ОБ  УРАВНЕНИЯХ  В  ВАРИАЦИЯХ  В  ЗАДАЧЕ  О  ДВИЖЕНИИ   ТОЧКИ  В  ВОЗМУЩЕННОМ  ЦЕНТРАЛЬНОМ  ПОЛЕ

Бабаджанянц  Левон  Константинович

д-р  физ.-мат.  наук,  профессор  Санкт-Петербургского  государственного  университета,  РФ,  г.  Санкт-Петербург

E -mail:  levon@mail.wplus.net

Брэгман  Анна  Михайловна

студент  Санкт-Петербургского  государственного  университета,  РФ,  г.  Санкт-Петербург

E -mail:  meune@mail.ru

Брэгман  Константин  Михайлович

старший  преподаватель  Санкт-Петербургского  государственного  университета,  РФ,  г.  Санкт-Петербург

E -mail:  beswdw@gmail.com

Касикова  Полина  Владимировна

системный  администратор,  Управление-Служба  информационных  технологий  Санкт-Петербургского  государственного  университета,  РФ,  г.  Санкт -Петербург

E-mail: 

ON  EQUATIONS  IN  VARIATIONS  TO  THE  PROBLEM  OF  MOTION  OF  A  POINT  MASS  IN  PERTURBED  CENTRAL  FORCE  FIELD

Levon  Babadzanjanz

doctor  of  Science,  professor  of  Saint-Petersburg  State  University,  Russia  Saint-Peretsburg

Anna  Bregman

student  of  Saint-Petersburg  State  University,  Russia  Saint-Peretsburg

Konstantin  Bregman

senior  Lecturer  of  Saint-Petersburg  State  University,  Russia  Saint-Peretsburg

Polina  Kasikova

administration-Service  of  Information  Technologies  of  Saint-Petersburg  State  University,  system  administrator,  Russia  Saint-Peretsburg

АННОТАЦИЯ

Решение  уравнений  в  вариациях  для  задачи  о  движении  материальной  точки  в  произвольном  центральном  n-мерном  силовом  поле  с  возмущением  сводится  к  последовательному  рассмотрению  n  линейных  однородных  дифференциальных  уравнений  второго  порядка,  что  существенно  упрощает  решение  и  соответствующих  неоднородных  уравнений,  а  значит  и  реализацию  метода  малого  параметра  при  построении  моделей  движения  тел  в  различных  силовых  полях.

ABSTRACT

The  process  of  solution  of  equations  of  variations  for  the  problem  of  motion  of  a  point  mass  in  a  perturbed  central  force  field  we  reduce  to  the  consideration  of  n  second  order  homogeneous  linear  equations.  Because  of  this,  the  process  of  solution  of  corresponding  inhomogeneous  equations  becomes  easy  enough,  and  it  implies  that  construction  of  models  of  motion  of  bodies  under  the  action  of  various  forces  (when  using  the  small  parameters  methods)  becomes  easier  too.

Ключевые  слова :  уравнение  в  вариациях;  центральное  поле;  уравнения  дви-жения.

Keywords:  equations  of  variations;  central  force  field;  equations  of  motion.

Рассмотрим  движение  материальной  точки    массы    в  центральном  поле  сил    относительно  репера    в  аффинном  евклидовом  пространстве  .  Движение  этой  точки  при  наличии  возмущений  удовлетворяет  уравнениям  Ньютона 

,

,  ,,,

которые  запишем  в  виде:

,.  (1)

Зададим  начальные  условия:

(или  ),  (2)

а  решение  задачи  Коши  (1),  (2)  обозначим  .  Рассмотрим  также  невозмущенные  уравнения 

  (или  )  (3)

и  начальные  условия 

  (или  ).  (4) 

Вычитая  уравнения  (3)  из  уравнений  (1),  для  возмущений    

(или  )  получаем  :

В  первом  приближении  имеем:

где    ,  .

Если  возмущения  считаются  малыми  по  сравнению  с  ,  а  начальные  данные  в  (4)  выбраны  так,  что    можно  считать  приемлемым  начальным  приближением  для  решения  задачи  Коши  (1),  (2),  то  полученные  уравнения  (первого  приближения)

  (5)

называют  уравнениями  теории  первого  порядка  относительно  возмущений    [3].  Отметим,  что  величина  отличается  от    на  величину  второго  порядка  по  возмущениям  .

Решение  уравнений  (5)  связано  с  большими  сложностями,  хотя  фундаментальная  матрица  принципиально  может  быть  найдена  согласно  теореме  Пуанкаре  о  том,  что  ее  столбцы  составлены  из  производных  невозмущенных  координат  по  независимым  произвольным  постоянным  (входящим  в  общее  решение  невозмущенных  уравнений).  Но  особенно  сложным  является  переход  от  решения  однородной  системы  (5)  к  неоднородной,  так  как  придется  интегрировать  дроби  в  числителе  которых  стоят  определители    порядка,  а  в  знаменателе  определитель    порядка,  элементы  которых  сложным  образом  зависят  от  элементов  фундаментальной  матрицы  и  возмущающих  функций  .  В  небесной  механике  для  случая    и  центрального  силового  поля  Ньютона  эти  сложности  преодолеваются  некоторыми  специальными  приёмами  [3].  В  работе  [4]  была  предложена  идея,  которая  в  настоящей  статье  реализуется  для  произвольного    и  произвольного  центрального  поля. 

Она  заключается  в  том,  что:

1.  выводится  линейное  уравнение  второго  порядка  относительно  величины  ; 

2.  подстановка  выражения  для    в  уравнения  (5)  приводит  к    отдельным  неоднородным  линейным  уравнениям  для  величин    с  известными  правыми  частями: 

.  (6)

Перейдем  к  выводу  уравнения  для  .  Прямым  дифференцированием  имеем:

,  . 

Используя  выражения  для    из  равенств  (5),  получаем:

.

Подставляя  в  это  равенство    из  уравнений  (3),  получаем:

,  (7)

где  использовано  обозначение 

.

Далее  нам  потребуется  выражение  для  производной  этой  величины.  Дифференцируя  ее  и  используя  формулы  (3)  и  (5),  последовательно  выводим: 

.  (8)

Дифференцированием  равенства  (7)  получаем:

Используя  (8)  и  простые  преобразования  приходим  к  уравнению  третьего  порядка  относительно  величины  :

  (9) 

Непосредственно  видно,  что  наборы  вида  ,  где  –  какой-то  па-раметр,  от  которого  зависят  координаты  ,  удовлетворяют  однородной  системе  (5)  (т.  е.  (5),  где    ).  Поэтому  из  способа  вывода  следует,  что  функция  вида

  (10)

удовлетворяет  однородному  уравнению  (9).

Интегрируя  (9)  в  пределах  от    до  ,  получаем  уравнение  второго  порядка:

.

Поскольку

то  имеем:

.

Итак,  получаем:

  (11) 

Если  известны  три  линейно  независимые  функции  ,  ,  вида  (10)  ,  то  можно  утверждать,  что  любое  решение  однородного  уравнения  (11)  имеет  вид:

где:  ,,—  постоянные.

Таким  образом  можно  найти  фундаментальную  систему  решений  уравнения  (11).  После  этого  можно  решить  и  неоднородные  уравнения  (6).

Для  построения  модели  движения  точки  в  центральных  силовых  полях  часто  используют  метод  малого  параметра,  то  есть  рассматривают  уравнения  вида 

,  ,

где:  —  малый  параметр,  а  решение  ищут  в  виде  ряда 

Оказывается,  что  функции    удовлетворяют  уравнениям  в  вариациях  рассмотренного  выше  вида,  в  которых  правые  части  выписываются  рекуррентно  по    .  В  трехмерном  случае  интерес  могут  представлять  неньютоновые  силовые  поля  (например,  поле  ядерных  сил).  В  частности,  представляет  интерес  случай,  когда

(при  это  случай  силы  Ньютона).  Тогда: 

,

а  уравнения  (3)  и  (11)  принимают  вид:

,

Список  литературы:

1.Субботин  М.Ф.  Введение  в  теоретическую  астрономию  //  М.:  Наука,  1968.  —  800  с.

2.Бабаджанянц  Л.К.,  Пупышев  Ю.А.,  Пупышева  Ю.Ю.  Классическая  механика  //  СПб  «СОЛО»,  2007.  —  240  с. 

3.Брауэр  Д.,  Клеменс  Дж.  Методы  небесной  механики  //  М.:  Мир,  1964.  —  515  с.

4.Бабаджанянц  Л.К.  Аналитические  методы  вычисления  возмущений  в  пpямоугольных  кооpдинатах  планет,  1  //  Вестник  ЛГУ,  —1969.  —  №  7.  —  C.  121—132.