ГИПОТЕЗА БИЛА; ЕЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО МАТЕМАТИКОЙ ЭЙЛЕРА

​BEAL’S CONJECTURE; IT’S PROOF BY EULER'S MATHEMATICS

Valery Agafontsev

Candidate of Science, retiree,

Russia, Pskov

Эндрю Билу (Andrew Beal) с искренним восторгом

и благодарностью за гениальную гипотезу

посвящается

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается возможный подход к доказательству гипотезы Била, основанный на использовании позиционных нумераций с произвольным целочисленным основанием и на доказательстве частного случая Великой теоремы Ферма, рассмотренного Леонардом Эйлером для n=3.

ABSTRACT

This paper considers a possible approach to proving Beal's conjecture based on the use of positionals numberings with an arbitrary integer base and on the proof of a particular case of Fermat's Grand Theorem, considered by Leonard Euler for n=3.

Ключевые слова: гипотеза Била, позиционные нумерации с произвольным целочисленным основанием.

Keywords: Beal’s conjecture, positional numberings with an arbitrary integer base.

Введение

Следуя книге [1], определяющей в широком смысле системы счисления как нумерации, под понятием позиционные нумерации будем понимать позиционные системы счисления с произвольным целочисленным основанием.

Напомним гипотезу Била. В 1993 году любитель математики из США Эндрю Бил (Andrew Beal) выдвинул гипотезу, интересную своим научным потенциалом. Формулировка гипотезы Била: If  where  and  are positive integers and  and  are all greater than 2, then  and  must have a common prime factor. В переводе на русский: Если  где  - натуральные числа;  то имеют общий простой делитель. В настоящее время гипотеза Била зарегистрирована в Американском математическом обществе (American Mathematical Society) как Beal’s conjecture.

Отметим, что в работе [2] был рассмотрен возможный подход к доказательству гипотезы Била, основанный на факте доказательства Последней (Великой) теоремы Ферма по Эндрю Уайлсу. Как известно, такое доказательство построено на вершинных достижениях математики XX века [3], [4]. Интересным является вопрос о том, возможен ли подход к доказательству гипотезы Била на инструментариях эпохи Эйлера, то есть на математике XVIII века? Попытаемся ответить на поставленный вопрос.

Теоретико-доказательная часть

Обратимся к лемме 2, доказанной в работе [2]. Напомним формулировку леммы 2.

Лемма 2. Необходимое и достаточное условие выполнения равенства

, (1)

в котором  и  ̶ суть любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, , представимо триадой равенств:

где  ℕ₀

Здесь и далее символом ℕ обозначены натуральные, то есть положительные целые числа без нуля. Символом ℕ₀ обозначены натуральные числа c нулём.

Так как числа  и   ̶ суть любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, удовлетворяющие равенству (1), то, следовательно, эти числа могут быть и любыми степенями ненулевых натуральных взаимно простых чисел (например:  и , где ; ), удовлетворяющих равенству , в котором ; ; , , .

Равенство (1), исходя из леммы 2, представимо так:

Данное равенство в соответствии с равенством (3) порождает такую цепочку (кортеж) равенств:

1. ,
2. ,
3. ,
4. 

 ,

И так далее до показателя степени  числа .

Отметим, что во всех равенствах кортежа стоит одно и то же число . Убедимся в этом на двух числовых примерах.

Рассмотрим равенство В соответствии с равенствами (2) и (3):

Нетрудно убедиться в выполнимости равенств 1), 2), 3), 4). В данном примере кортеж равенств 1), 2), 3), 4), порождаемых равенствами (4) и (3), соответствует равенству вида , в котором ;   

Рассмотрим равенство В соответствии с равенствами (2) и (3):

Нетрудно убедиться в выполнимости равенств 1), 2), 3). В этом примере кортеж равенств 1), 2), 3), порождаемых равенствами (4) и (3), соответствует равенству вида , в котором ;   Отметим, что в рассмотренных примерах один из показателей  или  равен .

Докажем невыполнимость равенства (4) в том случае, когда в гипотетическом равенстве ;   , .

Теорема 1. Равенство

невыполнимо для любых наборов чисел ; 1,  с которыми выполнялись бы равенства

при условиях:

Доказательство. От противного! А именно: предположим выполнимость равенства (5) при заданных условиях хотя бы для одного набора чисел .В соответствии с заданными условиями и леммой 2 числа  равенства (5) порождают цепочку (кортеж) из  равенств; в правой части таких равенств стоит число  в степени, возрастающей от 0 до . Этот кортеж из  равенств начинается со следующей цепочки равенств:

1. ,
2. ,
3. .

Но указанные равенства при заданных условиях , ,  невыполнимы для любых наборов чисел , так как в противном случае по лемме 2 цепочка из этих выражений могла порождаться и равенством , в котором , , . Но равенство  невыполнимо для любых ненулевых чисел , так как по теореме Эйлера диофантово уравнение  не имеет решений в целых отличных от нуля числах [5, с. 34-38], [6, с. 57-60], [7]. Несуществование числа  при заданных условиях , , , ведущее к невыполнимости первых трёх равенств кортежа, означает невыполнимость всех  равенств кортежа. Таким образом, предположение о выполнимости равенства (5) для некоторого набора чисел ; с которым выполнялись бы равенства , ,  при условиях  , , ,  является ложным, так как через последовательность импликаций приводит к противоположному утверждению, заключающемуся в том, что равенство (5) при тех же условиях невыполнимо для любых наборов чисел , где . В силу фундаментального закона логики – закона противоречия, сформулированного Аристотелем: «невозможно, чтобы противоречащие утверждения были истинными по отношению к одному и тому же» [8, с. 90, глава III, раздел «Учение об истине и законах мышления»], приходим к выводу об истинности заключения теоремы 1, то есть о том, что при заданных условиях равенство (5) невыполнимо; следовательно, при тех же условиях выполнимо неравенство

что и требовалось доказать.

Далее для удобства дальнейшего прочтения повторим описание теоремы 2, теоремы 3 и утверждения, представленных в работе [2].

Теорема 2. Равенство  в котором , при  , невыполнимо для любых взаимно простых чисел .

Доказательство. Предположим обратное, а именно: выполнимость равенства , в котором , при , хотя бы для одного набора чисел . В этом случае, в соответствии с леммой 2 и равенствами (2) должна следовать выполнимость такого равенства:

Но правая часть этого равенства, исходя из выражения (7) и в соответствии с теоремой 1, для любых наборов чисел ; ; , ,  не равна числу . Следовательно, . Это означает, что исходное утверждение, основанное на предположении о выполнимости равенства  при , ,  хотя бы для одного набора натуральных чисел , через последовательность импликаций привело к противоположному утверждению. В силу закона логики – закона противоречия – приходим к выводу о ложности нашего предположения и, следовательно, об истинности заключения теоремы 2, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Равенство  в котором  при  , выполнимо для составных натуральных чисел , имеющих общий делитель.

Доказательство. Покажем, что равенство , в котором все показатели степени больше 2 и , может быть порождено, например, одним из таких равенств:

в которых  и один из показателей степени  или  или  равен 2, а два других – больше 2.

Для случая (а): умножим левую и правую части равенства на число ; для случая (b) – на число  . Получим:

Обозначим:

для a):

для b):

Для случая а): , так как  и . Для случая b): , так как  и . С учётом этих обозначений равенства a) и b) запишутся так:

Равенство (20) соответствует заключению теоремы 3, так как в нём  и числа  являются составными натуральными числами, имеющими общий делитель, что и требовалось доказать.

Приведём примеры, показывающие истинность теоремы 3. Возьмём тройки чисел  и ; для них выполняются равенства  и . Осуществляя процедуры, подобные приведённым выше, получим соответственно:

;

Отметим, что равенство  в котором  и  может быть порождено не только рассмотренными равенствами вида a) и b). Примером другого способа получения равенства  с показателями степени, большими 2, является числовое равенство  Умножим левую и правую его части на  Получим равенство

Далее, действуя, как и в случае с равенством b), получим

Очевидно, как и в случаях с равенствами a) и b), члены этого равенства представляются составными натуральными числами, имеющими общий делитель и находящимися в степени, большей 2.

Утверждение. Равенство  в котором , при  выполнимо только для составных натуральных чисел , имеющих общий делитель.

Доказательство. Сопоставим теоремы 2 и 3.

Теоремой 2 доказано: равенство  в котором , при  невыполнимо для любых взаимно простых чисел .

Теоремой 3доказано: равенство  в котором , при  выполнимо для составных натуральных чисел , имеющих общий делитель.

Из сопоставления теорем 2 и 3 в части их условия и заключения следует истинность утверждения, что и требовалось доказать.

Из выше изложенного следует, что представленную последовательность импликаций можно рассматривать как возможный подход к доказательству гипотезы Била (Beal’s conjecture).

Список литературы:

1. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия: в 3 т. / под ред. А.П. Юшкевича, Т.1, М.: Наука, 1970.
2. Агафонцев В.В. ГИПОТЕЗА БИЛА И ЕЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LIII междунар. науч.-практ. конф. № 7(45). – Новосибирск: СибАК, 2022. – С. 9-24. Электронный ресурс - https://sibac.info/conf/technology/45/261499; (дата обращения: 8.07.2022).
3. Wiles A. Modular elliptic curves and Fermatʹs last theorem, Annals of Mathematics, 143: 3 (1995), 443-551.
4. Соловьёв Ю.П. Гипотеза Таниямы и Последняя теорема Ферма, Соросовский образовательный журнал, №2 (1998), -С. 135-138.
5. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел.-М.: Наука, 1982.
6. Эдвардс Г [Edwards H.] Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с англ. В.Л. Калинина и А.И. Скопина / под ред. Б.Ф. Скубенко.- М.: Мир, 1980.
7. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Матем. Заметки. 2007. № 82:3. С. 395-400.
8. Маковельский А.О. История логики. Жуковский-Москва, Изд-во «Кучково поле», 2004.- 480 с.