СВЯЗНОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО ОСНАЩЕННОЙ ГИПЕРПОЛОСЫ

ABOUT CONNECTION OF CENTRAL-EQUIPPED HYPER BAND

Yuri Popov

сandidate of Science, professor of Baltic federal university of I.Kant,

Russia, Kaliningrad

АННОТАЦИЯ

В данной работе приведено задание гиперполосы СН_mÌP_n и доказана теорема существования: гиперполоса с центральным оснащением определена с произволом (n – m)+m(n – m – 1) функций m аргументов.

К гиперполосе СН_m внутренним инвариантным образом присоединена плоскость Картана и проективная связность Г. Доказано, что проективная связность получена путем проектирования (центром проектирования является  плоскость Картана).

Индексы принимают значения:

ABSTRACT

This paper shows expression of the hyperband CH_mÌP_n. The article proves the existence theorem: central-equipped hyperband is defined with variability of

(n – m)+m(n – m – 1) functions of m arguments.

Cartan plane and projective connection G are internally invariatly connected to hyperband CH_m. It is proved that the projective connection is obtained by projection where the Cartan plane is the projection center.

Indexes take following values

Ключевые слова: гиперполоса, оснащение Картана, проективная связность, объект проективной связности, тензор кривизны – кручения.

Keywords: huperband, Cartan equipment, projective connection, object of projective connection, curvature-torsion tensor.

1. Задание регулярной гиперполосы с центральным оснащением в проективном пространстве P_n.

Определение[1]. Гиперполоса Н_m (m³2) называется центрально оснащенной, если оснащающие прямые в нормалях 1-го рода базисной поверхности проходят через одну точку – центр оснащений.

Центрально оснащенные гиперполосы обозначим символом СН_m. Присоединим к гиперполосе СН_m подвижной точечный репер  следующим образом: , где V_m – базисная поверхность гиперполосы СН_m,  (здесь T_m касательная плоскость базисной поверхности V_m в точке ),  ( - характеристика гиперполосы),  поместим в точку пересечения прямых h, т.е.  (P – центр оснащения).

В репере 1-го порядка  регулярная гиперполоса СН_m задается следующим образом:

                      (1)

где

Отметим, что , …, - последовательность фундаментальных геометрических объектов [2] гиперполосы СН_m.

Имеет место теорема существования гиперполосы СН_m. Чистое замыкание системы (1) представим в виде

                           (2)

Найдем характеры системы (2) [3]:

Вычисляем число Э.Картана системы (2) (пусть A=m(n – m – 1)):

В силу леммы Э.Картана [2] из системы (2) следует:

.                              (3)

Определим число линейно независимых коэффициентов N, входящих в систему (3):

Итак, Q=N. Данная система (2) находится в инволюции [3]. Таким образом справедлива

Теорема 1. В проективном пространстве P_n регулярная гиперполоса с центральным оснащением CH_m (1) существует с произволом  функций m аргументов.

2. Гиперполоса СН_m оснащенная в смысле Э.Картана.

Определение. Гиперполоса CH_m оснащена  в смысле Э.Картана [1], если каждой точке  поставлена в соответствие плоскость  размерности (n – m – 1), не имеющая общей точки с касательной плоскостью .

Плоскость  в каждой точке  можно задать следующим образом:

.                       (4)

Функции, входящие в уравнения (4) подчиняются требованиям:

                      (5)

В качестве функций  (5) берем следующие охваты

                            (6)

В силу этого оснащение гиперполосы СН_m в смысле Э.Картана равносильно заданию на гиперполосе СН_m полей геометрических объектов , при этом в каждой точке  оснащающая плоскость  пересекает характеристику  по оси Кенигса [1] .

Условия неподвижности оснащающей плоскость Э.Картана  имеют вид

Известно [4], что при  оснащающие плоскости Э.Картана  неподвижны  при любом смещении , тогда и только тогда, когда ее смещение не выходит за пределы нормали первого рода .

3. Проективные связности на оснащенной гиперполосе СН_m.

Проективную связность на гиперполосе СН_m определим при помощи системы форм , которые получаются из форм  следующим преобразованием [5], [6]:

                                        (7)

Преобразованные формы  (7) удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства:

где

Здесь для удобства записи мы введем обозначение  Формы   образуют вполне интегрируемую систему и определяют на базисной поверхности  после геометрического объекта . Этот объект  мы будем называть объектом проективной связности Г (7) гиперполосы CH_m.

Для того чтобы формы  определяли проективную связность на гиперполосе CH_m, необходимо и достаточно [2], чтобы было задано поле объекта связности :

                                            (8)

или, что то же

где

- тензор кручения-кривизны проективной связности гиперполосы СН_m.

Будем полагать, что гиперполоса  оснащена в смысле Э.Картана [7]. Построим для этой гиперполосы СН_m проективную связность Г, внутренне определенную самой гиперполосой СН_m, т.е. построим охват объекта связности  фундаментальными объектами гиперполосы СН_m.

Предварительно распишем систему дифференциальных уравнений (8):

                         (9)

где правые части  состоят из первоначальных членов   и членов, содержащих главные формы , которые были перенесены из левых частей уравнений (8).

Охват объекта проективной связности Г осуществим по формулам:

                                          (12)

Таким образом, формы проективной связности , внутренним образом присоединенные к гиперполосе СН_m, имеют вид:

                                     (11)

Замечание. Здесь мы имеем в виду, что геометрический объект 2-го порядка , задающий оснащение гиперполосы СН_m в смысле Э.Картана, внутренним образом присоединен к гиперполосе СН_m.

Из соотношений (9), (10), с учетом уравнений(1), (5), (6), получаем следующие выражения для коэффициентов :

Учитывая построенные выше охваты (10) компонент объекта проективной связности Г находим окончательно компоненты тензора кривизны-кручения :

4. Покажем, что построенная проективная связность Г относится к классу проективных связностей, определяемых путем проектирования. Действительно, при определяющем связность отображении

,

образом касательной плоскости Т_m(u+du)= является плоскость :

.                     (12)

Спроектируем на касательную плоскость  образ  соседней касательной плоскости , приняв оснащенную плоскость  за центр проектирования. Эта проекция определяется отображением

                    (13)

Коэффициенты  определим из условия: проекции  вершин  должны располагаться в касательной плоскости , т.е. в разложении (13) должны отсутствовать члены, содержащие  и . В результате получаем, что

                           (14)

Итак, суперпозиция отображений (12) и (13) задает отображение, определяющее проективную связность гиперполосы СН_m (здесь мы учитываем соотношения (14)):

Формы

определяющие главную часть полученного отображения, и являются формами проективной связности на гиперполосе СН_m, определенной путем проектирования. Объект этой связности определяется формулами (11), что и требовалось доказать.

Список литературы:

1. Попов Ю.И., Столяров А.В. Специальные классы регулярных гиперполос проективного пространства. Учебное пособие. Балтийский федеральный университет им. И.Канта. Калининград, 2011, 122 С.
2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований// Тр. Московского математического общества. 1953. Т.2. С.275-375.
3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.,Л., 1948.
4. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Монография, Чебоксары, 1992.
5. Лаптев Г.Ф. Гиперповерхности в пространстве проективной связности. Докл. АН СССР, 1958, т.121, №1, с.41-44.
6. Лаптев Г.Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства. Тр. 4-го Всес. матем. съезда, 1961 (1964), т.2, с.226-236.
7. CartanE., Lesespacesa’connexcon projective. Тр. семин. По векторному и тензорному анализу, 1937, т.4, с.147-159.