ГИПОТЕЗА БИЛА И ЕЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

BEAL’S CONJECTURE AND ITS PROOF

Valery Agafontsev

Candidate of Science, retiree,

Russia, Pskov

Моим любимым ныне здравствующим и безвременно ушедшим

посвящается.

АННОТАЦИЯ

В данной статье предложен возможный подход к доказательству гипотезы Била, основанный на использовании позиционных нумераций c произвольным целочисленным основанием и на факте доказательства Последней (Великой) теоремы Ферма по Эндрю Уайлсу.

ABSTRACT

This paper proposes a possible approach to the proof of Beal’s conjecture based on the use of positional numbering with arbitrary integer basis and on the fact of proving Andrew Wiles' Last (Great) Fermat theorem.

Ключевые слова: гипотеза Била, позиционные нумерации с произвольным целочисленным основанием.

Keywords: Beal’s conjecture, positional numbering with an arbitrary integer basis.

1. Введение

Следуя книге [1], определяющей в широком смысле системы счисления как нумерации, под понятием позиционные нумерации будем понимать позиционные системы счисления с произвольным целочисленным основанием.

1993 год. США. Любитель математики Эндрю Бил (Andrew Beal) выдвинул гипотезу, интересную своим научным потенциалом. Формулировка гипотезы Била: If  where  and  are positive integers and  and  are all greater than 2, then  and  must have a common prime factor. В переводе на русский: Если  где - натуральные числа;  то имеют общий простой делитель. Гипотеза Била зарегистрирована в Американском математическом обществе (American Mathematical Society) как Beal’s conjecture.

Построим возможный подход к доказательству гипотезы Била на методологическом базисе позиционных нумераций и на факте доказательства Последней (Великой) теоремы Ферма по Эндрю Уайлсу [2], [3]. Такой подход в тезисном плане изначально изложен в работе [4], затем в доработанном и более детальном виде представлен в работе [5]. В данной статье названный подход строится на доказательстве двух лемм, трёх теорем и утверждения, вытекающего из этих теорем. Рассмотрим их.

2. Теоретико-доказательная часть

Лемма 1. Число  где  и в С-ричной позиционной нумерации представимо равенством  в правой части которого содержится точно z нулей.

Доказательство. Между записью в С-ричной позиционной нумерации натурального числа А и его количественным эквивалентом устанавливается такое соответствие:

Записать некоторое число  в С-ричной позиционной нумерации означает определить коэффициенты  в разложении этого числа по степеням C и выписать эти коэффициенты в соответствии с весами С-ричных разрядов. Известно, что для целых чисел определение таких коэффициентов выполняется по следующему алгоритму: необходимо делить данное число  на основание С этой позиционной нумерации до тех пор, пока полученный остаток не будет меньше С. При этом остаток от первого деления даст значение младшего (правого, ) С-ричного разряда, остаток от второго деления даст значение второго справа  С-ричного разряда и так далее. Следовательно, запись любого натурального числа  в С-нумерации представится так:

где в правой части данного выражения содержится точно z нулей.

Докажем лемму 1 методом математической индукции.

Доказательство. Индукция по z.

База индукции. При  получаем:

В правой части равенства один нуль, значит, база индукции есть.

Гипотеза индукции. Предположим, что при  в правой части равенства

будет точно k нулей.

Индукционный переход. Докажем, что утверждение будет верно для  Действительно,

То есть число  где  и  в позиционной ричной нумерации представимо равенством  в правой части которого содержится точно  нулей, что и требовалось доказать.

На примерах двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной нумераций покажем истинность утверждения леммы 1. Действительно:

2 = (10)₂; 2² = (100)₂; 2³ = (1000)₂

8 = (10)₈; 8² = (100)₈; 8³ = (1000)₈

16 = (10)₁₆; 16² = (100)₁₆; 16³ = (1000)₁₆

Очевидно, что в каждом равенстве количество нулей в правой части равно показателю степени левой его части.

Лемма 2. Необходимое и достаточное условие выполнения равенства

,                                                                (1)

в котором  и  ̶ суть любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, , представимо триадой равенств:

где  ℕ₀

Здесь и далее символом ℕ обозначены натуральные, то есть положительные целые числа без нуля. Символом ℕ₀ обозначены натуральные числа c нулём.

Доказательство. Запишем правую и левую части равенства (1) в С-ричной позиционной нумерации; получим:

                                                      ( 4)

где число нулей в правой части равенства (4) в соответствии с леммой 1 равно точно z.

Из равенства (4) следует необходимое условие его выполнения. Такое условие заключается в том, что:

I. С-ричная запись каждого из чисел  и  в равенстве (4) должна содержать не более, чем z С-ричных разрядов. Действительно, правая часть равенства (4) представляет собой наименьшее целое С-ричное число, содержащее  разрядов, старший, -й, из которых имеет наименьшее ненулевое значение. Поэтому, если хотя бы одно из чисел  или  будет представляться  С-ричными разрядами, то это сделает равенство (4) невыполнимым, так как его левая часть будет заведомо больше правой части. Следовательно, числа  и  в их С-ричной записи представимы не более, чем  С-ричными разрядами:

Учитывая позиционность С-ричной нумерации, числа  и  в их количественном эквиваленте представимы так:

Здесь  По условию  следовательно, исходя из равенства (1)  и , поэтому  

II. В соответствии с равенством (4) поразрядные суммы С-ричных записей правой части равенств (5) должны удовлетворять таким соотношениям:

где . Переходя к количественному эквиваленту равенств (7), получим:

Выполнение равенств (6), (8) является не только необходимым, но и достаточным условием выполнения равенства (1). Действительно, если предположить, что равенства (6), (8) выполняются и сложить левые и правые части равенств (6) соответственно, а также учесть равенство (8), то получим равенство (1).

Примечание: доказать необходимость выполнения равенств (8) можно, руководствуясь ещё такими рассуждениями. Подставим в равенство (1) выражения для  и  из равенств (6). Учтём тождество

Получим:

Очевидно, что равенство (10) выполнимо при

Лемма 2 доказана.

Отметим, что изначально лемма 2 излагалась как лемма ʺАВСʺ, описанная в работах [6], [7]. В оформленном виде лемма 2 представлена в работе [5].

Убедимся в истинности леммы 2 на следующих примерах.

Пример 1: Пусть  Тогда в равенстве (1)  Исходя из равенств (5):   В соответствии с равенствами (6) и (8):   То есть лемма 2 выполняется.

Пример 2: Пусть  Тогда в равенстве (1)  Исходя из равенств (5):  ;   В соответствии с равенствами (6) и (8):   Выполнимы и равенства для  То есть лемма 2 выполняется.

Так как числа  и   ̶ суть любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, удовлетворяющие равенству (1), то, следовательно, эти числа могут быть и любыми степенями ненулевых натуральных взаимно простых чисел (например:  и , где ; ), удовлетворяющих равенству , в котором ; ; , , .

Убедимся в этом на примере таких случаев:

1) ; ; ;

2) ; ; ;

3) ; ; ;

4) ; ; ;

5) ;  ; ;

Рассмотрим случай 4. Для этого случая на примере  необходимое и достаточное условие выполнения равенства (1) в соответствии с равенствами (6), (8) запишется так:

Этому условию удовлетворяет тройка чисел (46, 3, 13), в которой Для данного равенства:

Для случая 4 на примере  необходимое и достаточное условие выполнения равенства (1) в соответствии с равенствами (6), (8) запишется так:

Этому условию удовлетворяет тройка чисел (2, 7, 3), в которой  Для данного равенства:

Для случая 4 на примере  необходимое и достаточное условие выполнения равенства (1) в соответствии с равенствами (6), (8) запишется так:

Этому условию удовлетворяет тройка чисел (127, 654, 19), в которой  Для данного равенства:

Подобным образом можно убедиться в истинности леммы 2 для случаев 1, 2, 3, 5.

Из леммы 2 вытекает такое следствие.

Следствие. Равенство

в котором ; , является общим для любых степеней ненулевых натуральных взаимно простых чисел , удовлетворяющих равенству , где ; ; .

  Доказательство. Равенство (12) состоит из величин  и , представляющих в соответствии с равенствами (6), (8) любые ненулевые натуральные взаимно простые числа  и , удовлетворяющие равенству . Так как числа  и  – суть любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, то они могут быть и любыми степенями ненулевых натуральных взаимно простых чисел (например:  и , где , удовлетворяющих равенству , в котором ; ; , . Следовательно, равенство (12) является общим для любых степеней ненулевых натуральных взаимно простых чисел , удовлетворяющих равенству , где  ; , что и требовалось доказать.

В зависимости от степеней ненулевых натуральных взаимно простых чисел , ,  равенство (12) может быть выполнимым и невыполнимым.

На трёх примерах убедимся в случаях выполнимости равенства (12).

ПРИМЕР 1. Рассмотрим равенства , ,  , , . Запишем эти равенства в 17-ричной , в 29-ричной , в 71-ричной ( и в 122-ричной  позиционных нумерациях соответственно. Получим:

a) ;

b)  ;

c)  ;

d)  ;

e)  ;

f) 

Для равенства a): ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: ,  и , .

Для равенства b): ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: ,  и ; .

Для равенства c): ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: ,  и , .

Для равенства d): ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: ,  и , .

Для равенства e): ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: ,  и ; .

Для равенства f): ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: ,  и , .

Очевидно, что равенство (12), представимое в этих случаях как

,

является общим для степеней ненулевых натуральных взаимно простых чисел , , ; , , ; , , ; , , ; , ,  и , , , удовлетворяющих равенству , в котором ; ; .

ПРИМЕР 2. Рассмотрим равенства , ,   , . Запишем эти равенства в 8-ричной , в 7-ричной  и в 13-ричной  позиционных нумерациях соответственно. Получим:

a) ;

b) ;

c) ;

    d)

Для равенства a): ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: , ,  и , , .

Для равенства b): ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: , ,  и , , .

Для равенства c): ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: , ,  и , , .

Для равенства d): ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: , ,  и , , .

Очевидно, что равенство (12), представимое в этих случаях как

,

является общим для степеней ненулевых натуральных взаимно простых чисел , , ; , , ; , ,  и , , , удовлетворяющих равенству  , в котором ; ; .

ПРИМЕР 3. Рассмотрим равенства , , , . Запишем эти равенства в троичной , в 5-ричной  и в 71 ̶ ричной  позиционных нумерациях соответственно. Получим:

a) ;

b)  ;

c);

d)

Для равенства a): ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: , , ,  и , , , .

Для равенства b): ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: , , ,  и , , , .

Для равенства c): ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: , , ,  и , , , .

Для равенства d):;. Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: , , ,  и , , , .

Очевидно, что равенство (12), представимое в этих случаях как

,

является общим для степеней ненулевых натуральных взаимно простых чисел , , C=3; , , ; , ,  и , , , удовлетворяющих равенству , где ; ; .

 Отметим, что лемма 2, являющаяся обобщением леммы ʺАВСʺ, достаточно полно представлена в работе [5].

В рассмотренных примерах равенство (12) вытекает из равенств вида , в которых ;   

Докажем невыполнимость равенства (12) в том случае, когда в гипотетическом равенстве ;   

Теорема 1. Равенство

не выполнимо для любых наборов чисел ; 1,  с которыми выполнялись бы равенства

при условиях:

Доказательство. От обратного! А именно: предположим выполнимость равенства (13) для некоторых наборов чисел ; , с которыми выполнялись бы равенства  и    при условиях: ; ; , , . Тогда в соответствии с заданными условиями и следствием леммы 2 равенство (13) является общим для любых степеней ненулевых натуральных взаимно простых чисел , удовлетворяющих равенству , где ; . Из этого следует, что равенство (13) является общим как для равенства , в котором ; ; , , так и для гипотетического равенства

в котором . Следовательно, достаточно доказать невыполнимость равенства (13) при заданных условиях для любого из равенств  или . Докажем невыполнимость равенства (13) для гипотетического равенства (15).

В соответствии с леммой 2 необходимое и достаточное условие выполнения этого гипотетического равенства требует выполнения такой триады равенств:

где ℕ₀  ℕ.

Действительно, если бы выполнялись равенства (16), (17), то было бы выполнимо и равенство (15). И наоборот: если бы существовали ненулевые натуральные взаимно простые числа , удовлетворяющие при  равенству (15), то выполнялись бы равенства (16), (17). Исходя из этих равенств, число  должно представляться числами ; . Число должно представляться числами . Число  должно представляться числами  Следовательно, если бы существовали ненулевые натуральные взаимно простые числа , удовлетворяющие равенству (15), то в силу необходимого и достаточного условия его выполнения эти числа должны представляться набором чисел Но в соответствии с работами [2], [3] для любых  не существует ненулевых натуральных чисел , с которыми равенство (15) было выполнимо. Так как не существует натуральных чисел , удовлетворяющих равенству (15) при , то не существует и таких наборов чисел , которыми числа  в соответствии с необходимым и достаточным условием выполнения равенства (15) должны представляться. Следовательно, при любых наборах чисел  и  триада равенств (16), (17) будет невыполнимой. Невыполнимость равенств (17) означает выполнимость таких неравенств:

при любых наборах чисел  и . Исходя из тождества (9) и включая в него подстановки из этих неравенств, получим:

Следовательно, исходное предположение о выполнимости равенства (15) для некоторых наборов чисел ; , с которыми выполнялись бы равенства  и  при условиях: ; ;  через последовательность импликаций привело к противоречию, заключающемуся в невыполнимости равенства (15) для любых наборов чисел ; . В силу закона логики – закона противоречия – приходим к выводу о ложности нашего предположения и, следовательно, об истинности заключения теоремы 1, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Равенство  в котором , при  , не выполнимо для любых взаимно простых чисел .

Доказательство. Предположим обратное, а именно: выполнимость равенства , в котором , при , хотя бы для одного набора чисел . В этом случае, в соответствии с равенствами (6) леммы 2 должна следовать выполнимость такого равенства:

Но правая часть этого равенства, исходя из выражения (18) и в соответствии с теоремой 1, для любых наборов чисел ; ;  не равна числу . Следовательно, . Это означает, что исходное утверждение, основанное на предположении о выполнимости равенства  при  хотя бы для одного набора натуральных чисел , через последовательность импликаций привело к противоположному утверждению. В силу закона логики – закона противоречия – приходим к выводу о ложности нашего предположения и, следовательно, об истинности заключения теоремы 2, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Равенство  в котором  при  , выполнимо для составных натуральных чисел , имеющих общий делитель.

Доказательство. Покажем, что равенство , в котором все показатели степени больше 2 и , может быть порождено, например, одним из таких равенств:

в которых  и один из показателей степени  или  или  равен 2, а два других – больше 2.

Для случая (а): умножим левую и правую части равенства на число ; для случая (b) – на число  . Получим:

Обозначим:

для a):

для b):

Для случая а): , так как  и . Для случая b): , так как  и . С учётом этих обозначений равенства a) и b) запишутся так:

Равенство (20) соответствует заключению теоремы 3, так как в нём  и числа  являются составными натуральными числами, имеющими общий делитель, что и требовалось доказать.

Приведём примеры, показывающие истинность теоремы 3. В лемме 2 рассматривались тройки чисел  и , для которых выполняются равенства  и . Осуществляя процедуры, подобные приведённым выше, получим соответственно:

Отметим, что равенство  в котором  и  может быть порождено не только рассмотренными равенствами вида a) и b). Примером другого способа получения равенства   с показателями степени, большими 2, является числовое равенство  Умножим левую и правую его части на  Получим равенство

Далее, действуя, как и в случае с равенством b), получим

Очевидно, как и в случаях с равенствами a) и b), члены этого равенства представляются составными натуральными числами, имеющими общий делитель и находящимися в степени, большей 2.

Утверждение. Равенство  в котором , при  выполнимо только для составных натуральных чисел , имеющих общий делитель.

Доказательство. Сопоставим теоремы 2 и 3.

Теоремой 2 доказано: равенство  в котором , при  не выполнимо для любых взаимно простых чисел .

Теоремой 3доказано: равенство  в котором , при  выполнимо для составных натуральных чисел , имеющих общий делитель.

Из сопоставления теорем 2 и 3 в части их условия и заключения следует истинность утверждения, что и требовалось доказать.

Из выше изложенного следует, что представленную последовательность импликаций можно рассматривать как возможный подход к доказательству гипотезы Била (Beal’s conjecture).

Список литературы

1. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия: в 3 т. / под ред. А.П. Юшкевича, Т.1, М.: Наука, 1970.
2. Wiles A. Modular elliptic curves and Fermatʹs last theorem, Annals of Mathematics, 143: 3 (1995), 443-551.
3. Соловьёв Ю.П. Гипотеза Таниямы и Последняя теорема Ферма, Соросовский образовательный журнал, №2 (1998), 135-138.
4. Агафонцев В.В. Системы счисления в диофантовых равенствах. // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения. Материалы XIII Международной конференции, посвящённой 85-летию со дня рождения Сергея Сергеевича Рышкова (Тула, 25-30 мая 2015 г.), Изд-во Тульского гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2015, 256-259. [Электронный ресурс]- http://poivs.tsput.ru/conf/international/XIII/down/Conference2015.pdf (дата обращения: 30.06.2022).
5. Агафонцев В.В. О равенстве  в натуральных числах.  // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и многомасштабное моделирование. Материалы XIX Международной конференции, посвящённой двухсотлетию со дня рождения П.Л. Чебышёва (Тула, 18-22 мая 2021 г.), Изд-во Тульского гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2021, 347-351. [Электронный ресурс]- http://poivs.tsput.ru/conf/international/XIX/files/Conference2021.pdf (дата обращения: 30.06.2022).
6. Агафонцев В.В. Лемма «АВС» в исследовании диофантовых равенств // Н.И. Лобачевский и математическое образование в России. Материалы междунар. форума (IFME-2017), г. Казань, 18 - 22 октября 2017г. / отв.ред. Л.Р. Шакирова. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2017. Т. 2. С. 12-18.
7. Агафонцев В.В. Лемма «АВС» и Последняя теорема Ферма // Современные проблемы физико-математических наук. Материалы III-й междунар. научно-практ. конф. (СПФМН-2017), г. Орёл, 23 - 26 ноября 2017г. / под общ.ред. Т.Н. Можаровой. - Орёл: Изд-во ОГУ, 2017. С. 113-119.