. ; где: ;  ;

Отсюда: ; и следовательно:

Что и требовалось доказать.

Это полное и достаточное доказательство гипотезы Эстерле-Массера.

Evidence-theoretic part

Statement of the hypothesis: ABC-hypothesis says that the triples for which the inequality  is satisfied are, in a certain sense, less common. In other words, it can be said that it is difficult to find coprime numbers whose expansion contains high powers, and the expansion of the sum of these numbers also contains high powers.

For any real  there exists a constant  depending on  such that, in general, for all coprime ;  ; 

Weak formulations of the conjecture state that the inequality holds only for specific6 and specific constants. One of the weak but important formulations of the conjecture states that for  the constant  is also equal to 1, and therefore

In this form, the conjecture directly states that the sum of numbers that are the product of primes to large powers cannot be the product of primes to large powers.

That is, the sum of prime numbers  in equal powers ; or unequal; cannot be a product of prime numbers  in powers ;  - integer coprime positive numbers,  - integer positive numbers.

Assume that equality represented by equal powers  is true.  are positive integer coprime numbers.  is a positive integer.

Let's decompose the numbers into square powers and their multiplicity factors:

Dividing both parts of the equation by a multiplicity factor of   with the square of the base , we get:

;  ;

On the right side of the integer equation with an infinite number of variables , fractional values of the squares of the variables  less than one are obtained, which is an unremovable contradiction. This rules out the presence of equality in the given integer equation.

; from here: ;

Consider a variant with different exponents.

Assume that equality represented by unequal powers of   is true.  are positive coprime integers.  are positive integers.

Let us decompose all the numbers of the equation into square powers and their multiplicity factors:

Dividing both parts of the equation by the multiplicity factor  at the square of the base , where  by definition, we get:

;   ;

Again, on the right side of the integer equation, an irremovable contradiction is obtained in the form of fractional square values less than one, indicating that the equation cannot be an equality in integers.

; hence: .

Indeed, above the second degrees ; the sum of numbers that are products of primes to higher powers cannot be the product of primes to higher powers.

For the second degrees ; where  are mutually prime positive integers. ;  ; initial conditions for numerical values of variables.  ; where: ;  ;

From here: ; and therefore:

Q.E.D.

This is a complete and sufficient proof of the Esterle-Masseur conjecture.

Список литературы:

1. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы. М.: Просвещение, 1990. Стр. 89. 
2. Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студентов высших учебных заведений. -М.: Издательский центр "Академия", 2008. - 272 с.
3. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959. Стр. 5.
4. Строганов В. Н. Об особенностях n>2 степеней. СибАК, 2022.
5. Строганов В. Н. Решение уравнения гипотезы Била. СибАК, 2022.