Статья опубликована в рамках: XVI Международной научно-практической конференции «Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований» (Россия, г. Новосибирск, 24 июня 2019 г.)

Наука: Математика

Секция: Геометрия и топология

Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции

Библиографическое описание:
Попов Ю.И. СВЯЗНОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО ОСНАЩЕННОЙ ГИПЕРПОЛОСЫ // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. XVI междунар. науч.-практ. конф. № 6(13). – Новосибирск: СибАК, 2019. – С. 10-17.
Проголосовать за статью
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

СВЯЗНОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО ОСНАЩЕННОЙ ГИПЕРПОЛОСЫ

Попов Юрий Иванович

канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им.И.Канта,

РФ. г.Калининград

ABOUT CONNECTION OF CENTRAL-EQUIPPED HYPER BAND

 

Yuri Popov

сandidate of Science, professor of Baltic federal university of I.Kant,

Russia, Kaliningrad

 

АННОТАЦИЯ

В данной работе приведено задание гиперполосы СНmÌPn и доказана теорема существования: гиперполоса с центральным оснащением определена с произволом (nm)+m(nm – 1) функций m аргументов.

К гиперполосе СНm внутренним инвариантным образом присоединена плоскость Картана и проективная связность Г. Доказано, что проективная связность получена путем проектирования (центром проектирования является  плоскость Картана).

Индексы принимают значения:

ABSTRACT

This paper shows expression of the hyperband CHmÌPn. The article proves the existence theorem: central-equipped hyperband is defined with variability of

(nm)+m(nm – 1) functions of m arguments.

Cartan plane and projective connection G are internally invariatly connected to hyperband CHm. It is proved that the projective connection is obtained by projection where the Cartan plane is the projection center.

Indexes take following values

 

Ключевые слова: гиперполоса, оснащение Картана, проективная связность, объект проективной связности, тензор кривизны – кручения.

Keywords: huperband, Cartan equipment, projective connection, object of projective connection, curvature-torsion tensor.

 

  1. Задание регулярной гиперполосы с центральным оснащением в проективном пространстве Pn.

Определение[1]. Гиперполоса Нm (m³2) называется центрально оснащенной, если оснащающие прямые в нормалях 1-го рода базисной поверхности проходят через одну точку – центр оснащений.

Центрально оснащенные гиперполосы обозначим символом СНm. Присоединим к гиперполосе СНm подвижной точечный репер  следующим образом: , где Vm – базисная поверхность гиперполосы СНm,  (здесь Tm касательная плоскость базисной поверхности Vm в точке ),  ( - характеристика гиперполосы),  поместим в точку пересечения прямых h, т.е.  (P – центр оснащения).

В репере 1-го порядка  регулярная гиперполоса СНm задается следующим образом:

                      (1)

где

Отметим, что , …, - последовательность фундаментальных геометрических объектов [2] гиперполосы СНm.

Имеет место теорема существования гиперполосы СНm. Чистое замыкание системы (1) представим в виде

                           (2)

Найдем характеры системы (2) [3]:

Вычисляем число Э.Картана системы (2) (пусть A=m(nm – 1)):

В силу леммы Э.Картана [2] из системы (2) следует:

.                              (3)

Определим число линейно независимых коэффициентов N, входящих в систему (3):

Итак, Q=N. Данная система (2) находится в инволюции [3]. Таким образом справедлива

Теорема 1. В проективном пространстве Pn регулярная гиперполоса с центральным оснащением CHm (1) существует с произволом  функций m аргументов.

2. Гиперполоса СНm оснащенная в смысле Э.Картана.

Определение. Гиперполоса CHm оснащена  в смысле Э.Картана [1], если каждой точке  поставлена в соответствие плоскость  размерности (nm – 1), не имеющая общей точки с касательной плоскостью .

Плоскость  в каждой точке  можно задать следующим образом:

.                       (4)

Функции, входящие в уравнения (4) подчиняются требованиям:

                      (5)

В качестве функций  (5) берем следующие охваты

                            (6)

В силу этого оснащение гиперполосы СНm в смысле Э.Картана равносильно заданию на гиперполосе СНm полей геометрических объектов , при этом в каждой точке  оснащающая плоскость  пересекает характеристику  по оси Кенигса [1] .

Условия неподвижности оснащающей плоскость Э.Картана  имеют вид

 

Известно [4], что при  оснащающие плоскости Э.Картана  неподвижны  при любом смещении , тогда и только тогда, когда ее смещение не выходит за пределы нормали первого рода .

3. Проективные связности на оснащенной гиперполосе СНm.

Проективную связность на гиперполосе СНm определим при помощи системы форм , которые получаются из форм  следующим преобразованием [5], [6]:

                                        (7)

Преобразованные формы  (7) удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства:

где

Здесь для удобства записи мы введем обозначение  Формы   образуют вполне интегрируемую систему и определяют на базисной поверхности  после геометрического объекта . Этот объект  мы будем называть объектом проективной связности Г (7) гиперполосы CHm.

Для того чтобы формы  определяли проективную связность на гиперполосе CHm, необходимо и достаточно [2], чтобы было задано поле объекта связности :

                                            (8)

или, что то же

где

- тензор кручения-кривизны проективной связности гиперполосы СНm.

Будем полагать, что гиперполоса  оснащена в смысле Э.Картана [7]. Построим для этой гиперполосы СНm проективную связность Г, внутренне определенную самой гиперполосой СНm, т.е. построим охват объекта связности  фундаментальными объектами гиперполосы СНm.

Предварительно распишем систему дифференциальных уравнений (8):

                         (9)

где правые части  состоят из первоначальных членов   и членов, содержащих главные формы , которые были перенесены из левых частей уравнений (8).

Охват объекта проективной связности Г осуществим по формулам:

                                          (12)

Таким образом, формы проективной связности , внутренним образом присоединенные к гиперполосе СНm, имеют вид:

                                     (11)

Замечание. Здесь мы имеем в виду, что геометрический объект 2-го порядка , задающий оснащение гиперполосы СНm в смысле Э.Картана, внутренним образом присоединен к гиперполосе СНm.

Из соотношений (9), (10), с учетом уравнений(1), (5), (6), получаем следующие выражения для коэффициентов :

Учитывая построенные выше охваты (10) компонент объекта проективной связности Г находим окончательно компоненты тензора кривизны-кручения :

4. Покажем, что построенная проективная связность Г относится к классу проективных связностей, определяемых путем проектирования. Действительно, при определяющем связность отображении

,

образом касательной плоскости Тm(u+du)= является плоскость :

.                     (12)

Спроектируем на касательную плоскость  образ  соседней касательной плоскости , приняв оснащенную плоскость  за центр проектирования. Эта проекция определяется отображением

                    (13)

Коэффициенты  определим из условия: проекции  вершин  должны располагаться в касательной плоскости , т.е. в разложении (13) должны отсутствовать члены, содержащие  и . В результате получаем, что

                           (14)

Итак, суперпозиция отображений (12) и (13) задает отображение, определяющее проективную связность гиперполосы СНm (здесь мы учитываем соотношения (14)):

Формы

       

определяющие главную часть полученного отображения, и являются формами проективной связности на гиперполосе СНm, определенной путем проектирования. Объект этой связности определяется формулами (11), что и требовалось доказать.

 

Список литературы:

  1. Попов Ю.И., Столяров А.В. Специальные классы регулярных гиперполос проективного пространства. Учебное пособие. Балтийский федеральный университет им. И.Канта. Калининград, 2011, 122 С.
  2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований// Тр. Московского математического общества. 1953. Т.2. С.275-375.
  3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.,Л., 1948.
  4. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Монография, Чебоксары, 1992.
  5. Лаптев Г.Ф. Гиперповерхности в пространстве проективной связности. Докл. АН СССР, 1958, т.121, №1, с.41-44.
  6. Лаптев Г.Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства. Тр. 4-го Всес. матем. съезда, 1961 (1964), т.2, с.226-236.
  7. CartanE., Lesespacesa’connexcon projective. Тр. семин. По векторному и тензорному анализу, 1937, т.4, с.147-159.
Проголосовать за статью
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

Оставить комментарий

Форма обратной связи о взаимодействии с сайтом