О СПУТНИКАХ ω-ВЕЕРНЫХ КЛАССОВ ФИТТИНГА КОНЕЧНЫХ ГРУПП

ON THE SATELLITES OF -FIBERED FITTING CLASSES OF FINITE GROUPS

Alexandr Praded

undergraduate of Bryansk state university named after I. G. Petrovsky

Serafim Maksakov

postgraduate of Bryansk state university named after I. G. Petrovsky

АННОТАЦИЯ

Работа посвящена изучению -веерных классов Фиттинга конечных групп. Целью данной работы является исследование строения функций-спутников ряда -веерных классов Фиттинга конечных групп. В процессе исследования используются методы доказательств теории классов групп.

ABSTRACT

This article is devoted to the study of  -fibered Fitting classes of finite groups. The goal of the article is the researching of the structure of functions-satellites of some -fibered Fitting classes of finite groups. The methods of proofs used throughout the paper are the methods of  the theory of  classes of groups.

Ключевые слова: конечная группа, класс групп, класс Фиттинга, -веерный класс Фиттинга, функция-спутник.

Keywords: a finite group, a class of groups, a Fitting class, an -fibered Fitting class, a function-satellite.

Теория групп в настоящее время является одним из фундаментальных разделов не только алгебры, в рамках которой она первоначально появилась, но и всей математики в целом. Как самостоятельное направление она была сформирована в конце 19-го века. По мере её развития в ней самой стали появляться новые подразделы. Одним из таких подразделов является зародившаяся в 30-х годах 20-го века теория классов групп.

Одним из наиболее важных объектов, которые изучаются в теории классов групп, является класс Фиттинга. Существует несколько подходов к изучению данных классов. Одним из наиболее эффективных является функциональный подход – задание и использование для описания классов Фиттинга специальных функций. На этом пути были введены -локальные, -композиционные и другие классы Фиттинга. Важные результаты в данном направлении были получены К. Дерком, Т. Хоуксом, Н.Т. Воробьёвым, Н.Н. Воробьёвым и многими другими алгебраистами (см., например, [4, 7]). В дальнейшем развитие идей функционального подхода привело к появлению функций-направлений, введённых В.А. Ведерниковым в 1999 году (см., например, [3]). С помощью данных функций были построены -веерные и -расслоенные классы Фиттинга конечных групп [3]. Изучением таких классов занимались О.В. Камозина, Е.Н. Бажанова, В.Е. Егорова и другие (см., например, [1, 5, 6]). Целью данной работы является исследование строения функций-спутников ряда -веерных классов Фиттинга конечных групп.

В статье рассматриваются только конечные группы. Используемые определения для групп и классов групп стандартны (см., например, [7]). Приведём лишь некоторые из них. Классом групп называется множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой  и все группы, изоморфные . Через  обозначается класс групп, порождённый множеством групп . Если  и  – классы групп, то = (| существует , где , ). Класс групп  называется классом Фиттинга, если выполняются два условия:

1) если  и , то ;

2) если , , , , , то  [7].

Через  обозначается класс всех конечных групп;  – класс всех конечных нильпотентных групп;  – множество всех простых чисел. Пусть  – класс групп, , . Тогда  и  – соответственно классы всех -групп и -групп, принадлежащих классу . Через  обозначается множество всех простых делителей порядка группы ;  – -корадикал группы , т.е. наименьшая нормальная подгруппа группы , фактор-группа по которой принадлежит классу . В дальнейшем через  обозначается произвольное непустое множество простых чисел;  – -корадикал группы .

Рассмотрим следующие функции: {классы Фиттинга}, {классы Фиттинга}, {непустые формации Фиттинга}, называемые соответственно -функцией, -функцией, -функцией. Класс Фиттинга  и для любого  называется -веерным классом Фиттинга с -спутником  и направлением  и обозначается ; класс Фиттинга

называется веерным классом Фиттинга со спутником  и направлением  и обозначается  [3]. Направление -веерного (веерного) класса Фиттинга называется -направлением, если  для любого ; -направлением, если  для любого  [2].

В теоремах 1 – 4 получено описание -спутников -веерных классов Фиттинга , , ,  соответственно.

Теорема 1. Пусть , , где  – произвольная -функция,  – -функция такая, что  и  для любого . Тогда .

Доказательство. 1) Проверим, что . Пусть . Поскольку класс является классом Фиттинга, то  и  для любого . Отсюда следует, что . Таким образом, .

2) Установим, что . Так как  – множество всех конечных групп, а  состоит только из конечных групп, то .

Из 1) и 2) следует, что . Тем самым установлено, что класс  всех конечных групп является -веерным классом Фиттинга с направлением , для любой -функции , и -спутником , описанным в условии теоремы. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть , , где  – произвольная -функция,  – -функция  такая, что   и  для любого . Тогда .

Доказательство. 1) Установим, что . Пусть . Так как , то . Тогда и любая нормальная в ней подгруппа будет единичной, т.е. . Таким образом, . Это означает, что . Далее, так как , то . Тогда . Следовательно, второе условие из определения  выполняется. В таком случае  и поэтому .

2) Покажем, что . Пусть . Поскольку , то . Тогда  и, значит, . Тогда .  Так как , то  для любого . Поскольку  для любого , то . Поэтому . Отсюда следует, что . Тогда  и .

Из 1) и 2) следует, что . Тем самым установлено, что класс  всех единичных групп является -веерным классом Фиттинга с направлением , для любой -функции , и -спутником , описанным в условии теоремы. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть ,  ,  , где  – -направление   -веерного класса Фиттинга,  – -функция такая, что ,  и   для любого . Тогда .

Доказательство. 1) Покажем, что . Пусть . Установим, что . Поскольку   и  для любого , то достаточно проверить, что для группы  выполняются два условия:  (a) и  для любого  (b). Так как  и  – класс Фиттинга, то . Таким образом, условие (a) для группы  выполняется. Далее, пусть . Докажем, что . Так как , то . Следовательно, . Тогда  по заданию функции . Поэтому достаточно показать, что . Действительно, так как  – -направление -веерного класса Фиттинга, то . Тогда  и поэтому условие (b) для группы  выполнятся. Так как  удовлетворяет условиям (a) и (b), то . Следовательно, .

2) Покажем, что . Пусть . Установим, что . Так как , то выполняются условие (a) –  и условие (b) – для любого . Пусть . Из условия (a) имеем . Из условия (b), ввиду задания функции , получаем  . Так как , то   и поэтому . Так как , то  – -число. Таким образом,  и, значит, .

Из 1) и 2) следует, что . Тем самым установлено, что класс  всех конечных -групп является -веерным классом Фиттинга с любым -направлением  и -спутником , описанным в условии теоремы. Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть , , где  – -функция,  – -функция такая, что  и  для любого . Тогда .

Доказательство. 1) Покажем, что . Пусть . Тогда . Это означает, что  и . Пусть . Так как , то  и, значит, . Так как  и  для любого , то . Следовательно, .

2) Покажем, что . Пусть . Тогда  и  для любого . Так как  для любого , то  для любого . В таком случае . Тогда . Следовательно, .

Из 1) и 2) следует, что . Тем самым установлено, что класс  всех конечных групп, множество простых делителей которых не содержится в , является -веерным классом Фиттинга с любым направлением  и -спутником , описанным в условии теоремы. Теорема доказана.

В следующей теореме построим пример -веерного класса Фиттинга, содержащего класс  всех нильпотентных -групп.

Теорема 5. Пусть , , , , где  - - направление,  – -функция такая, что  и , если , , если  для любого . Тогда .

Доказательство. Покажем, что . Пусть . Тогда . Пусть . Покажем, что . Так как  и , то . Следовательно . Достаточно проверить, что , то есть что . Так как является -направлением, то , и поэтому достаточно показать, что . Поскольку , то  и, значит, , где . Пусть . Тогда  не делится на  и, следовательно, . Кроме того, . Так как , , , то . Тогда . Таким образом,  и поэтому . Тем самым установлено, что существуют нетривиальные -веерные классы Фиттинга, содержащие класс всех конечных нильпотентных -групп для произвольного множества простых чисел . Теорема доказана.

Список литературы:

1. Бажанова Е.Н., Ведерников В.А. -расслоенные классы Фиттинга -групп // Сиб. электрон. матем. изв. – 2017. – Т.14.  – С. 629 – 639.
2. Ведерников В.А. О новых типах -веерных классов Фиттинга конечных групп // Украинский математический журнал. – 2002. – Т. 54, № 7. – С. 897 – 906.
3. Ведерников В.А., Сорокина М.М. -веерные формации и классы Фиттинга конечных групп // Математические заметки. – 2002. – Т. 71, № 1. – С. 43 – 60.
4. Воробьев Н.Н. Алгебра классов конечных групп. – Витебск: ВГУ имени П.М. Машерова, 2012. – 322 с.
5. Егорова В.Е. Критические неоднопорождённые тотально канонические классы Фиттинга конечных групп // Математические заметки. – 2008. – Т. 83, № 4. – С. 520 – 527.
6. Камозина О.В. О неоднопорождённых -веерных классах Фиттинга конечных групп // Математические заметки. – 2006. – Т. 79, № 3. – С. 396 – 408.
7. Doerk K., Нawkes T. Finite soluble groups. – Walter de Gruyter, Berlin – New York, 1992. – 892 p.