ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ ПРИ РАСЧЕТЕ И АНАЛИЗЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

АННОТАЦИЯ

Данная статья освещает практическое применение теории графов при анализе и расчете электрических цепей. Работа включает в себя основные теоретические аспекты. В целях демонстрации практического применения теории графов представлен наглядный пример.

Ключевые слова: теория графов; схема электрической цепи; электротехника, ребро, вершина, контур.

Большинство инженерных и естественнонаучных направлений так или иначе связаны с графическим изображением разного рода схем. Несомненно, электроэнергетика является одним из таких направлений. Использование схем электрических цепей и сетей является неотъемлемой частью решения любого рода задач, помогающей во многом упростить решение и добавить наглядности. В частности, при расчете сложных электрических цепей значительную роль играет использование теории графов.

Начало использование теории графов при проведении расчетов в электротехнике было положено Густавом Робертом Кирхгофом, одним из величайших физиков 19-го века, разработанная им теория деревьев позволила упростить процесс нахождения значений токов в каждом проводнике и контуре рассматриваемого контура.

Рассмотрим основные теоретические аспекты теории графов, используемые при электротехнических расчетах.

Первые задачи, рассматриваемые в теории графов, базировались на конфигурациях, состоящих из точек и линий, их соединяющих, в дальнейшем им была присвоена особая терминология, согласно которой, точки именуются вершинами, а линии их соединяющие – ребра. Данная концепция успешно применима к схемам электрической цепи, таким образом, узлам схемы сопоставимы вершины, а ее ветвям – ребра.

Зададим множество вершин –  и множество ребер –  графа.  Исходя из выше описанного, каждый граф  – это определенная совокупность пар вершин , соединенных ребром , таким образом, правомерна запись , для которой справедливы суждения, что ребро  инцидентно вершинам , а также что  инцидентны ребру . Однако, не исключено, что одной паре вершин сопоставимо несколько ребер, в таких случаях принято говорить, что данные ребра кратны, данное суждение наглядно описывает параллельное соединение элементов ЭЦ, при котором несколько ветвей присоединены к одной паре узлов. 

Введем понятие ориентированного и неориентированного ребер. Если порядок элементов пары  существенен, то ребро называют направленным, в противном случае, ненаправленным. Ориентация ребра графа отмечается нанесением на него стрелки.  Подобные определения могут быть даны относительно графов целиком, так, если все ребра графа направлены, то сам граф – направленный, если нет, то граф – ненаправленный. При описании ориентации ребра используют понятия начальной и конечной вершины. Вершина называется начальной, если стрелка отходит от вершины и конечной, если стрелка направлена на нее. Как правило при расчетах в электротехнике используются направленные графы, направленность который определяется условным направлением токов в ветвях схемы.

При изображении схем ЭЦ не редко встречаются моменты, когда пересечение проводов в некоторой точке не означает наличие в ней узла, что характерно для прохождения одного проводника над другим, поэтому для дальнейшего рассмотрения материала, следует ввести понятие плоского графа. Граф называется плоским, если все пересечения его ребер являются вершинами.

Рассмотрим понятия маршрута, цепи и простой цепи. Маршрут  в неориентированном графе  – есть конечная или бесконечная последовательность ребер

в которой каждые два ребра имеют общую инцидентную вершину, при этом одно и тоже ребро может встречаться в маршруте несколько раз.  называется начальной вершиной маршрута, если ребру  не предшествуют другие ребра, аналогично, если за ребром  не следуют другие ребра, то вершина  называется концевой.  Вершина, инцидентная двум соседним ребрам, называется промежуточной, однако это не отменяет того факта, что она может быть как начальной, так и конечной одновременно.  Исходя из выше сказанного, можем записать

и назвать вершины  концевыми точками, или просто концами маршрута . Если концевые точки маршрута совпадают, т.е. , то такой маршрут называется циклическим. Маршрут называют цепью, а циклический маршрут – циклом, при условии, что в нем исключены повторения ребер, данное условие не распространяется на вершины. Любой участок цепи является цепью. Если в нециклической цепи, каждая вершина встречается только один раз, то данная цепь называется простой, аналогично, цикл с концом в вершине  называется простым, если каждая его вершина встречается в нем только единожды. Участки простой цепи или простого цикла называются простыми цепями.

Для данных определений можно подобрать некоторые эквиваленты из электротехнической терминологии, так простому циклу соответствует контур электрической цепи, представляющий собой замкнутую совокупность ветвей схемы. Каждая ветвь электрической цепи может быть рассмотрена, как простая цепь, в то время как сама электрическая цепь является цепью. Каждый пассивный двухполюсник может быть рассмотрен, как простая цепь.

 Наличие в неориентированном графе маршрута ), связывающего пару вершин  определяет их связность, исходя из этого, дадим определение связного графа. Граф называется связным, если любая пара его вершин связана.

Еще одним важным определением является дерево, так как именно теория деревьев, разработанная Густавом Робертом Кирхгофом, положила начало прикладному использованию теории графов в электротехнике.

Ациклическим графом называется графа, не содержащий в себе циклов. Дерево, в свою очередь, является связным ациклическим графом. Лесом называется каждый граф, не содержащий циклов. Таким образом, компонентами леса являются деревья. Хочется также отметить, что при соединении любой пары несмежных вершин ациклического графа ребром, в нем появляется один простой цикл. Данная концепция позволяет разделить ветви схемы ЭЦ на ветви дерева и связи, где в роли ветвей дерева выступает совокупность попарно инцидентных ветвей, не образующих не один контур, а в роли ребра образующего один простой цикл выступает так называемая связь – ветвь образующая вместе с ветвями дерева один независимый контур.

Приведем пример практического применения вышеописанного теоретического материала.

Например:

Построить граф электрической цепи, изображенной на рисунке 1, описать данную схему по Законам Кирхгофа.

Рисунок 1. Схема ЭЦ

Решение:

Пусть третья ветвь будет ветвью дерева, тогда первая и вторая ветви станут связями графа. При изображении графа ЭЦ условимся изображать ветви дерева сплошными линиями, а связи – дугами. Рассматривая граф ЭЦ, как направленный граф, зададим ориентацию ребер согласно направлению токов, протекающих в ветвях схемы, основываясь на том же принципе зададим их нумерацию. Также зададим контуры 1 и 2, образованные парами ребер 1-3 и 3-2, соответственно, а также, произвольно, направления их обхода. Обозначим конечную вершину 3-го ребра индексом 1, а конечную – 2. Изобразим граф ЭЦ с учетом всех замечаний, см рисунок 2.

Рисунок 2. Граф, рассматриваемой ЭЦ

Для дальнейшего решения поставленной задачи, запишем формулировки Первого и Второго Законов Кирхгофа.

Первый Закон Кирхгофа гласит, что сумма токов, расходящихся от узла ЭЦ, равна нулю, приведем в соответсвие его алгебраическую запись в комплексной форме:

где   – число ветвей схемы инцидентных узлу , а  – номер рассматриваемой ветви. Согласно Первому Закону Кирхгофа, может быть записано  уравнений, где – число узлов схемы.  Для определения знака, с которым  войдет в уравнение, воспользуемся следующим прицепом, если начальная вершина ребра графа, характеризующего рассматриваемую ветвь, совпадает с рассматриваемым узлом (вершиной), то ток данной ветви войдет в уравнение со знаком (+), в противном случае – со знаком (-).

Второй Закон Кирхгофа гласит, что сумма падений напряжения во всех ветвях любого контура равна сумме ЭДС источников энергии, действующих в нем. Аналогично, приведем алгебраическую запись данного закона в комплексной форме:

где  – номер контура. Число уравнений, записанных по Второму Закону Кирхгофа, определяется, как , где  – число ветвей схемы. Для определения знака, с которым  и  войдут в уравнение, нам необходимо задать направление обхода в рассматриваемом контуре. Если направление тока, протекающего через рассматриваемую ветвь, совпадает с направлением обхода данного контура, то падение напряжения в данной ветви войдет в уравнение со знаком (+), в противном случае, со знаком (-), аналогично, если направление источника ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то он войдет в уравнение о знаком (+),  в противном случае, со знаком (-).

Решение системы уравнений, составленных по Законам Кирхгофа, при заданных значениях сопротивления пассивных элементов ветвей и ЭДС, позволяет отыскать токи ветвей схемы.

Составим систему уравнений:

Хотелось бы отметить, что использование теории графов в электротехнике не ограничивается решением задачи, поставленной в рассмотренном выше примере, она также используется для описания сложных ЭЦ по средствам матриц, что позволяет значительно оптимизировать решение задач по их расчету.

Список литературы:

1. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 1. — 4-е изд. / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. — СПб.: Питер, 2003.— 463 с.: ил.
2. Оре О. Теория графов. – 2-е изд. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980, 336 с.
3. Харари Ф. Теория графов М. : Мир, 1973. — 301 с.