ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

GEOMETRIC SUPPORT OF THE CALCULATION ALGORITHM THE DEFINITE INTEGRAL

Ilzina Dmitrieva

сandidate of Science, assistant professor of Mytischi branch of Bauman Moscow State Technical University

Russia, Mytischi

АННОТАЦИЯ

В статье объясняется вычисление определенных интегралов от функций многих переменных обобщением понятия трехмерного пространства в курсе начертательной геометрии на многомерные пространства. Показано вычисление значений определенного интеграла по принципу расслоения.

ABSTRACT

The article explains the calculation of definite integrals from the functions of many variables by generalizing the concept of three-dimensional space in the course of descriptive geometry into multidimensional spaces. The calculation of the values of a definite integral on the principle of bundle is shown.

Ключевые слова: определенный интеграл; кратные интегралы; геометрический смысл; расслоение; начертательная геометрия

Keywords: definite integral; multiple integrals; geometrical meaning; stratification; descriptive geometry

В учебниках по высшей математике объяснение геометрического смысла определенного интеграла дается только для функций от одной, от двух и от трех переменных [3]. Известно, что определенный интеграл от функции f(x) в пределах от а до b

                       (1)

есть площадь криволинейной трапеции A₁ABB₁ (рис. 1). Площадь трапеции A₁ABB₁ вычисляется как сумма площадей  прямоугольников , образующих аппроксимирующую ступенчатую фигуру, при их неограниченном увеличении и стремлении к нулю длины Dx_i интервала.

Рисунок 1. Геометрический смысл определенного интеграла

Аналогично, геометрический смысл двойного интеграла

                                         (2)

сводится к вычислению объема цилиндрического тела, построенного над областью D² его определения и ограниченного сверху поверхностью Ф² (z = f(x, y)) (рис. 2).

Как и в одномерном случае, вычисление объема сводится к суммированию объемов параллелепипедов , надстроенных на прямоугольниках  со сторонами Dx_i, Dy_i. Верхние основания  этих параллелепипедов аппроксимируют отсек  поверхности Ф², задаваемой подынтегральной функцией f(x, y).

Рисунок 2. Геометрический смысл двойного интеграла

Обобщением определенного интеграла на случай функций от трех переменных является тройной интеграл. Рассмотрим геометрический смысл тройного интеграла

.                                (3)

Здесь под областью интегрирования  принимается некоторое тело, заполненное множеством  точек, каждая из которых имеет свою массу. Под f(x, y, z) понимается плотность распределения этих масс, а под  - масса всего тела. Замена геометрических понятий, участвующих при вычислении ,  на физические при вычислении , противоречит духу и логике математики. Возникает естественный вопрос: «Как объяснить вычисление определенных интегралов от функций многих (четырех, пяти, …) переменных?»

Выход из этой ситуации очевиден: в курсе начертательной геометрии следует обобщить понятие пространства введением многомерных пространств. Это соответствует требованиям внедрения компетентностного подхода в высшее образование, трансформации начертательной геометрии в инженерную с целью ее органичного включения в структуру дисциплины «Математическое моделирование» [1].

Образование нелинейных форм многомерного пространства обобщает кинематический способ их образования в трехмерном пространстве (рис. 3). В координатной плоскости Oxy точка A, перемещаясь по некоторому закону, описывает («заметает») кривую m. Кривая m, в с вою очередь, двигаясь в пространстве Oxyz, образует двумерную поверхность . Ее сетчатый каркас (два-ткань) образуется семействами линий , . Полученная поверхность , двигаясь по некоторому закону в направлении оси Oz, образует три-поверхность , содержащую три семейства линий , , , составляющих ее 3-ткань одномерных линий. Попарно эти семейства линий (), (), () образуют каркас двумерных образующих конструируемой поверхности . По индукции вышеизложенное обобщается на конструирование гиперповерхности , содержащей «ткань» из одно-, дву-, …, (n - 2) – мерных образующих.

Рисунок 3. Кинематический способ образования поверхностей

Таким образом, намечается логичная схема обобщения интегралов S²(1), V³(2) на интегралы высших кратностей в терминах многомерной геометрии [2]. Например, тройной интеграл  в терминах четырехмерного пространства представляет собой объем четырехмерного цилиндрического тела, надстроенного на трехмерной области интегрирования D³ (трехмерного тела) и ограниченного «сверху» 3- поверхностью Ф³(u = f(x, y, z)). Алгоритм вычисления четырехмерного объема V⁴ сводится:

• к разбиению области определения D³ на трехмерные параллелепипеды  со сторонами Dx_i, Dy_i, Dz_k;
• к построению на них четырехмерных параллелепипедов , верхние основания  которых аппроксимируют отсек  трехмерной поверхности Ф³, задаваемой подынтегральной функцией f(x, y, z);
• суммированию объемов четырехмерных параллелепипедов  при их неограниченном увеличении и стремлению к нулю длин Dx_i, Dy_i, Dz_k их оснований.

На всех этапах вычисления значений определенного интеграла от функций одной (рис. 1), двух (рис. 2) и трех переменных четко прослеживается принцип расслоения.

На рис. 1 вычисление площади  (1) сводится к вычислению суммы площадей  прямоугольников, на которые расслаивается криволинейная трапеция  (в пределе при  отсек плоскости    ординат точек графика кривой ;

На рис. 2 вычисление  (2) сводится к вычислению суммы  площадей  (1) криволинейных трапеций при расслоении в направлении оси Oy, когда , то есть объем  представляется как сумма площадей  криволинейных трапеций – сечений тела  плоскостями, параллельными координатной плоскости Oxz. Таким образом, теоретически вычисление значения двойного интеграла (объема ) (2) сводится к вычислению  значений  (1).

Аналогично, вычисление значения тройного интеграла  (3) сводится к вычислению  значений  при расслоении четырехмерного тела  в направлении оси Oz, когда . Приведенное геометрическое объяснение алгоритма вычисления значений кратных интегралов можно продолжить до бесконечности, что свидетельствует о его корректности. Таким образом, расширение предмета начертательной геометрии фигурами многомерного пространства способствует выявлению межпредметных связей со смежными разделами курса высшей математики.

Список литературы:

1. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование. [Текст] / Н.Н. Голованов - М.: Физматлит, - 2002. – 472 с.
2. Иванов Г.С. Начертательная геометрия. [Текст] / Г.С. Иванов - М.: ФГБОУ ВПО МГУЛ, - 2012. – 340 с.
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. [Текст] / Д.Т. Письменный – М.: Айрис-пресс, 2011. – 608 с.