ОБ ОЦЕНКЕ ОСЦИЛЛЯТОРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ С КВАЗИОДНОРОДНОЙ ФАЗОЙ

Введение

В связи с проблемой об ограничении максимальных операторов,

ассоциированных с гиперповерхностью  С.Д. Согги и И.М.Стейном [1] введены следующие демпфированные осцилляторные интегралы:

                             (1)

где гауссова кривизна гиперповерхности в точке  - неотрицательная гладкая функция с компактным носителем,  скалярное произведение векторов  и  поверхностная мера. Они доказали, что если  то интеграл (1) убывает в порядке , т.е. убывает оптимально.

Отметим, что если гауссова кривизна не обращается в нуль, то преобразование Фурье поверхностной меры убывает в порядке  причем для ненулевой меры быстрее убывать не может, что означает

оптимальность порядка убывания.

Постановка задачи

Найти минимальное значение  такое, что справедлива следующая оценка:

Аналогичная задача для произвольной гиперповерхности  поставлена

в работе [1] Согги и Стейна. Решение поставленной задачи в одномерном случае, точнее, когда  - кривая, заданная полиномом, вытекает из результатов Д. Оберлина [2]. Фактически результаты Д. Оберлина связаны с семейством кривых.

Пусть  данный вес удовлетворяющий условию  и мы определяем группа дилатаций следующим соотношением

. Функция  в - однородной, квазиоднородной степени  если для любого  выполняится

соотношении . Иногда такая функция называется взвешенно однородной. Показатель  называется -степенью функции . Например,-степень монома  является число  Если  то называем функцию однородной или квазиоднородной степени единица.

В данной работе мы представим решение задачи С. Д. Согги и И. М. Стейна для случая когда поверхность заданных графиком квазиоднородного полинома степени единица.

Основным результатом настоящей работы является следующая

Теорема. Пусть

 - квазиоднородный полином степени единице) и  фиксированное вещественное число. Тогда для любой ограниченной окрестности нуля  и любой функции , интеграл (1) имеет оценку:

где  - фиксированное положительное число и естественная норма пространства

Схема доказательства основной теоремы

Пусть Тогда мы имеем  

Интеграл  записывается в виде следующего двумерного осцилляторного интеграла:

где

Теперь, мы рассмотрим интегралы (2) зависящие от параметров

Если , то фаза не имеет критических точек и поэтому справедлива.

Лемма 3. Существует окрестность  начала координат, такая, что для любого  и имеет место следующая оценка:

Лемма 3 является аналогом леммы 3 в работы [4].

Пусть  Тогда, мы записываем интеграл (2) в следующем виде

где  и . Случай  подробно исследован в работе [4]. Более того в этом случае при  интеграл (1) оптимально убывает и

поэтому мы предположим, что  бесконечно гладкая функция с достаточно малым носителем и . Поэтому в окрестности нуля обе главные кривизны достаточно малы. Мы рассмотрим интегралы (3) в зависимости от весов , то есть:

 и

Пусть  Без ограниченное общности  и , тогда , случай  и , рассматривается совершенно аналогично. Согласно предложения 2.2 в работы [5] многочлен  записывается в следующем виде  где

. Так как,  и по условия .

Теперь приведем следующую лемму:

Лемма 4. Пусть  и  Тогда существует окрестность  начала координат, такая, что для любого  для интеграла (3) справедлива следующая оценка

Таким образом, в дальнейшем будем считать, что  

Теперь, рассмотрим двоичное разложение [6], предпологая с

где

 и  

Используя двоичного разбиения, мы получим для интеграла (3) соответствующее разложение

,

Где

и

.

В интеграле (4) используем замену переменных, заданной растяжением:

и получим

где

и

,

, .

Предложение 1. Пусть  фиксированное вещественное число и . Тогда существуют окрестность  точки  и  такие, что для каждой функции , для интеграла (4) справедливая оценка

Что и требовалось доказать.

Список литературы:

1. Sogge C.D., Stein E.M. Averages of functions over hypersurfaces in . // Invent. Math. – 1985. – Vol. 82. - no 3. – P.543-556.
2. Oberlin D.M. Oscillatory integrals with polynomial phase // MATH.SCAND. -1991. – vol.9. – no.1. – P. 45-56.
3. Ikromov I.A., Müller D., Kempe M. Damped oscillatory integrals and boundedness of maximal operators associated to mixed homogeneous hypersurfaces // Duke Math.J. – 2005. – vol.126. – no.3. – P. 471-490.
4. Икромов И.А., Муранов Ш.А. Об оценках осцилляторных интегралов с множителем гашения // Математические заметки. – 2018. – Т.104. – вып.2. –С. 236-251.
5. Ikromov I.A., Müller D. On adapted coordinate systems.// Trans. Amer. Math. Soc., - 2011. – vol. 363. – no. 6, - P. 2821-2848.
6. Ikromov I.A., Kempe M., Müller D. Estimates for maximal functions associated with hypersurfaces in  and related problems of harmonic analysis.// Act.math Journal. – 2010. – vol. 204. –P.151-271.