СКОМПОНОВАННЫЕ ГИПЕРПЛОСКОСТНЫЕ H(∧n-2,L1)-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА

Показано, что для каждого из основных структурных подрасслоений (L-, L-, H-подрасслоений) H(L,L)-распределения  можно  построить в окрестности 1-го порядка шесть однопараметрических пучков нормализации в смысле Нордена.

В нормальных и касательных расслоениях, ассоциированных с L-, L-, H-подрасслоениями, введены аффинные и нормальные центроаффинные связности, для которых найдены соответствующие тензоры кривизны (кручения).

§1. Задание гиперплоскостного скомпонованного распределения H(L,L) аффинного пространства.

Рассмотрим n- мерное аффинное пространство A_n, отнесенное к подвижному реперу , дифференциальные уравнения инфинитезимального перемещения которого имеют вид

                                             (1.1)

а инвариантные формы  и  аффинной группы преобразований удовлетворяют структурным уравнениям аффинного пространства

                                           (1.2)

Определение 1. Гиперплоскостное Н-распределение (распределение гиперплоскостей Н_n-1) аффинного пространства А_n, в каждом центре А которого выполняются соотношения

называется скомпонованным гиперплоскостным распределением H(L,L) или кратко – H(L,L)-распределением аффинного пространства An [1].

Распределение (n-2)-плоскостей   и распределение прямых  назовем соответственно L-подрасслоением и L-подрасслоением данного H(L,L)-распределения.

Присоединим подвижной репер  пространства A_n к H(L,L)-распределению следующим образом:

В репере нулевого порядка R₀ H(L,L)-распределение задается уравнениями

                       (1.3)

(1.4)

где

 - последовательность фундаментальных геометрических объектов [2] H(L,L)-распределения.

Имеет место теорема существования H(L,L)-распределения:

Теорема 1. H(L,L)-распределение существует с произволом (3n-5) функций n аргументов.

Действительно, с одной стороны, утверждение теоремы 1 непосредственно следует из уравнений (1.3). С другой стороны, теорема 1 является при m=n-2 следствием теоремы 1 [1].

§2. Нормализации Нордена  основных структурных подрасслоений H(L,L)-распределения.

1. Для невырожденных тензоров  которые являются основными (главными) фундаментальными тензорами 1-го порядка соответственно H-,L-,L-подрасслоений H(L,L)-распределения, введем обращенные фундаментальные тензоры 1-го порядка [3;4], удовлетворяющие соотношениям

                                     (2.1)

и уравнениями

                      (2.2)

Определение 2. Назовем фокальной гиперплоскостью [5] базисного L-подрасслоения в центре А данного H(L,L)-распределения всякую гиперплоскость h(А), которая содержит две бесконечно близкие прямые L-подрасслоения при смещении центра А вдоль некоторой интегральной кривой L-подрасслоения.

Так как L(A)Ìh(A), то уравнение гиперплоскости h(А) в локальном репере R₀ зададим в виде

                                                            (2.3)

Имеем:

                  (2.4)

Учитывая (2.3), (2.4) для искомых интегральных кривых L-подрасслоения получим соотношения:

                              (2.5)

Система (2.5) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда выполняется условие (с учетом (2.1)):

                             (2.6)

Определение 3. Линейной полярой гиперплоскости H(A) [6] относительно фокального гиперконуса (2.6) является связка гиперплоскостей h(А), которую согласно (2.1), (2.3), (2.6) представим в виде

                                         (2.7)

Все гиперплоскости связки (2.7) пересекаются по двумерной плоскости

                                                 (2.8)

которая и является линейной прямой гиперплоскости Н(А) [6] относительно фокального гиперконуса (2.6). В локальном репере R₀(A) плоскость F₂(А) (2.8) задается уравнениями

                                                           (2.9)

где

                              (2.10)

Поле квазитензора  (2.10) 1-го порядка задает поле плоскостей Ф₂(А) (2.9) – поле нормалей 1-го рода L-подрасслоения.

2. Аналогичные построения (см.п.1, §2) проведем для L-подрасслоения данного H(L,L)-распределения. Уравнение искомой фокальной гиперплоскости  L-подрасслоения зададим следующим образом

                                                           (2.11)

Геометрическое место фокальных гиперплоскостей  (2.11) L-подрасслоения – фокальный гиперконус класса (n-2), вершиной которого служит плоскость L(А), представим в виде

                                                         (2.12)

Линейной полярой гиперплоскости Н(А) [6] относительно гиперконуса (2.12) является гиперплоскость F_n-1(A):

                                     (2.13)

где

                                   (2.14)

Таким образом, поле квазитензора  (2.14) 1-го порядка задает поле плоскостей F_n-1(A) (2.13), где

Плоскости  Ф₂(А) (2.9) и Ф_n-1(A) (2.13) пересекаются в каждом центре А по прямой

                             (2.15)

где 

Определение 4. Следуя работам [7], [5], прямую Ф₁(А) (2.15) назовем нормалью Фосса скомпонованного Н(L,L)-распределения в центре А. Соответственно плоскости Ф₂(А) (2.9), Ф_n-1(A) (2.13) назовем нормалями Фосса 1-го рода L-,L-подрасслоений данного H(L,L)-распределения.

В силу биекций Бомпьяни-Пантази, построенных для скомпонованного гиперплоскостного SH-распределения аффинного пространства [1] полям нормалей 1-го рода Фосса  (2.14),  (2.10),  (2.15) соответственно L-,L-,H-подрасслоений поставим в соответствие поля нормалей 2-го рода , , , где

                             (2.16)

                               (2.17)

                                     (2.18)

Поля нормалей 2-го рода (2.16) – (2.18) назовем полями нормалей Фосса 2-го рода соответственно L-,L-,H-подрасслоений H(L,L)-распределения.

Кроме того, следуя работе [1;п.2] введем для L-,L-,H-подрасслоений соответственно нормализации  в смысле Нордена в окрестности 1-го порядка, где

                              (2.19)

Далее с использованием уравнений (1.3), (1.4), (2.1),, (2.2), (2.10), (2.11), (2.19) построим ряд квазитензоров 1-го порядка

                        (2.20)

Используя биекции Бомпьяни-Пантази, введенных для скомпонованных гиперплоскостных SH-распределений [1], находим поля нормалей 2-го рода для L-,L-,H-подрасслоений H(L,L)-распределения, соответствующие полям нормалей 1-го рода (2.20):

Таким образом, имеем по четыре пары фундаментально независимых нормализаций для каждого из L-,L-,H- подрасслоений:

1).  для L-подрасслоения;

2).  для L-подрасслоения;

3).  для Н-подрасслоения.

В результате справедлива

Теорема 2. В дифференциальной окрестности 1-го порядка скомпонованное H(L;L)-распределение порождает внутренним инвариантным образом шесть однопараметрических пучков нормализаций в смысле Нордена для каждого из ее L-,L-,H-подрасслоений.

§3. Задание аффинных и центроаффинных связностей на основных структурных подрасслоениях H(L,L)-распределения

1. Адаптируем репер R₀ полю нормалей  1-го рода Н-подрасслоения, т.е. положим, что  В этом случае

                                                  (3.1)

При фиксации точки  А  (центра распределения)  прямая  (нормаль 1-го рода плоскости H_n-1(A)) и касательная гиперплоскость Т_n-1 º H_n-1 (элемент Н-подрасслоения) остаются неподвижными. Следовательно, на базе A_n (аффинное n-пространство) возникает нормальное  и касательное  расслоения [8].

Структурные уравнения касательного расслоения  в силу (1.2), (1.3), (3.1) имеют вид

где

      (3.3)

        (3.4)

                    (3.5)

                    (3.6)

                                                (3.7)

                                                (3.8)

                                          (3.9)

                                                      (3.10)

Следуя работам [3], [8], приходим к выбору, что в касательном расслоении  возникает аффинная связность g с кручением  (3.10) с формами связности  и 2-формами кривизны (3.3) – (3.6), причем компоненты тензора кривизны   этой связности имеют строение (3.7) – (3.10).

Структурные уравнения нормального расслоения  с учетом (1.2), (1.3), (3.1) можно представить в виде:

                (3.11)

где

                                               (3.12)

Согласно работам [3], [8], получаем, что в нормальном расслоении  возникает центроаффинная связность  с формой связности  и 2-формой кривизны  (3.11), тензор кривизны которой  имеет строение (3.12).

Определение 5. Связность  в дальнейшем будем называть нормальной центроаффинной связностью оснащенного Н-подрасслоения.

2. Аналогично можно построить нормальную центроаффинную связность  в расслоении  нормалей 1-го рода для L-подрасслоения данного H(L,L)-распределения. Структурные уравнения нормального расслоения  имеют следующее строение:

                                       (3.13)

                                      (3.14)

где

                   (3.15)

                    (3.16)

                   (3.17)

     (3.18)

                                             (3.19)

                                                     (3.20)

                                                    (3.21)

                                         (3.22)

Согласно работам [3], [8] получаем, что в нормальном расслоении  возникает центроаффинная связность  с формами связности  и 2-формами кривизны (3.15)-(3.18), компоненты тензора кривизны

которой имеют строение (3.19)-(3.22).

Связность  назовем в дальнейшем нормальной центроаффинной связностью L-подрасслоения.

Структурные уравнения соответствующего касательного расслоения  в силу (1.2), (1.3), (3.1) имеют вид

                   (3.23)

где

                                                 (3.24)

              (3.25)

                                            (3.26)

Итак, в касательном расслоении  (в расслоении плоскостей ) возникает аффинная связность h с формами связности  и 2-формами кривизны  (3.25), причем компоненты тензора кручения  и тензора кривизны  имеют соответственно строения (3.24) и (3.26).

3. Рассмотрим построение нормальной центроаффинной связности  в расслоении  нормалей 1-го рода для L-подрасслоения данного H(L,L)-распределения. Структурные уравнения нормального расслоения  представим в виде

               (3.27)

                                                   (3.28)

Таким образом, в расслоении  нормалей 1-го рода L-подрасслоения индуцируется нормальная (центроаффинная) связность , слоевыми формами которой являются формы  2-формами кривизны – формы (3.27), а компоненты тензора кривизны связности  имеют строение (3.28).

Для нормального распределения  соответствующее касательное расслоение  - есть расслоение прямых L_x (xÎA_n) (L-подрасслоение), структурные уравнения которого представим в виде

                  (3.29)

                                               (3.30)

Итак, в касательном расслоении  согласно работам [3], [8], возникает аффинная связность J с кручением  (3.30). Формами связности являются  а 2-формой кривизны -  (3.29), причем тензор кривизны  имеет строение (3.8).

Список литературы:

1. Попов Ю.И. Скомпонованные гиперплоскостные распределения аффинного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И.Канта.  Сер.: Физико-математические и технические науки. 2018. №2. С.5-17.
2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Московского математического общества. 1953. Т.2. С.275-382.
3. Остиану Н.М., Рыжков В.В., Швейчин П.И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Труды геометрического семинара. ВИНИТИ АН СССР. М., 1973. Т.4. С.7-70.
4. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Труды геометрического семинара. ВИНИТИ АН СССР. М., 1973. Т.4. С.71-120.
5. Акивис М.А. Фокальные образы поверхности ранга r // Изв. вузов. Математика. 1957. №1. С.9-19.
6. Ивлев Е.Т., Лучинин А.А. О полярном соответствии относительно алгебраической поверхности и его приложениях // Геометрический сборник. Томск, 1968. Т.7. С.23-24.
7. Благонравов В.В. Распределения на гиперповерхности аффинного пространства // Деп. в ВИНИТИ РАН 17.08.1982, №4552-82.
8. Чакмазян А.В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий. Монография. Ереван: АрмГПИ: Луйс, 1990. -116 с.