ОБ ω-ВЕЕРНЫХ ФОРМАЦИЯХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

АННОТАЦИЯ

Данная работа посвящена исследованию -веерных формаций конечных групп. Целью работы является изучение строения функций-спутников некоторых -веерных формаций. В ходе исследования используются методы доказательств теории классов групп.

Ключевые слова: конечная группа, класс групп, формация, -веерная формация.

Формации групп являются одним из важных объектов, изучаемых в теории классов конечных групп. Формацией называется класс групп, замкнутый относительно гомоморфных образов и подпрямых произведений. В настоящее время используются различные подходы к изучению формаций. Одним из наиболее эффективных является функциональный подход. Он предполагает использование специальных функций-спутников для описания формаций. В рамках этого подхода были введены в рассмотрение локальные, композиционные, -локальные, -композиционные и другие формации. Наиболее важные результаты в данном направлении были получены Л.А. Шеметковым, А.Н. Скибой и многими другими алгебраистами (см., например, [4, 5]). В 1999 году В.А. Ведерников предложил новый функциональный подход к изучению классов групп, при котором с помощью новых функций-направлений были построены -веерные и -расслоенные формации конечных групп [1]. Важные результаты об -веерных формациях получены В.А. Ведерниковым, М.А. Корпачевой, М.М. Сорокиной и другими (см., например, [2, 3]). Цель настоящей работы – исследовать строение функций-спутников некоторых -веерных формаций конечных групп.

В статье рассматриваются только конечные группы. Используемые определения для групп и классов групп стандартны (см., например, [6]). Напомним лишь некоторые из них. Классом групп называется всякое множество групп, которое вместе с каждой своей группой  содержит и все группы, изоморфные . Через  обозначается класс групп, порождённый множеством групп . Если  и  – классы групп, то  = ( | существует , где , ). Класс групп  называется формацией, если выполняются два условия: 1) из  и  следует ; 2) из ,  следует . Через  обозначается класс всех конечных групп;  – класс всех конечных нильпотентных групп;  – множество всех простых чисел. Пусть  – класс групп, , . Тогда  и  – соответственно классы всех -групп и -групп, принадлежащих классу . Через  обозначается множество всех простых делителей порядка группы ;  – -радикал группы , т.е. наибольшая нормальная подгруппа группы , принадлежащая классу . Через  обозначается произвольное непустое множество простых чисел;  – -радикал группы .

Рассмотрим функции {формации} и {непустые формации Фиттинга}, называемые соответственно -функцией и -функцией. Формация  и  для любого  называется -веерной формацией с -спутником  и направлением  и обозначается  [1]. Направление -веерной формации называется -направлением, если  для любого ; -направлением, если  для любого  [2].

Теорема 1. Множество  всех единичных групп является -веерной формацией с -спутником  и направлением , где  – произвольная -функция,  – -функция, имеющая следующее строение:  для любого , .

Доказательство. Пусть  – множество всех единичных групп. Проверим, что  – класс групп. Пусть  и . Тогда . Таким образом,  – единичная группа. Следовательно,  и, значит,  – класс групп.

Покажем, что  – формация. 1) Пусть , . Проверим, что . Действительно, так как  – единичная группа, то  – единичная группа и поэтому .

2) Пусть  и . Покажем, что . Действительно, по теореме Ремака , где . Так как  и , то  и . Поэтому . Поскольку , то . Так как , то . Следовательно,  и .

Из 1) и 2) следует, что  – формация.

Покажем, что формация  является -веерной с -спутником , описанным в формулировке теоремы. Пусть  – произвольная -функция и  и  для любого . Покажем, что .

1) Пусть . Проверим, что . Так как , то   для любого  и поэтому . Так как , то  и . Это означает, что  и . Из  и  получаем, что . Таким образом,  и .

2) Пусть . Проверим, что . Для этого установим, что выполняются следующие условия:  (a) и  для любого   (b).

а) Покажем, что выполняется (a). Действительно, так как  и , то   и .

б) Проверим, что выполняется (b). Пусть . Проверим, что . Так как , то . Тогда , и утверждение (b) верно.

Из а) и б) следует, что  и поэтому . Из 1) и 2) следует, что . Теорема доказана.

Теорема 2. Множество  всех конечных групп является -веерной формацией с -спутником  и направлением , где  – произвольная -функция,  – -функция, имеющая следующее строение:  для любого , .

Доказательство. Пусть . Проверим, что  – класс групп. Пусть  и . Тогда . Следовательно,  и, значит, – класс групп.

Покажем, что – формация. 1)  Пусть , . Проверим, что . Действительно, так как  – конечная группа, то . Следовательно, .

2) Пусть  и . Тогда, используя теорему Ремака, как и при доказательстве теоремы 1, получим, что .

Из 1) и 2) следует, что – формация.

Покажем, что  – -веерная формация. Пусть  – -функция, описанная в формулировке теоремы,  – произвольная -функция, и ,  для любого  . Проверим, что .

1) Пусть . Установим, что . Действительно, по определению  -веерной формации  и поэтому .

2) Пусть . Покажем, что . Для этого установим, что выполняются следующие условия:  (а)  и  для любого  (b).

а) Так как  и  – формация, то . Поскольку , то . Следовательно, (а) верно.

б)  Пусть . Так как  и  – формация, то . Поскольку , то . Поэтому (b) верно.

Из а) и б) следует, что  и, значит, . Из 1) и 2) получаем . Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть , ,  , где  – -направление,  – -функция такая, что ,  и   для любого . Тогда .

Доказательство. 1)  Проверим, что . Пусть . Установим, что . Поскольку  и  для любого , то достаточно показать, что для группы  выполняются два условия:  (a)  и  для любого  (b). Проверим, что  удовлетворяет условию (a). Так как  и  – формация, то . Таким образом, условие (a) для группы  выполняется. Проверим, что  удовлетворяет условию (b). Пусть . Докажем, что . Так как , то . Следовательно, . Тогда  по заданию функции . Поэтому достаточно показать, что . Для этого достаточно проверить, что . Действительно, так как  – -направление -веерной формации, то . Таким образом,  и поэтому условие (b) для группы  выполнятся. Так как  удовлетворяет условиям (a) и (b), то . Следовательно, .

2) Покажем, что . Пусть . Установим, что . Так как , то выполняются условие (a) –  и условие (b) –  для любого . Пусть . Из условия (a) имеем . Из условия (b), ввиду задания функции , получаем . Так как , то  и поэтому . Так как , то  – -число. Таким образом,  и, значит, .

Из 1) и 2) получаем . Тем самым установлено, что класс  всех конечных -групп является -веерной формацией с любым -направлением . Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть , , где  – произвольная -функция,  – -функция такая, что  и  для любого . Тогда .

Доказательство. 1) Покажем, что . Пусть . Тогда . Это означает, что  и . Пусть . Так как , то  и, значит, . Так как  и  для любого , то . Следовательно, .

2) Покажем, что . Пусть . Тогда  и  для любого . Так как  для любого , то  для любого . В этом случае . Поэтому  . Следовательно, .

Из 1) и 2) следует, что . Тем самым установлено, что класс  всех конечных групп, множество простых делителей которых не входит в , является -веерной формацией с любым направлением . Теорема доказана.

Теорема 5. Пусть , ,, , где  - -направление -веерной формации,  – -функция такая, что , , если ,, если  для любого . Тогда .

Доказательство. Покажем, что . Пусть . Тогда . Пусть . Покажем, что . Так как  и , то . Следовательно, . Достаточно проверить, что . Так как  является -направлением, то . Тогда  и . Таким образом,  и поэтому . Тем самым установлено, что существуют нетривиальные -веерные формации, содержащие класс всех конечных нильпотентных -групп, для произвольного множества простых чисел . Теорема доказана.

Список литературы:

1. Ведерников В.А., Сорокина М.М. -веерные формации и классы Фиттинга конечных групп // Математические заметки. – 2002. – Т. 71, Вып. 1. – С. 43–60.
2. Ведерников В.А. О новых типах -веерных формаций конечных групп // Украiнський математичный конгресс - 2001. Секцiя 1. Працi. Киiв. - 2002. - С. 36-45.
3. Корпачева М.А., Сорокина М.М. О критических -веерных формациях конечных групп // Математические заметки. – 2006. – Т. 79, № 1. – С. 87−94.
4. Скиба А.Н. Алгебра формаций. –  Минск: Беларуская навука, 1997.
5. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. – М.: Наука, 1978.
6. Doerk K., Нawkes T. Finite soluble groups. – Walter de Gruyter, Berlin – New York, 1992.