ОБ ОБЩЕЙ СЛАБОИНВАРИАНТНОЙ КРИВОЙ ДВУХ КРЕМОНОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ С ОБЩИМ ЦЕНТРОМ

ON A GENERAL WEAKLY INVARIANT CURVE OF TWO CREMONA TRANSFORMATIONS WITH A COMMON CENTER

Ilzina Dmitrieva

Ph. D. of Pedagogy, Associate Professor Mytishchi branch of Bauman Moscow State Technical University,

Russia, Mytishchi

Gennady Ivanov

Doctor of Engineering, Professor Bauman Moscow State Technical University

 Russia, Moscow

Nurlan Umbetov

Ph. D. of Engineering, Associate Professor of South Kazakhstan University,

Kazakhstan, Shymkent

АННОТАЦИЯ

В начертательной геометрии поверхности моделируются методом двух изображений в виде соответствий, устанавливаемых между полями их проекций. При изучении взаимного положения двух поверхностей (пересечение, касание) по их моделям возникает необходимость исследования существования общих инвариантных, слабоинвариантных множеств точек и линий. В статье исследуется вопрос существования общей слабоинвариантной кривой и ее свойства у двух инволюционных преобразований с общим центром.

ABSTRACT

In descriptive geometry, surfaces are modeled using the method of two images in the form of correspondences established between the fields of their projections. When studying the mutual position of two surfaces (intersection, touch) using their models, it becomes necessary to study the existence of General invariant, weakly invariant sets of points and lines. The article examines the existence of a General weakly invariant curve and its properties for two involution transformations with a common center.

Ключевые слова: поверхность, модель, кремоново преобразование, метод двух изображений.

Keywords: surface, model, Cremona transformation, two-image method.

Кремоновы (бирациональные) преобразования плоскости и пространства нашли достаточно широкое применение при конструировании технических форм (как гладких обводов) из дуг и отсеков рациональных кривых и поверхностей [1]. Составляющие этих обводов получаются как образы дуг и отсеков простых линейных и нелинейных форм, имеющих определенное положение относительно фундаментальной (F-) и принципиальной (P-) систем специализированных преобразований. Влияние взаимного положения прообраза и F- системы на свойства конструируемого образа хорошо изучены.

Менее изучено влияние положения прообраза относительно слабоинвариантных (самосоответственных) множеств используемых преобразований. Заметим, что наличие слабоинвариантных форм обеспечивает упрощение алгоритмов построения соответственных в преобразовании линий и поверхностей. Например, наличие пучка или связки слабоинвариантных прямых делает преобразование центральным, а вырождение ассоциированного комплекса носителей соответственных точек в конгруэнцию первого порядка делает преобразование пространства расслаивающимся в пучке слабоинвариантных плоскостей на центральные преобразования. Очевидно, в этом случае существенно упрощаются конструктивные и вычислительные алгоритмы построения соответственных точек.

Этот вопрос совершенно не изучен применительно к кремоновым преобразованиям плоскости, получаемым при моделировании поверхностей в начертательной геометрии по схеме метода двух изображений. В этом случае модель получается путем двух различных проецирований точек поверхности на две совмещенные плоскости проекций ([2], п.8.4). При этом свойства оригинала изучаются по характеристикам модели, что позволяет строить на оригинале линии с заданными свойствами [3]. Практический интерес с точки зрения конструирования одномерных и двумерных обводов представляет изучение вопросов существования общей слабоинвариантной линии двух преобразований, принадлежащих одной плоскости. Эти преобразования рассматриваются как модели двух различных поверхностей, полученных по схеме метода двух изображений. Таким образом, по свойствам этой слабоинвариантной линии можно будет судить о свойствах взаимного положения данных поверхностей. В предлагаемой статье изучается вопрос существования общей слабоинвариантной кривой и ее свойства для двух инволюционных преобразований с общим центром.

Пусть даны две центральные кремоновы инволюции ,  плоскости с общим центром . На рис. 1 для простоты изображены аппараты двух квадратичных инволюций с общим центром  и инвариантными окружностями  и . Как известно [1], каждая из этих инволюций по отдельности имеет различные семейства самосоответственных кривых. Например, пучок прямых () для  будет самосоответственным, т.к. в  каждая прямая соответствует сама себе, а пары ее точек ,  «меняются» местами. Аналогично этот же пучок прямых  будет самосоответственным для . Однако прямые пучка  не будут самосоответственными одновременно для обеих инволюций  , хотя они в обеих инволюциях преобразуются сами в себя. Действительно, некоторой точке A прямой  в  соответствует точка , а в  − точка , отличная от .

Рисунок 1. Квадратичные инволюции с общим центром

Слабоинвариантной кривой  двух центральных инволюций ,  с общим центром  будем называть такую кривую, которая состоит из множества пар точек , одновременно соответственных в обоих инволюциях. При этом соответственные точки ,  данных инволюций ,  должны совпадать.

Предложение 1: две центральные кремоновы инволюции ,  порядков n,  с общим центром  имеют слабоинвариантную кривую  порядка  c ) – кратной точкой , инцидентную всем простым фундаментальным точкам данных инволюций: ветви кривой  в точке  касаются прямых , где  – точки пересечения принципиальных кривых , соответственных в ,  точке .

Некоторый пучок прямых (S) в инволюции  преобразуется в пучок гомалоидов (кривых порядка n с (n -1) – кратной точкой ), базисными точками которого будут F – точки инволюции  и точка  - образ точки S в этой инволюции. Аналогично, этот же пучок (S) в инволюции  преобразуется в пучок кривых порядка , базисными точками которого будет F – точки инволюции  и точка , соответственно точке S в инволюции . Полученные пучки кривых, как соответственные одному и тому же пучку прямых (s), будут проективными и порождают алгебраическую кривую порядка , распавшуюся на прямую  и остаток – кривую g порядка . Кривая g будет для данных инволюций слабоинвариантной. Кривая g содержит пересечения двух гомалоидов , соответственных одной прямой a пучка (s), и их прообразы, инцидентные прямой a. Прямая не будет слабоинвариантной, т.к. ей в инволюциях ,  соответствуют прямые ,  , совпадающие с , но их точки, соответственные одной и той же точке прямой , не совпадают.

Для слабоинвариантной кривой g точка  будет () – кратной, поскольку она пересекается с любой прямой l пучка () только в двух свободных точках – в общей паре соответственных точек, индуцируемых на l инвариантными кривыми  данных инволюций. Ветви кривой g в точке  имеют  касательных, которые, очевидно, соединяют точку  с точками пересечения P – кривых , соответственных точке  в данных инволюциях.

Действительно, P – кривые  порядков , , имеющие соответственно  - и - кратную точку , пересекаются еще в  точках

.

В число этих точек входят действительные и мнимые точки, различные и совпавшие, поэтому ветви кривой g, инцидентные точке , также могут быть действительными и мнимыми, некоторые ее ветви в точке  могут соприкасаться.

Кривая g инцидентна всем простым F – точкам инволюций , , т.к. в любой простой F – точке  , например, инволюции  соответствует P – прямая , соединяющая эту F – точку  с центром  преобразования. Следовательно, образом этой F – точки  в инволюции  будет точка , инцидентная прямая , т.е. точки ,  будут соответственными в обоих инволюциях и поэтому принадлежат общей слабоинвариантной кривой g данных инволюций. Аналогично кривая g инцидентна всем простым F точкам  инволюции  и их образам  в инволюции .

Аналогично, кривая g может иметь действительные и мнимые асимптоты, которые могут быть обыкновенными или оскулирующими в зависимости от типов точек пересечения предельных кривых данных инволюций.

Далее рассмотрим условия распадения слабоинвариантной кривой g двух данных центральных инволюций ,  с общим центром . Нетрудно показать, что при пересечении инвариантных кривых  инволюций ,  в двух точках , коллинейных с , прямая  будет слабоинвариантной (рис. 2). Заметим, что кривые , как имеющие  - и  - кратную точку , не могут пересекаться более чем в двух точках, коллинейных с . Прямая  является общей слабоинвариантной прямой инволюции ,  , т.к. в обоих инволюциях каждой ее точке A соответствует одна и та же точка .

Рисунок 2. Распадение слабоинвариантной кривой двух данных центральных инволюций с общим центром на прямые и кривую

Таким образом, справедливо следующее предложение 2: если k пар точек пересечения  инвариантных кривых  двух данных инволюций ,  с общим центром , где  коллинейны с точкой , то общая слабоинвариантная кривая g порядка  распадается на k прямых  и остаток – кривую порядка .

Следствие: если общим центром  двух центральных квадратичных инволюций  является одна из диагональных точек полного четырехсторонника с вершинами в точках пересечения их инвариантных коник , то общая слабоинвариантная кривая третьего порядка этих инволюций распадается на три прямые: две стороны полного четырехсторонника, инцидентные точке  и его диагональ, инцидентную точке  (рис.3).

Рисунок 3. Распадение слабоинвариантной кривой двух данных центральных инволюций с общим центром на прямые

Здесь возможны интересные частные случаи, связанные с совпадением двух или более точек пересечения инвариантных кривых  в пару точек , коллинейных с общим центром  данных инволюций. Очевидно, что такое совпадение ведет к совпадению двух и более из k возможных слабоинвариантных прямых в одну прямую . Из предложения 2 следует, что из возможных  слабоинвариантных прямых  совпадают две, если в точках  совпали по две точки пересечения кривых  (рис. 4). То есть кривые  имеют двухточечное касание в двух точках , коллинейных с . Если касание в обоих точках  будет трехточечным, то прямая  будет считаться трижды и так далее.

Если же в одной точке, например, в D кривые  просто пересекаются, а в другой точке  имеют двухточечное касание, то прямая  будет считаться в качестве слабоинвариантной лишь один раз. Обобщая, можно утверждать, что при  – точечном касании кривых  в точке D и при  – точечном касании в , где  прямая  будет считаться в качестве слабоинвариантной  раз.

Рисунок 4. Совпадение слабоинвариантных прямых

На основе вышеизложенного следует справедливость следующих предложений.

Предложение 3. Кривой b порядка m, имеющей в какой-либо точке B с общей слабоинвариантной кривой g двух центральных инволюций ,  с общим центром  t - точечное касание, в данных инволюциях соответствуют кривые  соответственно порядков  и , имеющие в точке , где  - вторая свободная точка пересечения прямой  с кривой g, также t – точечное касание.

Предложение 4. Кривой b порядка m, пересекающей в какой-либо точке B общую слабоинвариантную прямую  двух центральных инволюций ,  с общим центром , считаемую k раз, в данных инволюциях соответствуют кривые  соответственно порядков  и , имеющие в точке  - образе точки B в инволюциях ,  − k- точечное соприкосновение.

Сформулированные предложения могут служить теоретической базой для принципиально нового способа конструирования гладких обводов из дуг кривых и гладких двумерных обводов из отсеков поверхностей , если инволюции ,  считать их моделями в некотором классическом или обобщенном методах двух изображений.

Список литературы:

1. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований) [Текст] / Г.С. Иванов. – М., Машиностроение, 1987. – 192 с.
2. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст]/ Г.С. Иванов. – М.,Машиностроение,1998. – 157 с.
3. Иванов Г.С. Конструирование одномерных обводов, принадлежащих поверхностям, путем их отображения на плоскость [Текст]/ Г.С. Иванов // Геометрия и графика. – 2018. – Т.6 - №1. – С.3-9.