СКАЗОЧНЫЕ ИСТОРИИ О ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ (ДИСТАНЦИОННЫЕ ДИАЛОГИ О ВОЗМОЖНЫХ ПРОБЛЕМАХ МАТЕМАТИКИ)

АННОТАЦИЯ

Заочное дистанционное обсуждение вопросов теории множеств имеет свою историю, которая связана с публикациями на близкие темы. Появилась возможность просто сравнить заочные утверждения.

Ключевые слова: теория множеств, счетность действительных чисел, теорема Кантора.

Введение. Всякая сказка имеет свою историю и начало дальнейших событий. Начало случилось, когда один ученый мужчина (ОУМ) решил обсудить свои мысли с другим ученым мужчиной (ДУМ) по вопросам, утверждениям и теоремам третьего ученого мужчины (ТУМ). В результате получились диалоги о возможных проблемах математики, в которых сделана попытка разобраться в некоторых определениях и справедливости утверждений теории множеств.

Заочное обсуждение авторами вопросов теории множеств имеет свою историю, которая связана с публикацией статей в одном научном издательстве СибАК [8-14], а новая дискуссия на близкие темы получилась после письма Алатина С.Д., в котором он направил Королеву В.С. для прочтения и оценки свою новую работу.

Тему дискуссии предложил Алатин С.Д.:

«ОБ ОСНОВАНИЯХ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ»

Обсуждение основных спорных по мнению ОУМ утверждений:

Алатин: В основаниях математики есть спорные утверждения:

1. Поскольку точка не имеет размера и поэтому имеет меру нуль, то, не нарушая законов логики, невозможно построить из этих точек пространство, имеющее отличный от нуля размер и, соответственно, отличную от нуля меру. Невозможно уже потому, что из ничего умел творить лишь Всевышний. Поэтому говорить, как это принято в настоящее время, что пространство, в частности, непрерывное, суть множество точек, неправомерно.
2. Выражение «непрерывное пространство суть множество точек…» абсурдно уже и еще потому, что множество потому и множество, что состоит из отдельных элементов и не может быть непрерывным.
3. Может ли существовать, соответственно, можно ли помыслить множество, лишенное какой-либо структуры? А если такие множества существуют, то как их сравнивать друг с другом?
4. Действительно существуют множества мощней континуума, или их выдумали без достаточных на то оснований?
5. Вопрос «сколько точек разместится на некотором конечном интервале?» не эквивалентен ли вопросу «сколько ничто разместится на данном нечто?»
6.  Утверждение «Множество чисел (точек) на конечном (и бесконечном) непрерывном интервале имеет мощность континуума» не является ли бессодержательной тавтологией, так как слово континуум переводится с латыни на русский всего лишь как непрерывность?

Королев: Высказывать сомнения или критиковать утверждения классиков науки [1-5] очень сложно. Необходимо предлагать свои доказательства или контрпримеры. Попробуем разобраться или пояснить сомнения.

Начнем с предложенного заголовка темы.

Слова «основания» и «основы» имеют близкие значения, но тем не менее отличаются. «ОСНОВАНИЯ» получаются из главных утверждений или теорем по соответствующей теме или направлению науки. Они могут дополняться или развивать новые возможности исследований. Слово «ОСНОВЫ» определяет набор основных принципов и методов, которые формирует развитие науки.

Особое значение имеют определения, практика использования и трактовка важных слов.

Понятие «точка» в математике, физике или в реальной жизни может восприниматься различным образом или иметь разные значения.

Когда школьный учитель отмечает мелом пару точек, а потом с помощью линейки проводит линию, которую называют прямой, непрерывной и сколь угодно тонкой, то все воспринимают это и запоминают, как очевидное. Потом изображают у себя в тетрадках нечто подобное. Физики могут называть точкой любой объект, который может иметь размеры несущественные для исследования: камень, песчинка, атом или элементарная частица. Это легко называть точкой, но иногда принято так называть планеты или их спутники, кометы или астероиды, а так же звезды, когда рассматривают ночное небо.

Во всех случаях это является «условным» или «виртуальным» образом каких-либо объектов или действий. Например: точка как граница отрезка, отметка на выделенном теле или просто песчинка. В том числе можно отметить центр тяжести бублика и отмечать перемещение такой точки в пространстве. Главным свойством точки является то, что она может быть элементом множества. Она может быть единственным элементом.

Математики могут многое придумать или вообразить невозможное.

Всевышний здесь ни при чем. Это не его дела! Это люди в философских беседах всякое придумывают с давних пор.

Пространство физическое и математическое предполагается непрерывным. И наполняется разными объектами с определенными свойствами. В пространстве можно замечать, выделять и исследовать различные образования и с разным содержанием.

Пространство нашей Вселенной существует само по себе и заполнено материей, которая сформировано в виде планет, звездных скоплений или Галактик. Сейчас предполагается, что еще существует пока невидимая «темная материя» и даже «темная энергия».

Со времен Галилея и Ньютона считали существующим инерциальное или абсолютное пространство, в котором размещаются и перемещаются все реальные материальные или воображаемые объекты.

Математики наделяют это пространство разным содержанием и структурами. Декарт придумал удобную систему координат для учета взаимного расположения всех тел. Кеплер использовал специальные параметры для описания движения планет Солнечной Системы, а Эйлер предложил указывать ориентацию отдельных тел относительно выбранной системы отсчета через свои угловые переменные для вращательного движения тела.

Физики пытались наполнить пространство «эфиром» или определить особый «вакуум». Реальные тела делили на части и частицы еще в древние времена. Появились понятия «атом», а затем элементарные частицы, которые становятся все меньше и сложнее.

Пытались делить само пространство и время, считая вероятным существование предельно малых «квантов», меньше которых не могут существовать единицы для их измерения.

Множество состоит из элементов, которые по своим свойствам и по определению входят в состав и поэтому может быть любым по форме или размерам. Множество может быть непрерывным или имеет разрывы. Например, график функции как множество точек на плоскости может быть или выглядеть непрерывной гладкой кривой. График функции может иметь разрывы разного рода. Есть функции, которые определены как отдельные изолированные точки на плоскости. Многообразие как часть пространства может соответствовать непрерывной поверхности, на которой можно построить непрерывные кривые для соединения отдельных точек, или иметь более сложную структуру с разрывами.

Множеству элементов можно сопоставить множества чисел. Натуральные числа придумали первыми. Они вводятся простым правилом: после числа N можно определить следующее число К = (N+1). Получается, что их бесконечно много, то есть сколько угодно. Но множество называют счетным, так как до каждого можно последовательно добраться и уточнить его значение, используя определенные символы.

Таким образом, можно организовать последовательность или очередь объектов. Например, очередь овечек при входе в загон для стрижки. Или очередь желающих войти в магазин за подарками.

Позднее придумали рациональные числа (дроби) и целые числа (добавили число ноль и отрицательные). На этом не остановились и получились действительные, которые можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. При этом решили, что таких чисел слишком много и все не сосчитать. Кантор нашел способ расположить дроби и считать, что их можно пересчитать. Товарищ Алатин как ОУМ высказывал сомнение [8-14], а сейчас предлагает новое доказательство.

Алатин: Теорема о несчетности [3] действительных чисел отрезка [0,1].

Теорема  Кантора.  Множество чисел отрезка [0,1] несчетно.

Доказательство. Докажем теорему от противного. Допустим, что это множество счетное. Значит, существует способ выстроить эти числа в ряд. Возьмем любой из этих способов и расположим их десятичные записи в ряд.

о, а¹₁ а¹₂ а¹₃… 

о, а²₁ а²₂ а²₃… 

Последовательная замена для чисел одной цифры на диагонали таблицы позволяет составить новое число. При неограниченном (бесконечном) продолжении шагов получается следующая запись числа r:

О, b₁ b₂…b_n… 

Запись числа r отличается от каждой из записей указанного выше ряда одним разрядом (по построению). Таким образом, построено число r, которого нет в этом ряду.

Противоречие. Отсюда следует, что нельзя выстроить в ряд числа отрезка [0,1]. Значит, множество чисел отрезка [0,1] несчетно. Теорема доказана.

Алатин: А что же на самом деле доказал Кантор в своей знаменитой «диагональной» теореме?

В рассмотренной теореме Кантор производит следующие действия:

1. Строит столбец из всех чисел на отрезке [0,1].

2. Строит на отрезке [ 0,1] число, не входящее в этот столбец.

Следовательно, доказана не несчетность множества чисел отрезка [0,1 ], а его плотность. Несчетность этого множества суть следствие его плотности: между двумя различными числами существуют еще числа.

Королев: Противоречие в другом: сначала как-то смогли записать в виде таблицы ВСЕ действительные числа, перечислив их таким образом, а потом с помощью диагонального метода смогли найти еще одно новое число. Но для натуральных чисел это обычное дело. Сначала перечисляем К чисел, а затем добавляем следующее. Остается добавить новое число в общую таблицу. Возможность записать все числа в одну таблицу сразу определяет счетное количество чисел.

Давно известно другое важное свойство: между двумя действительными числами можно найти другие и даже сколько угодно новых, если в какой-то позиции чисел стоят разные цифры. Это говорит о плотности множества и распределении чисел.

С другой стороны могу привести пример двух действительных чисел, содержащих разные цифры, между которыми невозможно найти других чисел.

Числа имеют вид  0.5(0) и 0.4(9). Все цифры указанных чисел дроби разные. Ноль в конце чисел после запятой писать не принято, а повторяющуюся цифру девять в периоде можно использовать для записи в виде простой дроби. Это также говорит о непрерывности и плотности числового множества, поскольку два выделенных числа могут в пределе бесконечно мало отличаться друг от друга, хотя имеют разную запись.

Алатин: Если справедлива Теорема Кантора о счетности рациональных чисел, где он располагает их в таблицу, то справедлива и Теорема  Алатина, где в таблицу размещены уже все действительные числа:

Теорема Алатина. Множество действительных чисел отрезка [0,1] счетно.

В целях повышения наглядности, воспользуемся двоичной системой счисления и в первой строчке запишем все числа, имеющие один разряд после запятой:

0,0 ; 0,1.

Во второй строчке запишем все числа, имеющие два разряда после запятой:

0,00 ; 0,10 ; 0,01 ; 0,11.

В третьей строчке запишем все числа, имеющие три разряда после запятой:

0,000 ; 0,100 ; 0,010 ; 0,001 ; 0,110 ; 0,011 ; 0,101 ; 0,111.

И так далее.

Перечисляя числа слева направо каждую строчку и строчки по очереди соответственно сверху вниз, мы поставим в соответствие каждому числу из таблицы число натуральное. Поскольку числа в таблице повторяются, следовательно, различных действительных чисел будет меньше, чем чисел в таблице, а следовательно, множество действительных чисел на отрезке [0,1] будет заведомо счетно. Теорема доказана.

Королев: Отметим, что в предложенном примере теоремы указаны рациональные дроби в двоичной системе. Если другие цифры в записи отсутствуют, то при переходе к десятичным записям числам получим рациональные дроби. Если просто дополнять числа случайным образом новыми цифрами до бесконечности, то мы еще не гарантируем заполнение таблицы всеми действительными числами.

Существует алгоритм [15] формирования последовательности всех действительных чисел, которую можно использовать как общий «список их очередности» для записи в такую таблицу всех чисел из отрезка [0,1]. Таким образом, отмечается эквивалентность множества натуральных и действительных чисел.

Обобщая это утверждение, можно заменить отрезок [0,1] на более общее множество действительных чисел. Алгоритм [15] формирования последовательности всех чисел, которую можно использовать как общий «список их очередности» для записи в такую таблицу всех чисел из отрезка [0,1], а затем можно добавить еще счетное множество для других таких отрезков [к, к+1] в соответствии с известной теоремой:

«Теорема. Сумма…счетного числа… счетных множеств есть …счетное множество.» [2].

Таким образом, можно организовать последовательность или правило формирования очереди объектов. Например, очередь овечек при входе в загон для стрижки. Если они подходят не одиночными, а родственными группами. И утверждают на входе, что это все мои родственники, что бы их также записали на обслуживание. Очередь растет в геометрической прогрессии, но соответствие аналогичной суммы при записи поступающих можно установить, а следовательно, считать множество действительных чисел бесконечным, но счетным.

Алатин: Спорить с Вами не просто. Единственно не могу понять, почему Вы в «теореме» Алатина продолжаете утверждать, что там лишь рациональные числа. Ведь с каждой строкой число знаков возрастает в итоге до бесконечности, где и располагаются иррациональные числа. На мой взгляд, таблица эта не пропустит мимо ни одного числа, включая все действительные.

Королев: Начало таблицы содержит числа из несколько цифр, которые можно преобразовать к форме десятичного числа, а следовательно, можно записать в виде обычной дроби. Если далее вся бесконечная таблица уже составлена, то это означает, что все числа определили свое место в общей очереди. Следовательно, множество всех чисел счетное и может соответствовать множеству натуральных чисел.

Алатин: Но «утверждения о несчетности числа точек на прямой» не доказаны, поскольку не приводится явного определения понятий для математической точки и прямой кроме «интуитивного».

Королев: Находясь внутри теории или учения невозможно доказать его непреложную истину или опровергнуть. Человек религиозный не может доказать другим, что «Бог есть». Он может просто верить в это. Атеист не может доказать, что бога нет. Невозможно доказать, что нет того, что не определено.

Можно разрабатывать непротиворечивые теории или учения и даже пытаться применять это на практике. Можно вообразить кривизну трехмерного физического пространства в «других измерениях» многомерного мира или заметить это в параллельных Вселенных. Но трудно увидеть или измерить это, находясь внутри. На компьютерах можно создавать виртуальный мир и моделировать процессы, стараясь находить подтверждение на практике. Только не стоит забывать об ограничениях или условиях реализации.

Многие проблемы бесконечности и непрерывности связаны с обобщениями в математике. Появление теории множеств Кантора [3, 5] в свое время позволило решить многие проблемы, получило развитие и применение во многих направлениях науки, но было встречено критикой со стороны Пуанкаре и других ученых. В том числе Пуанкаре спрашивал: «Почему мощность континуума не такая же, как и мощность целых чисел?» [6].

Это приводило к попыткам доказать или опровергнуть теоремы Кантора и другие результаты теории множеств, появлению новых течений и логически идеальных теорий. В том числе работ с «использованием семантики самопринадлежности» [7], которые позволяют своим внутренним языком поправлять предшествующие теории. При этом иногда такие учения опровергают не только утверждения Кантора о мощности множеств на основе диагонального метода, но и сами себя.

Заключение

Как утверждал в своих работах профессор В.Ф. Демьянов:

«По большому счету, все науки – это модели реального мира» [19].

Сейчас к процессу моделирования процессов активно привлекается вычислительная техника и специальные средства, которые позволяют явно показать всем воображаемое и даже невозможное. В том числе предполагать новые свойства и формы существования нашей Вселенной [16-18].

Список литературы:

1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: «Наука», 1977. 368 с.
2. Бурбаки Н. Общая топология. Топологические группы, числа и связанные с ними группы и пространства. «Наука», 1969, 392 с.
3. Кантор Г. Труды по теории множеств: Пер. с нем. Ф.А. Медведева и А.П. Юшкевича, отв. редакторы А.Н. Колмогоров и А.П.Юшкевич. — М.: Наука, 1985. 431 с.
4. Колмогоров А. Н. Математическая логика. М.: издательство Московского университета, 1984.
5. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. - М., «Мир», 1970. 416 с.
6. Пуанкаре А. О науке. / Перевод с фр. под ред. Л.С. Понтрягина. – М.: Наука, 1990. – 736 с.
7. Чечулин В.Л. Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения). – Пермь: изд. ПГНИУ, 2012.
8. Алатин С.Д. О СТРУКТУРЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ // Наука вчера, сегодня, завтра: сб. ст. по матер. XVIII-XIX междунар. науч.-практ. конф. № 11-12 (17). – Новосибирск: СибАК, 2014.
9. Алатин С.Д. О рациональных числах, «диагональной теореме» и о теории множеств вообще. / Естественные и математические науки в современном мире / Сб. ст. XXXII международной научно-практической конференции. 2015, 7 (31). Новосибирск: Изд. «СибАК», С. 6–20.
10. Алатин С.Д. О множестве действительных чисел. / Естественные и математические науки в современном мире / Сб. ст. по материалам XXXYI–XXXYII международной научно-практической конференции. – 2015 – 7 (31). Новосибирск: Изд. «СибАК», – С. 6–20.
11. Алатин С.Д. О РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ, «ДИАГОНАЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ» И О ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ ВООБЩЕ // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. XXXII междунар. науч.-практ. конф. № 7(31). – Новосибирск: СибАК, 2015.
12. Алатин С.Д. МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВ КАК ОНА ЕСТЬ // Естественные и математические науки в современном мире: XXXVIII междунар. науч.-практ. конф. № 1(37). – Новосибирск: СибАК, 2016.
13. Алатин С.Д. О бесконечностях потенциальной и актуальной и об основаниях теории множеств. Журнал «Точная наука», выпуск № 50, Кемерово 2019, с. 2-12.
14. Алатин С.Д. О рациональных числах, «диагональной теореме» и о теории множеств вообще // Естественные и математические науки в современном мире. Сб. науч. тр. № 7(31). Новосибирск: АНС «СибАК», 2015. – С. 6–21
15. Королев В.С. РАЗМЫШЛЕНИЯ О МОЩНОСТИ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ. КАК ПЕРЕСЧИТАТЬ ВСЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. В сборнике: . Peer-reviewed materials digest (collective monograph) published following the results of the CI International Research and Practice Conference and I stage of the Championship in Physics and Mathematics, Chemistry, Earth and Space Sciences. 2015. С. 41-44.
16. Королев В.С. РАЗМЫШЛЕНИЯ О СТРУКТУРНОМ СТРОЕНИИ И ВОЗМОЖНОМ РАЗВИТИИ ВСЕЛЕННОЙ. В сборнике: . Peer-reviewed materials digest (collective monograph) published following the results of the XCIV International Research and Practice Conference and III stage of the Championship in Physics and Mathematics, Chemistry, Earth and Space Sciences. 2015. С. 25-27.
17. Королев В.С. Виртуальные Модели Материи Вселенной. Новосибирск: АНС «СибАК», Инновации в науке. 2017. № 3 (64). С. 21-26.
18. Новоселов В.С., Королев В.С. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ МАТЕРИИ ВСЕЛЕННОЙ. В книге: Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics / Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы. Тезисы докладов международной конференции, посвященной памяти профессора В.Ф. Демьянова. 2017. С. 168-173.
19. Демьянов В.Ф. Математическая модель развития динамических систем // Вестн. С-Петерб. ун-та. Серия 1. 2002. Вып. 4. – С. 11-20
20. Королев В.С. АКТУАЛЬНОЕ И ВИРТУАЛЬНОЕ О БЕСКОНЕЧНОСТИ И НЕПРЕРЫВНОСТИ // Наука вчера, сегодня, завтра: сб. ст. по матер. XXX междунар. науч.-практ. конф. № 1(23). – Новосибирск: СибАК, 2016