О ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ abc-ГИПОТЕЗЫ

​ABOUT A SPECIAL CASE OF THE abc-HYPOTHESIS

Valery Agafontsev

Candidate o f Science, retiree,

Russia, Pskov

Дочерям моим

Наталье и Татьяне

п о с в я щ а е т с я

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается частный случай abc-гипотезы, представленный равенством , в котором  – любые ненулевые натуральные числа при условиях: 1) ; 2) .

ABSTRACT

This paper considers a particular case of the abc-hypothesis represented by the equality , in which  are any nonzero natural numbers under the following conditions: 1) ; 2) z≥2.

Ключевые слова: abc-гипотеза, частный случай abc-гипотезы.

Keywords: abc-hypothesis, particular case of the abc-hypothesis.

Вводная часть

Прежде, чем формулировать abc-гипотезу, представим входящее в неё понятие радикала натурального числа. В соответствии с [1; С. 15-16] любое натуральное число  может быть единственным образом разложено на простые сомножители:

,              (1)

где  простые сомножители,  – их повторяемость в числе ;  изменяется от 1 до .

Радикалом  числа  называется выражение вида

              (2)

То есть, радикал числа  – это произведение первых степей простых сомножителей числа . Очевидно, всегда . Рассмотрим примеры.

1. Числа 6, 12, 18 имеют радикал, равный 6, так как эти числа единственным образом могут быть разложены на простые сомножители:

; ; . Пример записи: .

2. Числа 70, 350, 490 имеют радикал, равный 70, так как эти числа единственным образом могут быть разложены на простые сомножители:  

; 35; 49.Пример записи: .

Для операции сложения  ненулевых натуральных взаимно простых чисел вводят понятие радикала  , определяемого как произведение радикалов чисел , то есть

Примеры.

1. Рассмотрим равенство . Будем считать . Определим для этого равенства .

В данном случае

2. Рассмотрим равенство . Будем считать , , . Определим для этого равенства .

В данном случае

В 1985 году английский математик Дэвид Массер и в 1988 году французский математик Джозеф Остерле сформулировали такую гипотезу [2] [3]: для каждого положительного действительного числа  существует константа  такая, что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел a,b,c, удовлетворяющих равенству , выполняется соотношение .

Часто гипотезу Массера-Остерле называют abc-гипотезой.

Теоретико-доказательная часть

Докажем истинность abc-гипотезы для случая, представленного равенством

где  ̶ суть любые ненулевые положительные целые числа, , . В обозначениях , ,  докажем истинность abc-гипотезы в такой её формулировке: для каждого положительного действительного числа  существует константа  такая, что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел  , удовлетворяющих равенству  выполняется соотношение

Доказательство.

В соответствии с леммой 2 [4] необходимое и достаточное условие выполнения равенства (4) требует выполнении такой триады равенств:

где  ℕ₀

Здесь и далее символом ℕ обозначены натуральные, то есть положительные целые числа без нуля. Символом ℕ₀ обозначены натуральные числа c нулём.

По условию числа  и  являются взаимно простыми, что исключает их равенство. Следовательно, одно из них больше другого. Не нарушая общности, будем считать, что . У большего числа  значение  не может быть равно нулю, так как в противном случае у меньшего числа  число  также будет равно нулю, что приведёт к невыполнимости равенства (7). Из сказанного следует, что , поэтому безусловно выполнится неравенство

Из неравенства (8) следует кортеж неравенств вида

где К- некоторое положительное действительное число; такое число всегда существует, учитывая, что другой сомножитель ;  – положительное действительное число, от которого зависит число , являющееся положительным действительным числом.

Из неравенства (9) следует соотношение

Отметим, что соотношение (10) выполнимо для любых ненулевых положительных целых чисел  при условиях , .

Соотношение между числом  и числом  представимо такими и только такими двумя случаями:

1. ; ему соответствуют, например, такие равенства: ; ; .
2. ; ему соответствуют, например, такие равенства: ; ; .

Докажем, что оба эти случая удовлетворяют соотношению (10). Для первого случая

Из (11) следует выполнимость соотношения (10), что и требовалось доказать.

Для второго случая, когда , также выполняется соотношение (10). Действительно, для любого положительного целого числа, в том числе и для , существует большее положительное действительное число , в котором

-  заведомо больше ,  – положительное действительное число,

-  - положительное действительное число.

Если  и при этом , то . Тогда для любого положительного действительного числа  существует такое положительное действительное число , что  будет больше, чем . Следовательно, выполнится неравенство (11), из которого следует выполнимость соотношения (10), что и требовалось доказать.

Рассмотрим примеры. Покажем истинность гипотезы Остерле-Массера (истинность abc-гипотезы) для случая, представленного равенством , где  ̶ суть любые ненулевые натуральные числа, , .

Рассмотрим равенство . В этом случае , , . С помощью компьютерной программы «Калькулятор» можно убедиться в том, что при любом  и значении  соотношение  всегда выполнимо.

Рассмотрим равенство . В этом случае , , . С помощью компьютерной программы «Калькулятор» можно убедиться в том, что при любом  и значении  соотношение  всегда выполнимо.

Вывод: как в случае , так и в случае  представленное доказательство частного случая гипотезы Остерле-Массера (abc-гипотезы) подтверждается, а именно: для каждого положительного действительного числа  существует константа  такая, что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел  , удовлетворяющих равенству  выполняется соотношение

В заключение отметим, что abc-гипотеза в случае доказательства её общего случая позволит по новому подойти к решению некоторых математических проблем. Так в [5] приведено тривиальное доказательство теоремы Ферма. Отметим, что подобное доказательство можно построить, используя рассмотренное выше и доказанное утверждение частного случая abc-гипотезы.

Список литературы:

1. Виноградов И.М. Основы теории чисел: Учебное пособие. 11-е изд.-СПб. Изд-во ʺЛаньʺ, 2006.-176 с.
2. Электронный ресурс - https://ru.wikibrief.org/wiki/Abc_conjecture; (дата обращения: 9.11.2022).
3. Орлов Д.О. ʺabc-гипотеза и её следствияʺ. Интернет-лекция члена-корреспондента РАН Орлова Д.О. Электронный ресурс -https://yandex.ru/video/preview/5891271784642681767; (дата обращения: 4.11.2022).
4. Агафонцев В.В. ГИПОТЕЗА БИЛА И ЕЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО  // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LIII междунар. науч.-практ. конф. № 7(45). – Новосибирск: СибАК, 2022. – С. 9-24. Электронный ресурс - https://sibac.info/conf/technology/45/261499; (дата обращения: 8.07.2022).
5. Савватеев А.В. ʺЖизнь после теоремы Ферма. abc-гипотезаʺ. Интернет-лекция профессора МФТИ Савватеева А.В. Электронный ресурс – https://yandex.ru/video/preview/15206632170059407860; (дата обращения: 4.11.2022).