ПРОЕКТИВНЫЕ НОРМАЛИ H-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА

АННОТАЦИЯ

Показано, что H-распределение порождает для каждого из  L-, L-, H-подрасслоений в дифференциальной окрестности 2-го порядка по три однопараметрических семейства внутренних нормализаций Нордена.

Дано построение для H-подрасслоения проективных нормалей Фубини и Вильчинского.

Построены канонические пучки нормалей 1-го и 2-го рода каждого из L-, L-, H-подрасслоений данного H-распределения.

ABSTRACT

It is shown that the H -distribution for each L-, L‑, H‑subbundles generates three one-parametrical families of Norden internal normalizations in the 2nd order differential neighbourhood.

Construction H-subbundle of the Fubini and Wilczynski projective normals is given.

Canonical bundles of 1st and 2nd kind normals are constructed for each L-, L‑, H‑subbundles of the H -distribution.

Ключевые слова: распределение, подрасслоение, квазитензор, внутренняя нормализация, проективитет Бомпьяни — Пантази, геометрический объект.

Keywords: distribution, subbundle, bundle, quasitensor, internal normalization, projectivity Bompiani–Pantazi, geometrical object.

В работе индексы принимают следующие значения:

Знак º означает сравнение по модулю базисных форм .

1. Пучки проективных нормалей основных структурных подрасслоений данного H –распределения в дифференциальной окрестности 2-го порядка

Следуя работам [1; 2], введем в рассмотрение в дифференциальной окрестности 2-го порядка проективные нормали 1-го рода для H-подрасслоения данного H -распределения:

                                                (1)

                                                    (2)

                                                (3)

где

Замечание. Охваты нормалей 1-го рода Нордена (1), (2) H-подрасслоения можно представить в виде

                                              (4)

Нормаль  (4) совпадает с проективной нормалью, построенной Михайлеску [3] геометрическим путем для двумерных распределений. В работах Алшибая Э. Д. [1], [2] приведено доказательство этого утверждения для двумерных элементов (для двумерных распределений) в трехмерном проективном пространстве. В силу этого мы оставили за нормалью  (4) название нормали Михайлеску элемента H-подрасслоения (плоскости H(A)) в центре А H-распределения.

Поскольку квазитензоры (1), (2), (3), функционально независимы, то в каждом центре А H-распределения имеем три однопараметрических семейства проективных нормалей 1-го рода элемента Н-подрасслоения (плоскости Н(А)):

где .

Квазитензорам  (1),  (3),  (2), согласно проективитету Бомпьяни—Пантази [4], поставим в соответствие тензоры , , :

                                                         (5)

поля которых (5) задают поля нормалей 2-го рода H-подрасслоения данного H-распределения. Тензоры , ,  (5) функционально независимы. Следовательно, мы имеем три однопараметрических семейства нормалей 2-го рода плоскости H(A) в каждом центре A H ‑распределения:

                                                                   (6)

Учитывая, что нормализации , ,  H-подрасслоения функционально независимы и, кроме того, каждый квазитензор вида  и каждый тензор вида  имеют подобъекты, приходим к выводу.

Теорема 1. В каждом центре A H -распределение порождает для каждого из L-, L-, H-подрасслоений в дифференциальной окрестности 2-го порядка по три однопараметрических семейства внутренних нормализаций Нордена.

Замечание. Нормализации , ,  являются нормалями Михайлеску соответственно L-, L-, H-подрасслоений данного H-распределения аффинного пространства A_n.

2. Построение нормали Фубини H-подрасслоения

Будем исходить из того, что система функций  вполне интегрируема:

Подрасслоение H-плоскостей данного гиперполосного H -распределения запишется в виде

                                                                             (7)

Продолжение уравнений (7) задает систему дифференциальных уравнений объекта 1-го порядка H-подрасслоения :

                                                              (8)

Из уравнения (81) системы (8) следует, что компоненты  образуют самостоятельный объект [5]. Этот объект назовем фундаментальным подобъектом 1-го порядка H-распределения. В общем случае объект  несимметричен по индексам a, b.

Введем на H-плоскости (элемент H-подрасслоения) функции

                                    (9)

Используя (9), построим тензор

                                                (10)

Полученный тензор (10) симметричен по всем индексам и аполярен тензору :

Замыкание свертки

с учетом (10) приводит к уравнению

                                                                     (11)

В свою очередь, при  продолжение уравнения (11) дает в результате

                                                                 (12)

Заметим, что при продолжении определителя  возникает функция , удовлетворяющая уравнению

                                                            (13)

В силу формул (12), (13) введем в рассмотрение абсолютный тензор

В заключение, используя нормаль Бляшке  [6], построим геометрический объект

                                                  (14)

где

                                                            (15)

Объект  (14) определяет в каждом центре A H-распределения проективную нормаль — аналог нормали Фубини [7].

Замечание. Следует отметить, что уравнения

задают (n - 2)-мерную инвариантную плоскость, принадлежащую элементу H-подрасслоения и не проходящую через центр A H -распределения.

3. Построение нормали Вильчинского на H-подрасслоении

Замыкание уравнения (15) для величин  вводит систему новых величин  третьего порядка. Используя их, последовательно вычисляем:

                                               (16)

                                                (17)

и, кроме того, вводим свертку

                                                      (18)

При помощи относительных инвариантов (16)—(18) построим абсолютный тензор

                               (19)

Тензоры  и  (10) позволяют построить еще один абсолютный тензор

                                                          (20)

В общем случае тензор  (20) невырожденный, т.е.

Следовательно, можно ввести обратный ему тензор :

                                                              (21)

Используя формулы (10), (19), (21), введем в рассмотрение тензор

                                               (22)

Наконец, в заключение, по тензору  (22) и нормали Бляшке  (15) построим нормаль

                                          (23)

которая задает проективную нормаль 3-го порядка — аналог директрисы Вильчинского [8] для H-подрасслоения.

Геометрические объекты  (14) и  (23) определяют канонический пучок нормалей H-плоскости

                                                            (24)

Плоскость, определенная пучком (24), пересекает гиперплоскостной элемент (H-плоскость) по прямой

которая является аналогом канонической касательной [8].

Замечание. При помощи объекта

определяется (n - 2)-мерная плоскость, лежащая в гиперплоскостном элементе (H-плоскости) и не проходящая через центр A H-распределения:

4. Канонические пучки проективных нормалей H -распределения аффинного пространства

Вернемся к терминологии H -распределения. Пучок (24) примет вид

                                                                 (25)

Согласно проективитету Бомпьяни — Пантази пучку (25) соответствует пучок канонических нормалей H-подрасслоения 2-го рода:

                                          (26)

Так как объекты  и  имеют подобъекты , , то в L-подрасслоении и L-подрасслоении индуцируются соответственно пучки канонических нормалей 1-го рода

                                                                (27)

                                                             (28)

В силу проективитета Бомпьяни—Пантази пучкам (27), (28) соответствуют пучки канонических нормалей 2-го рода L-подрасслоения и соответственно L-подрасслоения

                                         (29)

                                     (30)

Резюмируя, приходим к выводу.

Теорема 2. В дифференциальной окрестности 3-го порядка H-распределе­ние порождает внутренним образом на каждом из L-, L-, H‑подрасслоений пучки ((27), (29)), ((28), (30)), ((25), (26)) канонических нормалей 1-го и 2-го рода соответственно.

Список литературы:

1. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве // Тр. Геом. семинара. ВИНИТИ АН СССР. М., 1974. Т. 5. С. 169—193.
2. Алшибая Э. Д. Геометрия распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве: учебное пособие. Тбилиси, Изд-во Тбилисского ун‑та, 1999.
3. Mihăilescu T. Geometrie diferenţială proiectivă. Bucureşti Acad. RPR, 1958.
4. Попов Ю. И. Введение в теорию регулярного гиперполостного распределения аффинного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 10. С. 49—56.
5. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометричес­ких исследований // Тр. Московского математического общества. 1953. Т. 2. С. 275—382.
6. Попов Ю. И. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов 2-го порядка H-распределения аффинного пространства // Вестник Бал­тийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математичес­кие и технические науки. 2016. № 2. С. 18—24.
7. Кованцов Н. И. К проективной теории комплекса прямых // Докл. АН СССР. 1954. Т. 97. С. 716—776.
8. Лаптев Г. Ф. Гиперповерхности в пространстве проективной связности // Там же. 1958. Т. 121, № 1. С. 41—44.