АВС-ТЕОРЕМА КАК ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АВС-ГИПОТЕЗЫ

​ABC-THEOREM AS A PROOF OF THE ABC-HYPOTHESIS

Valery Agafontsev

Candidate o f Science, retiree,

Russia, Pskov

Профессору БРУСАКОВОЙ И.А.

п о с в я щ а е т с я

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается доказательство abc-гипотезы, представленной равенством  , в котором – любые ненулевые  положительные взаимно простые целые числа.

ABSTRACT

In this paper we consider a proof of the abc-hypothesis represented by the equality a+b=c, in which a,b,c are any nonzero positive mutually prime integers.

Ключевые слова: abc-гипотеза, доказательство abc-гипотезы, возможный подход к доказательству abc-гипотезы.

Keywords: abc-hypothesis, proof  of the abc-hypothesis, a possible approach to the proof of the abc-hypothesis.

Вводная часть

 Прежде, чем формулировать abc-гипотезу, определим входящее в неё понятие радикала натурального числа. В соответствии с [1; С. 15-16]   любое натуральное число  может быть единственным образом разложено на простые сомножители:

,                           (1)

где  простые сомножители,  – их повторяемость в числе ; =(1, k).

Радикалом  числа  называется выражение вида

                           (2)

То есть, радикал числа  – это произведение первых степей простых сомножителей числа . Очевидно, всегда   не может быть больше . Рассмотрим примеры.

1. Числа 6, 24, 108 имеют радикал, равный 6, так как эти числа единственным образом могут быть разложены на простые сомножители:

 6;  ;   . Пример записи: .

2. Числа 30, 90, 150 имеют радикал, равный 30, так как эти числа единственным образом могут быть разложены на простые сомножители:   

; 9; 150. Пример записи: .

Для операции сложения  ненулевых натуральных взаимно простых чисел вводят понятие радикала  , определяемого как произведение радикалов чисел , то есть

Примеры.

1. Рассмотрим равенство . Будем считать . Определим для этого равенства .

В данном случае

2. Рассмотрим равенство . Будем считать , , . Определим для этого равенства .

В этом случае

В 1985 году английский математик Дэвид Массер (David Masser) и в 1988 году французский математик Джозеф Остерле (Joseph Oesterlé) сформулировали такую гипотезу [2], [3], [4]: для каждого положительного действительного числа  существует константа  такая, что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел a,b,c, удовлетворяющих равенству, выполняется соотношение  .

Часто гипотезу Массера-Остерле называют abc-гипотезой.

Теоретико-доказательная часть

Докажем истинность abc-гипотезы для общего случая, представленного равенством

в котором  a суть любые ненулевые положительные взаимно простые целые числа.

abc-ТЕОРЕМА. Для каждого положительного действительного числа  существует константа  такая, что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел a,b,c, удовлетворяющих равенству , выполняется соотношение

 .

Доказательство.

В выражении  исключается случай , так как он противоречит условию взаимной простоты чисел  и . Во всех случаях , следовательно, . Не уменьшая общности, будем считать, что

Рассмотрим выражение , в котором  может быть любым сколь угодно большим положительным действительным числом. При таком условии выполнимо соотношение

Значение , как и значение , не может быть меньше 1. Тогда из соотношения (7) при условии (6) следует такое неравенство:

Значение  не может быть меньше 2. В обоснование этого рассмотрим два равенства: 1) ; 2) . Первое равенство определяет наименьшее возможное значение числа , равное . Второе равенство определяет минимальное значение , равное . Действительно, если предположить существование для  меньшего значения, равного , то в этом случае число  должно быть равно только 1, что противоречит наименьшему значению числа , равному . Таким образом, всегда . Следовательно, исходя из (8) выполнится такое неравенство:

Учитывая, что , из неравенства (9) следует:

Существует положительное действительное число , большее, чем       . Любое действительное число может быть представлено произведением двух чисел. Простое число представляется произведением единицы на это число. Следовательно, и число  может быть представлено произведением двух чисел, а именно: числа   , в котором положительное действительное число , и числа , зависящего от .

Так как , то выполнится неравенство

Из неравенств (11) и (10) следует соотношение

Что и требовалось доказать.

Отметим, что в этой статье в дополнение к работе [5] дано доказательство того, что для равенства , в котором  a суть любые ненулевые положительные взаимно простые целые числа,  не может быть меньше 2.

Убедимся в истинности соотношения (12) на примере случаев, когда:

1) ; этому случаю соответствуют такие равенства: 1,   ;

2); этому случаю соответствуют такие равенства:     ,  .

Третьего случая, когда , быть не может, так как для простого числа  это означало бы выполнение равенства

 ,

из которого следует

,

чего быть не может при .

Перейдём к примерам. Рассмотрим равенство 1. Пусть , , . Тогда , что больше . С помощью компьютерной программы «Калькулятор» будем задавать различные значения , определяя при этом значение числа , удовлетворяющее соотношению (12). Результаты сведём в таблицу 1. Подобную процедуру выполним и с равенством 1, полагая , , . Для этого равенства , что больше . Результаты сведём в таблицу 2.

Рассмотрим равенство . Пусть , , . Тогда , что меньше . С помощью компьютерной программы «Калькулятор» будем задавать различные значения , определяя при этом значение числа , удовлетворяющее соотношению (12). Результаты сведём в таблицу 3. Подобную процедуру выполним и с равенством , полагая , , . Для этого равенства , что меньше . Результаты сведём в таблицу 4.

Анализируя представленные таблицы, можно убедиться в том, что для каждого положительного действительного числа  существует такое число , что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел a,b,c, удовлетворяющих равенству , выполняется соотношение . Действительно, так в таблице 3 числу  соответствует число . Учитывая, что в равенстве  , а , с помощью программы «Калькулятор» можно убедиться в выполнимости названного соотношения, принимающего при данных значениях такой вид:

В таблице 4 числу  соответствует число . Учитывая, что в равенстве , а , с помощью программы «Калькулятор» можно убедиться в выполнимости названного соотношения, принимающего при данных значениях такой вид:

Подобную проверку можно выполнить для всех четырёх таблиц.

Вывод: чисто эмпирически мы проверили гипотезу, а перед тем доказали её истинность.

Список литературы:

1. Виноградов И.М. Основы теории чисел: Учебное пособие. 11-е изд.-СПб. Изд-во ʺЛаньʺ, 2006.-176 с.
2. Электронный ресурс - https://ru.wikibrief.org/wiki/Abc_conjecture; (дата обращения: 9.11.2022).
3. Орлов Д.О. ʺabc-гипотеза и её следствияʺ. Интернет-лекция члена-корреспондента РАН Орлова Д.О. Электронный ресурс -https://yandex.ru/video/preview/5891271784642681767; (дата обращения: 4.11.2022).
4. Савватеев А.В. ʺЖизнь после теоремы Ферма. abc-гипотезаʺ. Интернет-лекция профессора МФТИ Савватеева А.В. Электронный ресурс – https://yandex.ru/video/preview/15206632170059407860; (дата обращения: 4.11.2022).
5. Агафонцев В.В. О возможном доказательстве abc-гипотезы // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LVII междунар. науч.-практ. конф. № 11(48). – Новосибирск: СибАК, 2022. – С. 35-40. Электронный ресурс - https://sibac.info/conf/technology/48/270093; (дата обращения: 2.12.2022).