О ЕДИНСТВЕННОСТИ КЛАССА ЛАПЛАСОВЫХ ТРЕУГОЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В ОБЩЕЙ ЗАДАЧЕ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ПО ПРОИЗВОЛЬНОМУ ЗАКОНУ ТРЕХ ТЕЛ

ON THE UNIQUENESS OF THE CLASS OF LAPLACE’S TRIANGULAR SOLUTIONS IN THE GENERAL THREE-BODY PROBLEM WITH AN ARBITRARY LAW OF INTERACTION

Yulianna Perepelkina

Dr. in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Dpt. Applied Mathematics and Informatics Moscow State University of humanities and economics,

Moscow

АННОТАЦИЯ

Дифференциальные уравнения движения в переменных Рауса-Ляпунова в общей задаче четырех взаимодействующих по произвольному закону тел редуцированы на случай общей задачи трех тел. Выписаны необходимые и достаточные условия существования точных частных решений задачи в форме треугольников. Показано, что точные частные решения задачи в форме остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников не существуют, поскольку для них не выполняются необходимые условия существования. Подтверждается, что лапласовы частные решения в форме равносторонних треугольников, существуют и являются, по-видимому, единственным классом таких решений, что обусловлено исключительными геометрическими характеристиками фигуры – равенством длин сторон и углов.

ABSTRACT

Differential equations of motion in the Routh-Lyapunov variables in the general interacting on an arbitrary law four-body problem are reduced to a case of the three-body problem. Necessary and sufficient conditions of existence of exact partial solutions in the triangular form are derived. The nonexistence of exact partial solutions in the form of the acute triangle, the right-angled triangle and the obtuse triangle is proved. It is turned out that corresponding necessary conditions of existence exact partial solutions in above listed cases are not going to happen. The uniqueness of Laplace’s solutions in the form of the equilateral triangles is stated. It is explained that the situation takes place due to the extraordinary geometric characteristics of the equilateral triangles.

Ключевые слова: уравнения Лапласа, метод Рауса-Ляпунова, задача четырех тел.

Keywords: Laplace equation, Routh-Lyapunov method, four-body problem.

Введение. Классиками небесной механики Эйлером, Лагранжем и Лапласом более 350 лет тому назад было доказано существование, в неинтегрируемой в аналитической форме общей задаче трех тел нескольких точных частных решений, которые стали знаменитыми и были использованы в многочисленных приложениях в математике, небесной механике, звездной динамике и космодинамике.

Сначала Эйлер (1760) доказал интегрируемость частного случая задачи трех тел – задачи двух неподвижных центров. На основании этих результатов был позже доказано существование так называемых прямолинейных решений в задаче трех и многих тел. Эти решения принято называть эйлеровыми решениями. Затем Лагранж (1772) доказал существование точных частных решений в форме правильных треугольников в общей и ограниченной задачах трех при ньютоновском законе взаимодействия. Далее Лаплас (1805), кстати, без упоминания работ предшественников, доказал, что точные частные решения в форме равносторонних треугольников в общей задаче трех тел существуют и при произвольном законе взаимодействия тел. В результате эти решения в случае произвольного закона взаимодействия принято называть лапласовыми. Разным аспектам этой задачи посвящены глубокие работы Ed.J.Routh [1] (1785), А.М. Ляпунова [2] (1888) и Г.Н. Дубошина [3] (1969).

В недавней работе [4] подход Рауса и обобщения Ляпунова в общей задаче трех тел были использованы и распространены на случай общей задачи четырех тел, взаимодействующих по произвольному закону. В результате в общей задаче четырех тел в переменных Рауса-Ляпунова выведен новый вид уравнений движения, названых автором уравнениями Рауса-Ляпунова. В упомянутой работе также сформулированы необходимые и достаточные условия существования точных частных решении задачи в форме выпуклых четырехугольников. Наконец, доказано несуществование в этой задаче точных частных решений в форме квадрата. В работе [5] упомянутые исследования продолжены, и доказано несуществование в общей задаче четырех, взаимодействующих по произвольному закону тел, точных частных решений не только в форме квадрата, но и также в форме ромба (параллелограмма), дельтоида и трапеции.

В данной статье упомянутые дифференциальные уравнения движения в переменных Рауса-Ляпунова в общей задаче четырех взаимодействующих по произвольному закону тел редуцированы на случай общей задачи трех тел и использованы для повторного доказательства существования точных частных лапласовых решений задачи в форме равносторонних треугольников и несуществования точных частных решений в форме прямоугольных, остроугольных и тупоугольных треугольников.

Отмечается исключительность решений в форме равносторонних  треугольников

1. Постановка задачи. Уравнения движения в переменных Рауса-Ляпунова в общей задаче четырех тел. Воспользуемся выведенными в работе [4, с. 26-27] уравнениями движения, названными автором уравнениями Рауса-Ляпунова, в общей задаче четырех взаимодействующих по произвольному закону тел.

Вместо часто используемых в небесной механике координат r₁, r₂, y, Ω, I, F (Ω, I, F – узел восходящего узла плоскости орбит, наклон плоскости орбит и угол собственного вращения, соответственно), определяющих положение плоскости фигуры (треугольника, если говорить о работе Ляпунова [2] (1888)) в неподвижных осях и положение фигуры в ее плоскости, A.M.Ляпунов предложил другую систему переменных, а именно r₁, r₂, y, w₁, w₂, w₃, в которой  = (w₁, w₂, w₃) – вектор угловой скорости вращения триэдра M₀xhV  и его проекции: w₁ – на ось M₀x, w₂ – на ось M₀h  и w₃ – на ось M₀V. (детали можно найти в работе [4]).

Рисунок 1. Геометрия задачи четырех тел

Система обыкновенных дифференциальных уравнений движения задачи четырех тел [4]

                                     (1)

В случае w₁ = w₂ = 0, w₃ = w +  (из известных формул Эйлера тут же следует w₁¢ = w₂¢ = w₁² = w₂² = 0, w₃¢ = w₃² = w +  и вращение осуществляется лишь в плоскости фигуры) система уравнений (1) упростится до следующего вида:

                                   (2)

2. Необходимые и достаточные условия существования частных решений в задаче четырех тел. Получим необходимые и достаточные условия существования частных решений приведенной системы уравнений (2) в форме выпуклых четырехугольников (Рис. 1), положив

и считая также постоянными все входящие в систему уравнений (2) угловые величины. Тогда, в виду , получим из дифференциально-алгебраической системы уравнений (17), в которую входит произвольная непрерывная функция F_ij(r_i, D_ij), характер которой предполагается установить в конечной стадии исследования, алгебраическую систему уравнений вида

  (3)

Далее, разделив первое, второе и третье уравнения системы (3) на r₁₀, r₂₀, r₃₀, соответственно, и исключая w² из второго и третьего уравнения, сохраняя его при этом в первом уравнении (для того, чтобы вычислить величину угловой скорости конфигурации относительно одной из вершин (m₀ в нашем случае) после определения величин F_ij (r_i, D_ij)), если таковое возможно, получим новую систему алгебраических уравнений, соответствующих необходимым и достаточным условиям существования четырехугольных решений (для упрощения формул нижний индекс «0» в обозначениях углов, характеризующий фиксированный и постоянный характер этих величин, опущен):

      (4)

3. Редукция уравнений движения и необходимых условий существования частных решений задачи четырех тел на случай задачи трех тел. Упростим необходимые и достаточные условия существования точных частных решений в общей задаче четырех тел в форме выпуклых четырехугольников (4) на случай общей задачи трех тел и существования точных частных решений в форме равносторонних треугольников, приравняв к нулю массу четвертого тела m₃ = 0 в соответствующих структурах условий и отбросив соответствующие дифференциальные уравнения для четвертого тела.

В результате получим следующую систему алгебраических уравнений

(5)

Рисунок 2. Геометрия задачи трех тел

Для равностороннего треугольника (cм. Рис. 2) имеет место: r₁₀ = r₂₀ = D₁₂ = r, y = j₁ = j₂ = p/3. Тогда необходимые и достаточные условия запишутся в виде

       (6)

(Основную часть приведенных условий составляет второе выражение в фигурных скобках, которое должно быть равным нулю). После нахождения значений компонент функции F_ij(r_i, D_ij), удовлетворяющих приведенным условиям, будет вычислена угловая скорость вращения системы тел w².

Отсюда очевидно, что для любых конечных масс m₀, m₁, m₂ необходимо выполнение равенств

которые упрощаются до следующих трех условий:

или

.                (7)

Полученные равенства (для равностороннего треугольника) интерпретируются следующим образом: для существования в общей задаче трех взаимодействующих по произвольному закону тел в форме равностороннего треугольника необходимо и достаточно, чтобы каждое тело из трех действовало на два других одинаковым образом. Естественно, что это тем более имеет место, если действует один и тот же закон взаимодействия между всеми телами.

Сформулированное утверждение и составляет знаменитый результат Лапласа. Обратим внимание на зависимость компонент произвольной функции F_ij (r_i, D_ij) от одного и того же значения аргумента. Как было доказано в работах [4, 5], при попытке доказать существование в общей задаче четырех взаимодействующих по произвольному закону тел точных частных решений квадратной и других четырехугольных форм это имеет существенное (отрицательное) значение.

4. О несуществовании в общей задаче трех взаимодействующих по произвольному закону тел точных частных решений в несовпадающей с равносторонним треугольником форме. Продолжим исследования необходимых условий существования точных частных решений для других форм треугольников. Для этой цели сведем геометрические характеристики треугольников в таблицу.

Таблица 1.

Геометрические характеристики треугольных конфигураций

Выпишем явный вид необходимых условий существования точных частных решений в упомянутых трех случаях (см. табл. 1).

Мы называем приведенные условия лишь необходимыми, хотя они одновременно являются и достаточными. Для наших целей доказательства несуществования точных решений определенной формы достаточно не выполнение хотя бы одного из многочисленных необходимых условий существования.

Для остроугольного треугольника (см. табл. 1)

имеем

откуда следуют необходимые условия

Для прямоугольного треугольника (см. табл. 1)

имеем

откуда следуют необходимые условия

Для тупоугольного треугольника (см. табл.)

откуда следуют необходимые условия

Даже беглого взгляда на соответствующие выражения достаточно, чтобы сделать вывод о несуществовании таких функций F_ij(D_ij) и  их компонент при различных значениях аргумента F₀₁(r), F₀₂(r), … и так далее, чтобы упомянутые условия были выполнены независимо от значений масс. Даже если предположить, что найдена функция (постоянная!) F₀₁(r) = F₁₀(r) = F₁₂(r) =

= c ¹ 0, то и в этом случае необходимые условия существования не будут выполнены.

Заключение. Таким образом, повторено доказательство существования в общей задаче трех взаимодействующих по произвольному закону тел точных частных решений в форме равносторонних треугольников, в вершинах которых расположены тела конечной массы, и несуществование точных частных решений в форме остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников. Полученный результат позволяет утверждать, что, лапласовы частные решения в форме равносторонних треугольников в задаче трех взаимодействующих по произвольному закону тел являются единственным классом таких решений, и это обусловлено исключительными геометрическими характеристиками фигуры – равенством длин сторон и углов.

Список литературы:

1. Routh E.J. On Laplace’s three particles, with a supplement on the stability of steady motion // Proc. Lond. Math. Soc. 1875. V. 6. P. 86-97.
2. Ляпунов А.М. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах // Сообщ. Харьк. матем. общ-ва. II-ая серия. 1889. Т. II. № 1, 2. С. 1-94.
3. Дубошин Г.Н. О лагранжевых и эйлеровых решениях обобщенной задачи трех тел // Celest. Mech., 1970, V. 2. P. 454-466.
4. Zhuravlev S.G. On equations of motion in Routh-Lyapunov variables in the general interacting on an arbitrary law four-body problem and nonexistence of exact partial solutions in the quadrate form // Int.J. Theor. Appl. Mat. Class. Celest. Mech. Astrodyn. 2016. Issue 1. P. 5-28 (Russian).
5. Perepelkina Yu.V. On nonexistence in the general interacting on an arbitrary law four-body problem exact partial solutions in the forms of some convex tetragons // Int.J. Theor. Appl. Mat. Class. Celest. Mech. Astrodyn. 2016. Issue 1. P. 29-45 (Russian).