ОБ ОТСУТСТВИИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ФЕРМА ДЛЯ ЛЮБЫХ НЕЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ БОЛЬШЕ 2-Х

​ON THE ABSENCE OF SOLUTIONS TO THE FERMAT EQUATION FOR ANY  ODD  EXPONENTS  GREATER THAN 2

Valery Agafontsev

Candidate o f Science, retiree,

Russia, Pskov

АННОТАЦИЯ

В данной работе доказывается, что из предположения о выполнимости равенства , где , следуют два противоречивых утверждения. Первое утверждение связано с необходимостью выполнения равенства  для любых . Второе   утверждение связано с необходимостью выполнения равенства , в котором для любого нечётного  число  может быть только чётным, то есть не меньшим 2. Между первым и вторым утверждением имеется противоречие. Из этого противоречия следует, что равенство  для любого нечётного  невыполнимо. На этой основе утверждается, что уравнение  не имеет решений в натуральных отличных от нуля числах для любых нечётных .

ABSTRACT

In this paper, we prove that two contradictory statements follow from the assumption that the equality , where , is satisfiable. The first statement is related to the need to fulfill the equality  for any . The second statement is connected with the need to fulfill the equality , in which for any odd  the number m can only be even, that is, not less than 2. There is a contradiction between the first and second statements, from which it follows that the equality  is impossible for any odd n>2. On this basis, it is argued that the equation  has no solutions in natural non-zero numbers for any odd .

Ключевые слова: уравнение Ферма, уравнение Ферма с нечётными показателями степени.

Keywords: Fermat's equation, Fermat's equation with odd exponents.

В работах [1] и [2] доказана лемма 2, утверждающая: необходимое и достаточное условие выполнения равенства

в котором  и  ̶ суть любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, ,  представимо триадой равенств:

где  ℕ₀

Здесь и далее символом ℕ обозначены натуральные, то есть положительные целые числа без нуля. Символом ℕ₀ обозначены натуральные числа c нулём.

Из леммы 2 вытекают два следствия:

- первое следствие - относительно равенства ; это следствие описано в работах [1] и [2];

- второе - о необходимом условии выполнения равенства .

Рассмотрим это второе следствие.

Следствие. Необходимое условие выполнения равенства , в котором  , представимо равенством .

Доказательство. В соответствии с условием выполнения равенства (1) числа  и  с необходимостью должны представляться равенствами (2). Так как в этих равенствах числа  и  - суть любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, то, следовательно, они могут быть и любыми степенями ненулевых натуральных взаимно простых чисел (например:  и ), удовлетворяющих равенству , где ; ; . Следовательно, равенство (1) можно представить так:

То есть левая часть этого равенства с необходимостью должна представляться суммой двух членов: первого - , и второго - . Для удобства дальнейшего изложения переименуем величину , обозначив её через n. Тогда из равенства (4) следует:

что и требовалось доказать.

Теорема. Уравнение

не имеет решений в натуральных отличных от нуля числах для любых нечётных .

Доказательство. Будем утверждать обратное, предполагая, что уравнение (6) при некотором нечётном  имеет хотя бы одно решение в натуральных отличных от нуля числах. Пусть это решение представляется ненулевыми натуральными числами  и выполняется такое равенство:

Числа  будем считать попарно взаимно простыми, т.е.  Очевидно, что  Тогда можно записать:

где  и  – натуральные числа. С учётом равенств (8) гипотетическое равенство (7) представится так:

Здесь

Разделим левую и правую часть равенства (9) на  Для сохранения равенства (9) выражение, стоящее в нём под знаком суммы (S), должно нацело делиться на  Из этого следует необходимость выполнения равенства:

Следовательно, должно выполняться такое равенство

 С учётом равенств (11), (10), (9) гипотетическое равенство (6) запишется так:

где в соответствии с равенством (11) число  равно:

Докажем, что при  число  может быть только нечётным. Действительно, как известно [3; с. 27-30], при  уравнение (6) имеет примитивные решения (то есть, когда  являются взаимно простыми числами), в которых число  может быть только нечётным, а числа  имеют разную чётность. Тогда в равенстве (7) число C будет только нечётным, а в соответствии с равенствами (8) числа  будут иметь разную чётность, поэтому их сумма выразится нечётным числом. Следовательно, в равенстве (13) число  при  может быть только нечётным. Это справедливо для всех решений уравнения (6) для . Подкрепим сказанное несколькими примерами.

1)  Пусть  тогда в соответствии с равенствами (8)  а в соответствии с равенством (13)

2)  Пусть  тогда в соответствии с равенствами (8)  а в соответствии с равенством (13)

3)  Пусть  тогда в соответствии с равенствами (8)  а в соответствии с равенством (13)

Проверим на этих примерах истинность леммы 2. В соответствии с леммой 2 необходимое и достаточное условие выполнения равенства    запишется так:

;   ;  

В первом примере:

Во втором примере:

    

В третьем примере:

Нетрудно убедиться в истинности второго следствия из леммы 2. Отметим, что в первом примере  для которого  следствие леммы 2 выполняется напрямую, так как при  выражение (12) превращается в равенство (5).

Докажем, что для любых нечётных  число  в равенстве (12) может быть только чётным. Действительно, исходя из свойства чёт-нечёт, все три числа A, B, C в равенстве (7) не могут быть нечётными, так как сумма или разность двух нечётных чисел чётна. Следовательно, одно и только одно из чисел  чётно. При этом возможны такие и только такие два случая:

• первый – числа  разной чётности, тогда число  будет нечётным;
• второй – числа  одной чётности (они нечётны), тогда число  будет чётным.

В первом случае, не ограничивая общности, будем считать число  чётным, а число  нечётным. Тогда, исходя из равенств (8), число  должно быть нечётным, а число  – чётным, поэтому число  будет нечётным. Следовательно, в равенстве (13) при нечётных числах  и  число  может быть только чётным.

Во втором случае (в предположении, что числа  нечётны, а  чётно), исходя из равенств (8), числа  должны быть нечётными, поэтому число ( будет чётным. Следовательно, в равенстве (13) при нечётном  и чётных числах  и  число  может быть только чётным.

Выше было показано, что для любых нечётных  число  в равенстве (13), значит, и в равенстве (12), может быть только чётным. Получили очевидное противоречие между равенствами (5) и (12). Действительно, в равенстве (12) для любых нечётных  число m может быть только чётным, то есть кратным 2 и, значит, не меньшим 2, что противоречит равенству (5), представляющему необходимое условие выполнения равенства (7), являющегося (по предположению) решением уравнения (6). Следовательно, из предположения, что уравнение (6) при некотором нечётном  имеет хотя бы одно решение, представленное равенством (7), получены два противоречивых результата. В силу закона логики – закона противоречия – приходим к выводу о том, что наше предположение о том, что уравнение (6) при некотором нечётном  имеет хотя бы одно решение в натуральных отличных от нуля числах является ложным. Следовательно, уравнение (6) при любых нечётных  не имеет решений в натуральных отличных от нуля числах, что и требовалось доказать.

Отметим, что в работе [4] была доказана невыполнимость равенства  в натуральных числах для любого нечётного .

Кратко остановимся на истории, связанной с уравнением . Известно, что Ферма с помощью открытого им метода бесконечного спуска [5, с. 21-22] доказал, что не существует решений уравнения  в целых отличных от нуля числах [3, с. 27-30], [5, с. 22-24]. Суть доказательства Ферма состоит:

1. В предположении существования решения уравнения  в целых отличных от нуля числах. “Так как в любом множестве натуральных чисел существует наименьшее число, то среди всех таких решений существует решение  с наименьшим ˮ [3, с. 29]; пусть .
2. В доказательстве существования меньших положительных чисел , также являющихся решением этого уравнения. Таким образом, Ферма обнаружил нисходящую лестницу решений, которая могла бы продолжаться бесконечно, порождая всё меньшие и меньшие тройки чисел. Но это невозможно, так как по предположению существует решение  с наименьшим .

Леонард Эйлер в письме от 4 августа 1753 года к прусскому математику Христиану Гольдбаху пишет, что ему удалось приспособить метод бесконечного спуска и доказать теорему Ферма для случая . В основе доказательства Эйлера лежит лемма о кубах, которая в соответствии с [3, с. 31] формулируется так: если взаимно простые целые числа  и  обладают тем свойством, что число является кубом целого числа, то существуют такие целые числа и  что .

Единственное опубликованное доказательство Эйлера было «неполным», поскольку в лемме о кубах содержало фундаментальный пробел [5, с. 56], а именно: своё доказательство [3, с. 35] Эйлер строил на том, что число  является кубом, если кубами являются оба сомножителя правой части выражения

“Размышляя об этом ошибочном доказательстве, разумно предположить, что в своём первоначальном методе он использовал менее оригинальное рассуждение, показывающее, что , ˮ [5, c. 63]. В статье [6] рассмотрено такое предполагаемое доказательство Эйлера леммы о кубах.

После появления доказательства Эйлера для  многие математики пытались доказать Последнюю теорему Ферма для других частных случаев. Иной путь избрала французский математик Софи Жермен (1776-1831). Она доказала, что уравнение Ферма  не имеет решений для таких нечётных простых , если  тоже простое и  не делятся на  [5, c. 82-83], [3, с. 15]. Таким образом, предложение Софи Жермен сводилось к рассмотрению некоторого класса показателей

1825 год. Применяя подход Софи Жермен, немецкий математик Лежен Дирихле и французский математик Андриен Мари Лежандр почти одновременно предложили доказательство теоремы Ферма для случая  [5, c. 85-92].

1839 год. Французский математик Габриэль Ламе доказал теорему Ферма для случая  [5, c. 94-95].

Серией работ, выполненных немецким математиком Эрнестом Куммером в период 1843-1858 гг, удалось доказать теорему Ферма для простых показателей  [3, с. 14].

После Э. Куммера, по мнению М.М. Постникова, серьёзных сдвигов в доказательстве теоремы Ферма не произошло до 1929 года, когда американский математик Гарри Шульц Вандивер, накладывая ряд ограничений на представление простого показателя n, пришёл к выводу о справедливости теоремы Ферма для всех простых показателей  [3, с. 14].

Выше отмечалось, что многие математики пытались доказать Последнюю теорему Ферма для частных случаев с простыми показателями . Приведём цитату из книги Г. Эдвардса: “Конечно, вполне возможно, что они подходили к проблеме ложными путями и что существует какая-то простая идея - возможно, открытая Ферма,- применимая ко всем случаям; однако, с другой стороны, более вероятно, что идея, пригодная для любых , была бы найдена, хотя бы в неуклюжей форме, при интенсивном поиске для одного ˮ [5, c. 94]. Отметим, что в работе [7] путём перехода к позиционной нумерации с произвольным целочисленным основанием удалось доказать отсутствие решений уравнения  в натуральных отличных от нуля числах без использования метода бесконечного спуска и леммы о кубах. Использованная при этом идея пригодна для любых нечётных .

Настоящий прорыв в работах по доказательству Последней теоремы Ферма начался с 1984 года, когда на математическом симпозиуме в Обервольфахе немецкий математик Герхард Фрей, предполагая существование для уравнения Ферма гипотетического решения , названного им еретическим, доказал приводимость этого решения к выражению  [8], которое, как известно, является уравнением эллиптической кривой. Далее Фрей сослался на гипотезу японских математиков Ютаки Таниямы и Горо Шимуры, выдвинутую ими на Токийском математическом симпозиуме в сентябре 1955 года. Суть гипотезы: каждой эллиптической кривой должна соответствовать своя модулярная форма. Модулярные формы хорошо описаны в книге [10] и в книге [11]. Как показал Фрей, эллиптическая кривая, соответствующая его выражению, столь необычна, что невозможно установить соответствие между ней и какой-нибудь модулярной формой. Отсюда Фреем был сделан сенсационный вывод:

1. Если гипотеза Таниямы-Шимуры окажется верной, то каждой эллиптической кривой должна соответствовать своя модулярная форма.
2. Так как для эллиптической кривой Фрея нет своей модулярной формы, то такая эллиптическая кривая не может существовать.
3. Так как эллиптическая кривая Фрея не может существовать, то не может существовать и гипотетическое решение  для уравнения Ферма . Следовательно, Последняя теорема Ферма верна.

Отметим, что доказательство отсутствия модулярной формы для эллиптической кривой Фрея было представлено американским математиком Кеннетом Рибетом (Kenneth A. Ribet) в работе [12]. Таким образом, из доказательства истинности гипотезы Таниямы-Шимуры автоматически следует справедливость Последней теоремы Ферма, то есть эта теорема доказывается косвенно. Такое доказательство после 8 лет работы над ним представил профессор математики Принстонского университета США Эндрю Уайлс. Его доказательство в 1995 году было опубликовано в журнале ²Annals of Mathematics² [13]. Доказательство Уайлса построено на вершинных достижениях математики XX века, поэтому оно является очень сложным. Доступное изложение его сути представлено в работе [14].

Список литературы:

1. Агафонцев В.В. О равенстве  в натуральных числах // Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: современные проблемы, приложения и проблемы истории.: тезисы докл. XIX Междунар. конф, посвящённой 200-летию со дня рождения академика П.Л. Чебышёва (Тула, 18-22 мая 2021 г.), изд-во Тульского гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2021, -С. 347-350. [Электронный ресурс]- http://poivs.tsput.ru/conf/international/XIX/files/Conference2021.pdf (дата обращения: 15.05.2022).
2. Агафонцев В.В. О равенстве A^x + B^y =C^z в натуральных числах // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований.: тезисы докл. XXXIX междунар. науч.-практ. конф. (Новосибирск, 26 мая 2021 г.), №5(31) СибАК, 2021, - С. 57-70. [Электронный ресурс]- https://sibac.info/conf/technology/31/214381 (дата обращения: 15.05.2022).
3. Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел.- М.: Наука, 1978.
4. Агафонцев В.В. О невыполнимости равенства  в натуральных числах и любых нечётных  // Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: современные проблемы, приложения и проблемы истории.: тезисы докл. XX Международной конференции, посвящённой 130-летию со дня рождения академика И.М. Виноградова (Тула, 21-24 сентября 2021 г.), изд-во Тульского гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2021, - С. 96-98. [Электронный ресурс]- http://poivs.tsput.ru/conf/international/XX/files/Conference2021S.pdf (дата обращения: 15.05.2022).
5. Эдвардс Г [Edwards H.] Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с англ. В.Л.Калинина и А.И.Скопина / под ред. Б.Ф.Скубенко. - М.: Мир, 1980.
6. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Матем. заметки. 2007. N 82:3. C. 395-400.
7. Агафонцев В.В. Лемма «АВС» в исследовании диофантовых равенств // Н.И. Лобачевский и математическое образование в России.: тезисы докл. междунар. форума (IFME-2017), г. Казань, 18 - 22 октября 2017г. / отв.ред. Л.Р. Шакирова. - Казань: изд-во Казан. ун-та, 2017. Т. 2. , С. 12-18.
8. Frey G. Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations, Annales Universitatis Saraviensis 1, 1-40 (1986).
9. Кнэпп Э. [Anthony W. Knapp] Эллиптические кривые / пер. с англ.   Ф.Ю. Попеленского, под ред. Ю.П. Соловьёва. М.: Факториал Пресс, 2004.
10. Серр Ж-П. [Serre J.-P.] Курс арифметики / пер. с фр. А.И. Скопина, под ред. А.В. Малышева. М.: Мир, 1972.
11. Ленг С. [S. Lang] Введение в теорию модулярных форм / пер. с англ. С.И. Гельфанда, под ред. Ю.И. Манина. М.: Мир, 1979.
12. Ribet K.A. From the Taniyama-Shimura conjecture to Fermatʼs last theorem, Annales de la faculté des sciences de Toulouse 5 série, tome 11, №1 (1990), p. 116-139.
13. Wiles A. Modular elliptic curves and Fermatʹs last theorem, Annals of Mathematics, 143: 3 (1995), 443-551.
14. Соловьёв Ю.П. Гипотеза Таниямы и Последняя теорема Ферма, Соросовский образовательный журнал, №2 (1998), С. 135-138.